艺术生高考数学专题讲义：考点58数系的扩充与复数的引入

1、关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包考点五十八数系的扩充与复数的引入知识梳理.复数的概念(1)虚数单位ii是虚数单位，满足 /=-1; i和实数在一起进行四则运算，进行四则运算时原有的加法、 乘法运算律仍然成立.(2)复数的概念形如a+bi(a, bCR)的数叫复数，其中a, b分别是它的实部和虚部.若 b=0,则a+bi为 实数；若bwo,则a+bi为虚数；若a=0且bw。，则a + bi为纯虚数.把复数表示为 a+ bi(a, bCR)的形式，叫做复数的代数形式.(3)复数相等a+bi = c+di? a= c且 b=d(a, b, c, dC R).(4)共轲复数实部相等，虚部互为相

2、反数的两个复数互为共轲复数，即a+bi 与 c+ di 共轲？ a=c, b = d(a, b, c, dCR).(5)复数的模设复数z=a+ bi(a、bCR), z在复平面内应点为 Z,则向量OZ的长度叫做复数z的模(或 绝对值)，记作 |z阈 |a+ bi|,即 |z|= |a+ bi|= *Ja2+ b2.复平面从复数的定义可以知道，任何一个复数z= a+bi(a, bCR)都可以用一个有序实数对 (a, b)唯一确定，这样我们可以用建立了直角坐标系内的点来表示复数.当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.实轴上的点都表示实数，除

3、了原点，虚轴上的点都表示纯虚数.在复平面内，表示两个共轲复数的点关于实轴对称.复数的几何意义复数、点、向量之间有一一对应的关系，复数的模表示复数对应的点到原点的距离.1I-M(1)复数z= a+ bi一J复平面内的点 Z(a, b)(a, bCR).(2)复数z= a+bi-平面向量OZ.(3)复数z= a+bi的模或绝对值：|z|a2+b2.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 = a+ bi, z2 = c+di(a, b, c, dC R),则加法：Zi +Z2=(a+ bi) + (c+ di) = (a + c) +(b+d)i;减法:Zi z2 =(a + bi)

4、(c+ di) = (a c) +(bd)i;乘法：zi Z2=(a + bi) (c+di) = (ac- bd)+(ad+bc)i;除法:zia+bi(a+bi(cdiZ2c+ di(c+ di jc di jac+bd bc adc2Td2+2TdTi(c+di*0)-(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Zi、Z2、Z3CC,有Zi + z2= z2+ zi, (zi + z2) + Z3 = zi + (z2+ Z3).复数的运算常用结论21 + i 1 -(i肚=均；寸=i;存 (2)-b+ai = i(a+bi);i4n = i,严+=i, i4n+2=_

5、i, i4n+3=_ i? nCN*；(4)i4n + i4n+i+i4n+2+i4n+3= 0, n N*.设 3 = 2+ i ,则 1co|= i ； i + co+ 0)2= 0； CO = CO2.复数的几点注意事项(i)两个虚数不能比较大小.(2)利用复数相等a+ bi=c+ di列方程时，注意a, b, c, dCR的前提条件.(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若zi, Z2C C,Z2+z2=0,就不能推出Zi=Z2 = 0； Z2/2 i.x2 i=0,(2)由纯虚数的定义知：? x= i,选.k+i w0,变式训练 (1)已知i为虚数单

6、位，aC R,若(a1)(a+1+i)是纯虚数，则a的值为(2)设2=r+i,则忆=.1 + i答案(1)1 (2)孝2a2 1 = 0解析(1).(a1)(a+1 + i) = (a21)+(a1)i 是纯虚数，,，a=1.a1 w0(2) 1. z=+i = 1T-i- +i = 1+1i,，忆尸()1+ i 22 2，| | 解题要点 1.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要 的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质.2.解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,

7、 bCR)的形式，以确定实部和虚部.题型二 复数的几何意义例2 (2015安徽理)设i是虚数单位，则复数 旦在复平面内所对应的点位于第 象限.1 - i答案第二象限解析 =2i(1 + i)一=吗-L 1 + i,由复数的几何意义知一1 + i在复平面内的对应 1-i (1 i(1 + i)2点为(一1,1),该点位于第二象限.变式训练设复数Z1, Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z1=2+i,则Z1Z2=.答案 5解析Z1 = 2+i在复平面内的对应点的坐标为(2, 1),又4与Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则Z2的对应点的坐标为(一2, 1),即Z2=2+i,zz2=(2+i)(

8、 2+i)= i24=5.T解题要点1.复数z、复平面上的点 Z及向量OZ相互联系，即z=a+bi(a, bCR)? Z(a, b) T? OZ.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在 一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.题型三复数的代数运算z例3(2015山东理)若复数 z满足丁一=i,其中i为虚数单位，则z=1 - i答案 1 iz一解析= i, z =i(1 i)=i i2=1+i, z=1 i.1 i变式训练 （2015安徽文）设i是虚数单位，则复数（1 i）（1 + 2i）等于.答案 3+i解析 （1 i）（1 +2i）

9、 = 1 + 2i-i-2i2=1+i+2= 3+i.解题要点复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，.复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轲复数，解题中要注意把i的哥写成最简形式.除法实际上是分母实数化的过程.当堂练习.1 + z（2015新课标I理）设复数 z满足；一=i,则|z| =.1 z答案 11 + z 1 + i解析 由=i,得 1 + z= i -zi, z=i,，|z|=|i| = 1.1-z1+ i（2015广东文）已知i是虚数单位，

10、则复数（1 + i）2等于.答案 2i解析 （1 + i）2= 1 + 2i + i2 = 1 + 2i 1 = 2i.（2015湖北文）i为虚数单位，i607等于.答案 i解析 方法一1607=14151+3=i3= i,其共轲复数为i.方法二户 (2014 辽宁)设复数 z 满足(z 2i)(2 -i) = 5,则 z= 答案 2+3i 答案 2z解析先根据z求出z及z,结合复数的运算法则求解.=二=匚一= 1= i,其共轲复数为i.I I I（2015广东理）若复数 z= i（32i）（i是虚数单位），则z等于 答案 32-3i解析 因为 z=i(32i) =2+ 3i,所以 z =2-

11、3i.6. （2014湖北）i为虚数单位,答案 1解析jg-1.1 + i/ 2i解析利用方程思想求解复数并化简.由 （z2i）（2 i）=5,得z=2i +2- i= 2i+ 5”) p-iP+i)= 2i+2+i=2+3i.（2014安徽理）设i是虚数单位， W表示复数z的共轲复数.若z=1+i,则z+ i =. z= 1 + i,zz = 1 i,二 iz.-z + i z =1-i + i(1 -i)=(1-i)(1 + i)=2.(2015江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位)，则z的模为.答案 ，5解析 - z2=3+4i, .|z|2=|3+ 4i|=5,即忆|=#.(2015重庆文)复数(1 + 2i)i的实部为.答案 2解析 (1 + 2i)i = i + 2i2=2+i,其实部为2.(2015天津理)i是虚数单位，若复数(12i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为答案 2解析 (1 -2i)(a+ i)=a+2+ (1-2a)i,由已知，得 a+ 2=0,12aw0,，a=2.二、解答题计算:1-i 1+i1-V3i解析(1)二12 + j + i2 =(1 + i) C-i)(2) ,3+