江西省赣州市2015届高三数学一模试题(卷）（理科）（解析版）

1、 27/27 2015年省市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2x20，B=x|log4x0.5，则（）AAB=BBACARB=RDAB2在复平面，复数对应的点的坐标为（）A（0，1）BCD3已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+xABCD4已知双曲线x2=1的两条渐近线的夹角为60，且焦点到一条渐近线的距离大于，则b=（）A3BCD5要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查若在男生甲被

2、选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A4B5C6D76某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框应分别填入的语句是（）Ac=a；i9Bb=c；i9Cc=a；i10Db=c；i107已知向量，若向量满足与的夹角为120，则=（）A1BC2D8设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A10B5C0D59一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A32B18C16D1010如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2a，b，若 f（x1）=f（x2），有，则

3、（）Af（x）在上是减函数Bf（x）在上是减函数Cf（x）在上是增函数Df（x）在上是减函数11过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A1B2C4D812已知函数f（x）=（a3）xax3在1，1的最小值为3，则实数a的取值围是（）A（，1B12，+）C1，12D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，513展开式中的常数项为14若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值15A、B、C三点在同一球面上，BAC=135，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积

4、为16已知数列an满足，Sn是其前n项和，若S2015=1007b，且a1b0，则的最小值为三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角A的大小；（）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值18在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，PDPB，PA=PD（）求证：平面PAD平面PAB；（）设E是棱AB的中点，PEC=90，AB=2，求二面角EPCB的余弦值19某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，

5、该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人（）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望20已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为（）求E的方程；（）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x=3分别交于C、D两点，设ACD与AMN的面积分别记为S1、S2，求2S1S2的最小值21设函数f（x）=（e为自然对数的底），曲

6、线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=x+b（）求a、b的值，并求函数y=f（x）的单调区间；（）设x0，求证：f（x）请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点（）求证：B、D、H、F四点共圆；（）若AC=2，AF=2，求BDF外接圆的半径选修4-4：坐标系与参数方程23已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重

7、合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合点A、B的极坐标分别为（2，）、（aR），曲线C的参数方程为为参数）（）若，求AOB的面积；（）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x|+|2xa|（）当a=1时，解不等式f（x）1；（）若不等式f（x）a2对任意xR恒成立，数a的取值围2015年省市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=x|x2x20，B=x|log4x0.5，则（）AAB=BBACARB=RDAB【考点】集

8、合的包含关系判断及应用【专题】集合【分析】先根据不等式的解法求出集合A，再根据对数的单调性求出集合B，根据子集的关系即可判断【解答】解：x2x20，（x2）（x+1）0，解得1x2A=（1，2），log4x0.5=log42，0 x2，B=（0，2），BA，故选：B【点评】本题考查了不等式的解法和函数的性质，以及集合的包含关系，属于基础题2在复平面，复数对应的点的坐标为（）A（0，1）BCD【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数=i对应的点的坐标为（0，1），故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础

9、题3已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+xABCD【考点】函数奇偶性的判断【专题】计算题【分析】由奇函数的定义：f（x）=f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（x）=f（x）验证f（|x|）=f（|x|），故为偶函数f（x）=f（x）=f（x），为奇函数xf（x）=xf（x）=xf（x），为偶函数f（x）+（x）=f（x）+x，为奇函数可知正确故选D【点评】题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题4已知双曲线x2=1的两条渐近线的夹角为60，且焦点到一条渐近线的距离大于，则b

10、=（）A3BCD【考点】双曲线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线方程，由夹角公式得到b的方程，再由焦点到渐近线的距离为b，解不等式可得b1，再解b的方程即可得到b【解答】解：双曲线x2=1（b0）的两条渐近线方程为y=bx，即有tan60=|=|=，设焦点（c，0）到一条渐近线的距离为d=b，即有b，解得b1，则有b22b=0，解得b=，故选C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查两直线的夹角公式和点到直线的距离公式的运用，属于基础题5要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查若在男生甲被选中的情况下，

11、女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A4B5C6D7【考点】条件概率与独立事件【专题】计算题；概率与统计【分析】利用在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，建立方程，即可求n的值【解答】解：由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余n1人中选出2人，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余n2人中选1人即可，故=0.4，n=6，故选：C【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础6某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框应分别填入的语句是（）Ac=a；i9Bb

12、=c；i9Cc=a；i10Db=c；i10【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】由斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项的和，由程序框图从而判断空白矩形框应为：b=c，模拟执行程序框图，当第8次循环时，i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值，即可得判断框应为i9【解答】解：由题意，斐波那契数列0，1，1，2，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用a，b来表示前两项，c表示第三项，S为数列前n项和，故空白矩形框应为：b=c，第1次循环：a=0，b=1，S=0+4=1，i=3，求出第3项c=1，求出前3项和S=0+1+1=2，a=1，b=1，满足条件，i=4，执行循环

13、；第2次循环：求出第4项c=1+1=2，求出前4项和S=0+1+1+2=4，a=1，b=2，满足条件，i=5，执行循环；第8次循环：求出第10项c，求出前10项和S，此时i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值故判断框应为i9故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图解决实际问题，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断算法和程序框图是新课标新增的容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题7已知向量，若向量满足与的夹角为120，则=（）A1BC2D【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量

14、及应用【分析】运用坐标求解， =（x，y），得出x2y=5，根据夹角公式得出=，即=，整体代入整体求解即可得出=2选择答案【解答】解：设=（x，y），4=（1，2），|4|=，x+2y=5，即x2y=5，向量满足与的夹角为120=，即=，=，=2故|=2，故选：D【点评】本题综合考查了平面向量的数量积的运算，运用坐标求解数量积，夹角，模，难度不大，计算准确即可完成题目8设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A10B5C0D5【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数

15、列的前10项和等于0【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d（d0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A32B18C16D10【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为4，计算几何体的体积【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：已知正方体的棱长为2，几何体的体积V=43=32故选：A【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是

16、根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量10如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2a，b，若 f（x1）=f（x2），有，则（）Af（x）在上是减函数Bf（x）在上是减函数Cf（x）在上是增函数Df（x）在上是减函数【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的图象特征，求得a+b=，再根据f（a+b）=2sin=，求得的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论【解答】解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x=对称，a+b=x1+x2由五点法作图可得2a+=0，2b+=，a+b=再根据f（a+b）=2

17、sin（2+）=2sin=，可得sin=，=，f（x）=2sin（2x+）在上，2x+（，），故f（x）在上是增函数，故选：C【点评】本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，函数y=Asin（x+）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题11过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A1B2C4D8【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，作出图形，利用抛物

18、线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系：相切，确定抛物线y2=2px的焦点，设直线AB的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得AB的中点M的纵坐标为，由条件即可得到p=4【解答】解：取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心N到准线的距离等于半径，即有以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由M的纵坐标为2，即N的纵坐标为2，抛物线y2=2px的焦点

19、坐标为（，0），设直线AB的方程为y=2（x），即x=y+，与抛物线方程y2=2px联立，消去x，得y2pyp2=0 由韦达定理可得AB的中点N的纵坐标为，即有p=4，故选C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题12已知函数f（x）=（a3）xax3在1，1的最小值为3，则实数a的取值围是（）A（，1B12，+）C1，12D【考点】函数的最值及其几何意义【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】分析四个选项，可发现C、D选项中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D选项，故将代入验证即可；从而得到答案【解答】解：当a=0时

20、，f（x）=3x，x1，1，显然满足，故a可以取0，故排除A，B；当时，所以f（x）在1，1上递减，所以，满足条件，故排除C，故选：D【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，513展开式中的常数项为80【考点】二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1=令155r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数14若不等式

21、组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，若对应的区域为三角形，则m2，由，得，即C（m，m），由，得，即B（m，），由，得，即A（2，2），则三角形ABC的面积S=（m）（2m）=，即（2m）2=，解得2m=，或2m=，即m=或m=（舍），故答案为：；【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合作出对应的图象，利用三角形的面积公式是解决本题的关键15A、B、C三点在同一球面上，BAC=135，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，

22、则此球O的体积为4【考点】球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离；球【分析】运用正弦定理可得ABC的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到【解答】解：由于BAC=135，BC=2，则ABC的外接圆的直径2r=2，即有r=，由于球心O到平面ABC的距离为1，则由勾股定理可得，球的半径R=，即有此球O的体积为V=R3=（）3=4故答案为：4【点评】本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档

23、题16已知数列an满足，Sn是其前n项和，若S2015=1007b，且a1b0，则的最小值为【考点】数列递推式；基本不等式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】由已知递推式得到a2+a3=2，a4+a5=4，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=2014，累加可求S2015，结合S2015=1007b求得a1+b=1，代入展开后利用基本不等式求最值【解答】解：由已知得：a2+a3=2，a4+a5=4，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=2014，把以上各式相加得：S2015a1=2014+1006=1008，S2015=a11008=1007b，即

24、a1+b=1，=故答案为：【点评】本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的和，训练了利用基本不等式求最值，是中档题三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（）求角A的大小；（）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得： =，化为2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；（2）利用正弦定理余弦定理即可得出【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得=，2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，sinC0，A（0，），（2）由s

25、inC=2sinB，得c=2b，由条件a=3，由余弦定理得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=3b2，解得【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，PDPB，PA=PD（）求证：平面PAD平面PAB；（）设E是棱AB的中点，PEC=90，AB=2，求二面角EPCB的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAD平面PAB；

26、（）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】（1）证明：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，ABAD所以AB平面PAD又PD平面PAD，所以PDAB又PDPB，所以PD平面PAB而PD平面PCD，故平面PCD平面PAB（2）如图，建立空间直角坐标系设AD=2a，则A（a，0，0），D（a，0，0）B（a，2，0），C（a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0），则得，设平面PEC的一个法向量，由得令x1=1，则，设平面PEC的一个法向量，由得，令y2=1，则设二面角EPCB的大小为，则故二面角EPCB的余弦值为【点评】本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面

27、角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法19某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人（）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（I）利用数据统计图求出该班有40人，由此能求出

28、该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数（II）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出两人成绩之和的分布列和数学期望【解答】解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有80.2=40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40（10.3750.3750.150.025）=400.075=3（II）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20 ，所以的分布列为X1617181920P所以所以的数学期望为【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意

29、数据统计图的合理运用20已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为（）求E的方程；（）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x=3分别交于C、D两点，设ACD与AMN的面积分别记为S1、S2，求2S1S2的最小值【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（I）通过P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为，及焦距为2，计算可得a2=4，b2=3，从而可得E的方程；（II）设直线MN的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），可得直线MA的方程，

30、联立直线MN与椭圆E的方程，利用韦达定理可得S1，S2的表达式，通过换元法计算可得结论【解答】解：（I）根据题意，设P（x0，y0），Q（x0，y0），则，依题意有，又c=1，所以a2=4，b2=3，故椭圆E的方程为：；（II）设直线MN的方程为x=my+1，代入E的方程得（3m2+4）y2+6my9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理知，又直线MA的方程为，将x=3代入，得，同理，所以，所以，则2S1S2=3，令，则m2=t21，所以，记，则，所以f（t）在1，+）单调递增，从而f（t）的最小值为，故2S1S2的最小值为【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，

31、韦达定理，换元法等知识，注意解题方法的积累，属于难题21设函数f（x）=（e为自然对数的底），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=x+b（）求a、b的值，并求函数y=f（x）的单调区间；（）设x0，求证：f（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；证明题；导数的综合应用【分析】（）先求导，由题意令，从而解得a=2；从而再求得，由导数确定函数的单调区间；（）所证不等式等价于，又由，可先证，从而证明不等式成立【解答】解：（）因为，而，所以，解得a=2；所以，因此，由知，当x1时，f（x）0，当x1且x2时，f（x）0；故f（x）的单调增区间

32、是（1，+），减区间是（，2）和（2，1），（）证明：所证不等式等价于，因为，先证，记，g（x）=ex2x2，记u（x）=ex2x2，则u（x）=ex2，由此可知，u（x）在（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增；因为u（1）u（2）0，u（1）u（0）0，故g（x）=0在（0，+）只有一个零点x1（1x12），且，所以g（x）在（0，x1）递减，在（x1，+）递增，所以当x0时，即，又，所以，即，故【点评】本题考查了导数的综合应用及放缩法证明不等式的应用，属于难题请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评

33、分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点（）求证：B、D、H、F四点共圆；（）若AC=2，AF=2，求BDF外接圆的半径【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段【专题】直线与圆【分析】（）由已知条件推导出BFFH，DHBD，由此能证明B、D、F、H四点共圆（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=ACAD，解得AD=4，BF=BD=1，由AFBADH，得DH=，由此能求出BDF的外接圆半径【解答】（）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BFFH，又DHBD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆（2）解：因为