弹塑性力学-结构的塑性极限分析

1、1第十章 结构的塑性极限分析梁的弹塑性弯曲塑性极限分析定理和方法梁的极限分析圆板的极限分析梁模型法计算圆板和环板的塑性极限载荷2101 梁的弹塑性弯曲一基本假定平截面假设：在变形过程中，变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且与变形后梁的轴线垂直。bhzyPxl/2l/2Pl/4sxsx纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。3二弹性阶段Mises屈服条件：弹性极限弯矩弹性极限载荷 Pxl/2l/2bhzy4三弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）塑性区扩展zPxl/2l/2zo弹塑性

2、区交界线：5Pxl/2l/2zo弹塑性区交界线：Pl/46四全塑性阶段Pxl/2l/2zo塑性极限弯矩塑性极限载荷 z确定塑性区位置 7塑性铰：在全塑性阶段，跨中截面的上下两塑性区相连，使跨中左右两截面产生像结构（机械）铰链一样的相对转动塑性铰。特点：塑性铰的存在是由于该截面上的弯矩等于塑性极限弯矩；故不能传递大于塑性极限弯矩的弯矩。塑性铰是单向铰，梁截面的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致。否则将使塑性铰消失。Pxl/2l/2zoPxl/2l/2z8例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑性极限载荷、弹塑性分界线。Pxlzo解：bhzy9Pxlzoz10一有关塑性极限分析的基本概念弹塑

3、性分析方法的缺点：102 塑性极限分析定理与方法（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。（2）了解整个加载过程。（3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。塑性极限状态： 理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。塑性极限载荷：塑性极限状态对应的载荷。11塑性极限分析的基本假定：（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。（2）变形是微小的。（3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）结构在塑性极限状态应满足的条件：（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。（2）极限条件：达到塑

4、性极限状态时内力场不违背的条件（屈服条件。）（3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重合几何方程，且被外界约束的物体表面上满足位移和速度边界条件。）塑性极限分析的完全解：满足平衡条件、极限条件、破坏机构条件的解。12二虚功原理和虚功率原理虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变能）。VSTFiSuui虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。13证明：平衡方程：边界条件：Green 公式：体力为零时：14虚功率原理：在外力作用

5、下处于平衡的变形体，若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应力的虚功率。体力为零时：满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场）虚应变率场（机动允许的）虚速度场（机动允许的）15下限定理：静力允许的内力场：满足平衡条件（平衡微分方程和面力边界条件），不违背屈服条件的内力场。sPi s : 静力允许载荷系数 放松破坏机构条件（几何方程、位移和速度边界条件）真实内力场：满足静力平衡条件、屈服条件、破坏机构条件的内力场。真实内力场一定是静力允许的内力场。 结构破坏时真实内力场对应的塑性极限载荷系数：l三塑性极限分析定理下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限。

6、静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l 16证明： s l极限状态下：静力允许的内力场：q虚功率原理：由Druker 公设：极限曲面是外凸的。Pi 在真实速度上的功率为正s l172. 上限定理：机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移（速度）场。 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上做功为正三塑性极限分析定理上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l 破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。k P k ：机动允许载荷系数破坏机构所对应的内力场

7、不一定满足极限条件，一般情况下： k l破坏机构是极限状态下的机构，对应的内力场是静力允许的：l = k 18证明： k l设机动允许的位移（速度）场破坏载荷：q虚功率原理：由Druker 公设：极限曲面是外凸的。Pi 在真实速度上的功率为正应力场：k l19下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷是极限载荷的下限。 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l 上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对应的载荷是极限载荷的上限。 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l s l k s l k ：同时满足三个条件， l 为完全解。 s l ： 下限解静力法。 l k ：上限

8、解机动法。20静力法（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力）场。（建立静力允许的应力场）（2）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷，且为极限载荷的下限：Pl- = sP（3）在多个极限荷的下限解中取： Plmax- （4）检查：若结构成为破坏机构，存在一个对应的机动允许的位移场，则：Plmax- =Pl 。否则： Plmax- 为Pl 的一个下限解（近似解）四塑性极限分析方法212. 机动法（1）选择一个破坏机构（几何上允许的、外力做功为正），建立机动允许的位移场。（2）由内功率等于外功率求破坏载荷，且为极限载荷的上限：Pl+= kP（3）在多个破坏荷中取最小值：

9、 Plmin+ （4）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件，则：Plmin+ =Pl 。否则： Plmin+ 为Pl 的一个上限解（近似解）四塑性极限分析方法22103 梁的塑性极限分析一静定梁的极限分析极限弯矩：梁弯曲时某截面上的正应力值处处等于屈服极限（屈服强度），则该截面屈服，它不能继续抵抗弯曲变形，对应的弯矩值称为极限弯矩Mp。塑性铰：凡弯矩值达到极限弯矩Mp的截面，都将丧失继续抵抗弯曲变形的能力，即在保持弯矩值为Mp的情况下，截面两侧可无限地顺着弯矩的转向相对转动，形成尖角，使挠曲线不光滑，曲率趋于无穷大，这同该截面处两侧杆用铰连接相似，故称为塑性铰。（1）单向转动。（2）在

10、塑性铰处有弯矩作用。静定结构的基本特点：（1）无多余联系，内力可以由静力平衡方程唯一确定，内力与结构的变形无关（小变形）。（2）在静定结构中，只要有一个（一部分）截面屈服，结构就变成机构（破坏机构），且最先屈服的截面总是内力最大的截面。23bhzyPxl/2l/2Pl/4 静定梁的极限分析方法：作静定梁的弯矩图。 2. 令最大弯矩等于塑性极限弯矩，求极限载荷。静定梁的内力是静力允许的，对应的机构又是机动允许的，得到的极限载荷是完全解。24 例：确定下列静定梁的极限载荷。Pl（1）Plql（2）ql2/225 例：确定下列静定梁的极限载荷。ql2/2ql/2（3）l/2ABCAB：3MpBC：M

11、p解：ql2/8AB与BC段截面不同，塑性铰可能出现在AB段也可能出现在BC段。作弯矩图。塑性铰出现在AB段时：塑性铰出现在BC段时：26超静定结构的基本特点： （1）有多余联系，内力仅由静力平衡方程不能完全确定，内力与结构的变形有关，所以内力与梁的刚度有关。 （2）在超静定梁中，当梁内截面屈服，即出现塑性铰时，由于梁的刚度发生变化，内力会重新分布，所以梁达到塑性极限状态时塑性铰的位置无法预先知道，应按照逐渐加大载荷的方法逐步确定，但计算不便。 （3）工程中采用可直接计算极限载荷的机动法和静力法。确定方法：二超静定梁的极限分析（1）机动法设定梁的破坏机构利用功能关系计算破坏载荷对于梁的所有可能

12、的破坏机构，计算相应破坏载荷Plmin+ =Pl27（2）静力法根据梁的支承条件及载荷情况画弯矩分布图使梁内各处弯矩值不超过极限弯矩，此时的载荷为下限值找出梁的所有可能的静力允许的弯矩分布，计算相应载荷Plmax- =Pl28例题1：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，试求其塑性极限载荷Pl 。M1PllABC解：静力法作M 图PM1M129例题1：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，试求其塑性极限载荷Pl 。PllABC 取A、C 处为塑性铰，画破坏机构图（保证外力作正功）M1dPABC2qq解：机动法30讨论：设梁的超静定次数为 n ，形成塑性铰的数目为 r ，一般情况下当：r =

13、 n+1 时，形成破坏机构。塑性铰的位置：弯矩为驻值的截面处（固定端、集中载荷处）。在确定静力允许的内力场时，若能同时考虑形成破坏机构所需的塑性铰数目，则得到的解答可接近或等于完全解。若确定的弯矩绝对值等于MP 的截面数目小于塑性铰数目，则还应检查其余弯矩为驻值的截面，其弯矩值应不超过MP ，否则内力场是静力不允许的，求得的载荷也非下限解。PllABCM1PdABC2qq31例题2：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为M P，用机动法试求其塑性极限载荷的上限值 。x解：确定塑性铰位置qlABdxABq+jqDal计算内力功计算外力功求极限载荷xjC32例题3：已知图示超静定梁的塑性极限弯矩为MP，

14、试用静力法和机动法求其塑性极限载荷Pl 。解：静力法作M 图Pl/2ABCPl/2l/2l/2PPRC33Pl/2ABCPl/2l/2l/22qq机动法ABC（1）单跨破坏（2）整体破坏ABC2qqABC（3）整体破坏2q2q载荷对称，在某些截面同时产生塑性铰34例题4：试用机动法求图示三跨超静定梁的塑性极限载荷Pl 。PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP )解：（1）单跨破坏35PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP )（2）两跨破坏36PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP

15、)（3）整体破坏讨论：一般情况下，梁的超静定次数为 n 时，使梁形成破坏机构需n+1个塑性铰，即规定n+1个截面的弯矩达到塑性极限弯矩（弱），此时梁的内力和塑性极限载荷都可确定，并形成整体破坏机构。如梁的塑性铰数目少于n+1个，但足以使部分结构成为机构，该机构称为局部破坏机构。在局部破坏机构中，塑性极限载荷和变成机构的部分内力可唯一确定，若在刚性区能找到一个静力允许的内力场，则得到的上限解为完全解。37PlADC1.5Pl1.5llPl1.5lB(MP )(MP )(1.5MP )1.5MPMPMPMPP38一、轴对称圆板的基本方程二、轴对称圆板的屈服条件（极限条件）三、简支圆板的弹塑性分析四

16、、简支圆板的塑性极限分析五、固支圆板的塑性极限分析104 圆板的塑性极限分析39104 圆板的塑性极限分析一、轴对称圆板的基本方程几何方程40弹性本构方程rzxyqMrMq41dqMqMqtrz平衡方程rdrQrMrq(r)42二、轴对称圆板的屈服条件（极限条件）极限条件：描述某个截面达到极限状态与否的准则。设MP 为板的截面全部进入塑性状态时的弯矩，则有：Mises 条件：板的截面全部进入塑性状态时，应力沿板厚保持不为。则有：MrMq43Mises 条件：2. Tresca 条件：3. 最大正应力条件：MPMPMrMq44三 、简支圆板的弹塑性分析弹性分析rzaq45MrMqrzaq462.

17、 弹塑性分析MPMPMrMqABCDEFTresca 条件：MrMqrzaq弹塑性分界线-圆周rp弹性极限载荷47塑性区：MPMPMrMqABCDEFMrMqrzaqrp48塑性区：平衡方程边界条件：G0rzaqrpMrMpMq49弹性区：MrMpMq3. 全塑性分析塑性极限载荷MrMqMp50四、简支圆板的塑性极限分析MPMPMrMqABCDEFTresca 条件：rzaq1. 确定圆板进入塑性极限状态时，内力组合位于Tresca 六边形的哪条边上：MrMqMp圆板内弯矩为正内力组合位于ABC上圆心处径向和环向弯矩相等内力组合位于B 点周边上径向弯矩为零内力组合位于C 点圆板内弯矩的连续性内

18、力组合位于BC 点极限条件：512. 确定其它内力及极限载荷（平衡方程和边界条件）：平衡方程边界条件：rzaqMrMqMp523. 检查内力场是否违背极限条件（内力场是否是静力许可的）：Mr 在 0 r a 的范围内是单调下降的。534. 找与下限解对应的机动许可的位移（速度）场，若有则下限解为完全解：rzaqMPMPMrMqABCDEF与BC关联的速度场：集中铰圆速度场是机动允许的速度场54五、固支圆板的塑性极限分析rzaqMrMqMPMPMrMqABCDEF1. 确定圆板进入塑性极限状态时，内力组合位于Tresca 六边形的哪条边上：圆心处径向和环向弯矩相等内力组合位于B 点周边上形成塑性

19、铰圆，径向弯矩大于环向弯矩内力组合位于DE 上D 点整个圆板：径向弯矩由正到负，在某一半径处为零内力组合位于C 点55rzaqMPMPMrMqABCDEFMrMPrb极限条件：MqMP2. 确定其它内力及极限载荷（平衡方程和边界条件）：56rzaqMPMPMrMqABCDEFMrMqMPrbMP2. 确定其它内力及极限载荷（平衡方程和边界条件）：平衡方程边界条件：573. 找与下限解对应的机动许可的位移（速度）场，若有则下限解为完全解：MPMPMrMqABCDEFMrMqMPrbMPrzaq58rzaqMrMqMPrbMP59106 梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷一、屈服条件最大弯矩极限条

20、件：MrMpMpMqo二、梁的平衡方程xoxq(x)mdxQ(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)60三、板的平衡方程rorq(r)板2prMrM(x)Q(x)2prQr梁xoxq(x)mm2pMqq(x)2prq(r)极限条件：Mmax Mp 若梁和圆板的边界条件在形式上相同，可通过求解变量转换后梁的问题得到圆板的解答。梁计算模型61四、 梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷的步骤1. 结构转换圆板的半径梁计算模型的跨度rozroz外边界支承圆板梁计算模型的左端为自由端右端与板的支承形式相同。圆板的对称轴梁计算模型上的坐标原点（只研究右半部）rr距圆板的对称轴为 r 处的圆截面

21、坐标为 r 的梁截面622. 载荷与内力转换圆板单位面积上的载荷q(r)梁计算模型上的分布载荷 2rq(r)圆板某一半径上的载荷P梁计算模型相应位置处的集中力 P圆板中 r 处的弯矩Mr梁计算模型上： 2r Mr圆板中的环向弯矩： Mq = Mp （极限条件）梁计算模型上的附加均布弯矩 2 Mp方向与外载荷在梁中产生的弯矩方向相反3. 求塑性极限载荷（梁右端边界条件）r=a 处简支：M0r=a 处固支：M Mp2a Mr 02a Mr 2a Mp63例题1：半径为 a 的固支圆板，受均布载荷 q 作用，圆板单位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。rozra2rqrozaqm= 2Mp简支

22、圆板：解：64例题2：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，受均布载荷 q 作用，圆板单位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。rozaq固支环板：解：brozrabm= 2Mp2rq65例题3：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，在半径为 c 的圆周上作用线分布载荷 p，总值为 P ，单位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。rozap解：brozcabPm= 2Mpcp66弹塑性力学题纲空间应力状态分析：应力张量三个不变量、主应力计算、最大切应力计算、应力强度计算。平衡方程、应力边界条件及应用。应变分析：几何方程、相容方程及应用。应力应变关系：弹塑性力学的简化模型，屈服条件、

23、广义胡克定律、增量理论、全量理论及应用。弹性力学平面问题（直角坐标和极坐标）的应力函数法（重点是半逆解法）。典型弹塑性问题分析。轴的弹塑性扭转。梁的弹塑性弯曲。板的弹性弯曲。塑性极限分析定理和分析方法（静力法和机动法），梁和板的塑性极限分析。67考试时间：2008年12月4日（星期四） 下午2:004:30考试地点：教4楼10168107 多边形板的塑性极限载荷（机动法）一、薄板的破坏机构1. 基本假设：在薄板最大弯矩处形成塑性铰线（直线段）。沿塑性铰线的单位长度上作用着塑性极限弯矩Mp ，不计扭矩和剪力的作用。不计弹性变形。2. 破坏机构的确定规则：（1）薄板的破坏机构由若干板块组成，板内塑

24、性铰线是相邻两板块的转动轴。有塑性铰线的固支边、简支边、过支承板中心的线都是板块的转动轴。板块数目等于支承边界的数目。69（2）塑性铰线在板内相交。（3）终止在自由边界上的塑性铰线，其延长线交于相邻两板块转动轴的交点上。该交点可能位于无穷远处。（4）集中力作用下，塑性铰线交于载荷作用点。70二、周边简支的多边形板POd破坏机构：角锥体在O 处受集中力P 作用OACBaibiOA=liabdqiq1q2：相对转角71塑性极限弯矩：MP在塑性铰线 li 上做的内力功：n 多边形，总的内力功Wi ：外力P 做的外力功We ：POddqiq1q272正多边形（集中力作用在板中心）：73三、周边固支的多边形板固支边上形成塑性铰线在O 处受集中力P 作用OACOD=hiji ：板块AOC相对AC的转角OdDAC=ai内力功Wi ：Daibibi-1外力功We ：74正多边形（集中力作用在板中心）：75ABCDE例题1：边长