2014年高考数学(理)真题分类汇编：K单元__概率

1、 数 学 K单元 概率 K1随事件的概率20 2014湖北卷 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运

2、行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20解：(1)依题意，p1P(40X120)eq f(5,50)0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为pCeq oal(0,4)(1p3)4Ceq oal(1,4)(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5000，E(Y)500015000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台

3、发电机运行，此时Y50008004200，因此P(Y4200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0

4、.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台17，2014四川卷 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为eq f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游

5、戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因17解：(1)X可能的取值为10，20，100，200.根据题意，有P(X10)Ceq oal(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(2)eq f(3,8)，P(X20)Ceq oal(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(1)eq f(3,8)，P(X100)Ceq o

6、al(3,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(0)eq f(1,8)，P(X200)Ceq oal(0,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(3)eq f(1,8).所以X的分布列为：X1020100200Peq f(3,8)eq f(3,8)eq f(1,8)eq f(1,8)(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1，2，3)，则P(A1)P(A2)P

7、(A3)P(X200)eq f(1,8).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq sup12(3)1eq f(1,512)eq f(511,512).因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是eq f(511,512).(3)由(1)知，X的数学期望为EX10eq f(3,8)20eq f(3,8)100eq f(1,8)200eq f(1,8)eq f(5,4).这表明，获得分数X的均值为负因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大K2古典概型11、2014广东卷 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取

8、七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_11.eq f(1,6)18、2014福建卷 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预

9、算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由18解：(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意，得P(X60)eq f(Ceq oal(1,1)Ceq oal(1,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2).即顾客所获的奖励额为60元的概率为eq f(1,2)，(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X60)eq f(1,2)，P(X20)eq f(Ceq oal(2,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2)，即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)200.5600.540(元)(2)根据商场

10、的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获

11、的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X1的期望为E(X1)20eq f(1,6)60eq f(2,3)100eq f(1,6)60，X1的方差为D(X1)(2060)2eq f(1,6)(6060)2eq f(2,3)(10060)2eq f(1,6)eq f(1600,3).对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X2的期望为E(X2)40eq f(1,6)60eq f(2,3)80eq f(1,6)60

12、，X2的方差为D(X2)(4060)2eq f(1,6)(6060)2eq f(2,3)(8060)2eq f(1,6)eq f(400,3).由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.52014新课标全国卷 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.eq f(1,8) B.eq f(3,8)C.eq f(5,8) D.eq f(7,8)5D62014陕西卷 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 ()A.eq f(1,5) B.eq

13、f(2,5) C.eq f(3,5) D.eq f(4,5)6C16、2014天津卷 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望16解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,7)Ceq oal(0,3)Ceq oal(3,

14、7),Ceq oal(3,10)eq f(49,60)，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq f(49,60).(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(Xk)eq f(Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,6),Ceq oal(3,10)(k0，1，2，3)，所以随机变量X的分布列是X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)随机变量X的数学期望E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)eq f(6,5).9、2014浙江卷 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球

15、和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1，2)个球放入甲盒中(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1，2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1，2)则()Ap1p2，E(1)E(2) Bp1E(2) Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)E(2)9A18，2014重庆卷 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc

16、，则称b为这三个数的中位数)18解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为Peq f(Ceq oal(3,4)Ceq oal(3,3),Ceq oal(3,9)eq f(5,84).(2)X的所有可能值为1，2，3，且P(X1)eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,5)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,9)eq f(17,42)，P(X2)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(1,4)Ceq oal(1,2)Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,6)Ceq oal(3,3),Ceq oal(3,9)eq f(43,84)，P(X3)eq f(

17、Ceq oal(2,2)Ceq oal(1,7),Ceq oal(3,9)eq f(1,12)，故X的分布列为X123Peq f(17,42)eq f(43,84)eq f(1,12)从而E(X)1eq f(17,42)2eq f(43,84)3eq f(1,12)eq f(47,28).K3几何概型14、2014福建卷 如图14，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_图1414.eq f(2,e2)72014湖北卷 由不等式组eq blc(avs4alco1(x0，,y0，,yx20)确定的平面区域记为1，不等式组eq blc(avs4alco1

18、(xy1，,xy2)确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A.eq f(1,8) B.eq f(1,4) C.eq f(3,4) D.eq f(7,8)7D142014辽宁卷 正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图13所示若将个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_图1314.eq f(2,3)K4 互斥事件有一个发生的概率17、2014湖南卷 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq f(2,3)和eq f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新

19、产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望17解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)eq f(2,3)，P(E)eq f(1,3)，P(F)eq f(3,5)，P(F)eq f(2,5)，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则HE F，于是P(H)P(E)P(F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，故所求的概率为P(H)1P(H)1eq

20、f(2,15)eq f(13,15).(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X0)P(E F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，P(X100)P(E F)eq f(1,3)eq f(3,5)eq f(1,5)，P(X120)P(E F)eq f(2,3)eq f(2,5)eq f(4,15)，P(X220)P(EF)eq f(2,3)eq f(3,5)eq f(2,5)，故所求的分布列为X0100120220Peq f(2,15)eq f(1,5)eq f(4,15)eq f(2,5)数学期望为E(X)0eq f(2,15

21、)100eq f(1,5)120eq f(4,15)220eq f(2,5)eq f(3004801320,15)eq f(2100,15)140.16、2014天津卷 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望16解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)eq f(Ceq

22、oal(1,3)Ceq oal(2,7)Ceq oal(0,3)Ceq oal(3,7),Ceq oal(3,10)eq f(49,60)，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq f(49,60).(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(Xk)eq f(Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,6),Ceq oal(3,10)(k0，1，2，3)，所以随机变量X的分布列是X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)随机变量X的数学期望E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)e

23、q f(6,5).K5 相互对立事件同时发生的概率17、2014安徽卷 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为eq f(2,3)，乙获胜的概率为eq f(1,3)，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)17解： 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)eq f(2,3)，P(Bk)eq f(1,3)，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)

24、P(B1A2A3)P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(2,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(56,81).(2)X的可能取值为2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)eq f(5,9)，P(X3)P(B1A2A3)

25、P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)eq f(2,9)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)eq f(10,81)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)eq f(8,81).故X的分布列为X2345Peq f(5,9)eq f(2,9)eq f(10,81)eq f(8,81)EX2eq f(5,9)3eq f(2,9)4eq f(10,81)5eq f(8,81)eq f(224,81).16、2014北京卷 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如

26、下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小(只需写出结论)16解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分

27、别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”则CABAB，A，B相互独立根据投篮统计数据，P(A)eq f(3,5)，P(B)eq f(2,5).故P(C)P(AB)P(AB)eq f(3,5)eq f(3,5)eq f(2,5)eq f(2,5)eq f(13,25).所以，在随机选择的一

28、个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为eq f(13,25).(3)EXeq o(x,sup6().17、2014广东卷 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25，3030.12(30，3550.20(35，4080.32(40，45n1f1(45，50n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(

29、2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35的概率20、2014湖北卷 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最

30、多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20解：(1)依题意，p1P(40X120)eq f(5,50)0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为pCeq oal(0,4)(1p3)4Ceq oal(1,4)(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率

31、为1，对应的年利润Y5000，E(Y)500015000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y50008004200，因此P(Y4200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5000315 000，

32、因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台21、2014江西卷 随机将1，2，2n(nN*，n2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2.记a2a1，b2b1.(1)当n3时，求的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“与的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，eq o(C,sup6()表示C的

33、对立事件，判断P(C)和P(eq o(C,sup6()的大小关系，并说明理由21解：(1)当n3时，的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有Ceq oal(3,6)20(种)，所以的分布列为：2345Peq f(1,5)eq f(3,10)eq f(3,10)eq f(1,5)E2eq f(1,5)3eq f(3,10)4eq f(3,10)5eq f(1,5)eq f(7,2).(2)和恰好相等的所有可能取值为n1，n，n1，2n2.又和恰好相等且等于n1时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；和恰好相等且等于nk(k1

34、，2，n2)(n3)时，不同的分组方法有2Ceq oal(k,2k)种所以当n2时，P(C)eq f(4,6)eq f(2,3)，当n3时，P(C)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(n2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k),Ceq oal(n,2n).(3)由(2)得，当n2时，P(C)eq f(1,3)，因此P(C)P(C)而当n3时，P(C)P(C)理由如下：P(C)P(C)等价于4(2eq o(,sup6(n2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)Ceq oal(n,2n)，用数学归纳法来证明：(i)当n3时，式左边4(2Ceq oal(

35、1,2)4(22)16，式右边Ceq oal(3,6)20，所以式成立(ii)假设nm(m3)时式成立，即4eq blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(m2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)Ceq oal(m,2m)成立，那么，当nm1时，左边4eq blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(m12),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)4eq blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(m2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)4Ceq oal(m1,2（m1）)Ceq oal(m,2m)4Ceq oal(m1,2（m1）)eq

36、 f(（2m）！,m！m！)eq f(4（2m2）！,（m1）！（m1）！)eq f(（m1）2（2m）（2m2）！（4m1）,（m1）！（m1）！)eq f(（m1）2（2m）（2m2）！（4m）,（m1）！（m1）！)Ceq oal(m1,2（m1）)eq f(2（m1）m,（2m1）（2m1）)Ceq oal(m1,2（m1）)右边，即当nm1时，式也成立综合(i)(ii)得，对于n3的所有正整数，都有P(C)P(C)成立18、2014辽宁卷 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图14所示图14将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独

37、立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)18解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为P(X0)Ceq oal(0,

38、3)(10.6)30.064，P(X1)Ceq oal(1,3)0.6(10.6)20.288，P(X2)Ceq oal(2,3)0.62(10.6)0.432，P(X3)Ceq oal(3,3)0.630.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.20、2014全国卷 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求

39、X的数学期望20解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i0，1，2.B表示事件：甲需使用设备C表示事件：丁需使用设备D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(1)因为P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)Ceq oal(i,2)0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1BCA2BA2BC)P(A1BC)P(A2B)P(A2BC)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)031.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X0)P(BA0C)P(B)P(A0)P(C)(10.6)0.52(10.4)0.06，P(X1)P(BA0CB

40、A0CBA1C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A1)P(C)0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25，P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38，所以 EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062.17，2014四川卷 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出

41、现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为eq f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因17解：(1)X可能的取值为10，20，100，200.根据题意，有P(X10)Ceq oal(1,3)eq blc(rc)(avs4al

42、co1(f(1,2)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(2)eq f(3,8)，P(X20)Ceq oal(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(1)eq f(3,8)，P(X100)Ceq oal(3,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(0)eq f(1,8)，P(X200)Ceq oal(0,3)

43、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(3)eq f(1,8).所以X的分布列为：X1020100200Peq f(3,8)eq f(3,8)eq f(1,8)eq f(1,8)(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1，2，3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)eq f(1,8).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq sup12(3)1eq f(1,512)eq f(511,

44、512).因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是eq f(511,512).(3)由(1)知，X的数学期望为EX10eq f(3,8)20eq f(3,8)100eq f(1,8)200eq f(1,8)eq f(5,4).这表明，获得分数X的均值为负因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大K6离散型随机变量及其分布列17、2014安徽卷 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为eq f(2,3)，乙获胜的概率为eq f(1,3)，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为

45、比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)17解： 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)eq f(2,3)，P(Bk)eq f(1,3)，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(2,3)eq f

46、(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(56,81).(2)X的可能取值为2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)eq f(5,9)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)eq f(2,9)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)eq f(10,81)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)eq f(8,81).故X的分

47、布列为X2345Peq f(5,9)eq f(2,9)eq f(10,81)eq f(8,81)EX2eq f(5,9)3eq f(2,9)4eq f(10,81)5eq f(8,81)eq f(224,81).16、2014北京卷 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李

48、明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小(只需写出结论)16解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0

49、.6，一场不超过0.6”则CABAB，A，B相互独立根据投篮统计数据，P(A)eq f(3,5)，P(B)eq f(2,5).故P(C)P(AB)P(AB)eq f(3,5)eq f(3,5)eq f(2,5)eq f(2,5)eq f(13,25).所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为eq f(13,25).(3)EXeq o(x,sup6().18、2014福建卷 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励

50、额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由18解：(1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意，得P(X60)eq f(Ceq oal(1,1)Ceq oal(1,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2).即顾

51、客所获的奖励额为60元的概率为eq f(1,2)，(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X60)eq f(1,2)，P(X20)eq f(Ceq oal(2,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2)，即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)200.5600.540(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值

52、之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X1的期望为E(X1)20eq f(1,6)60eq f(2,3)100eq f(1,6)60，X1的方差为D(X1)(2060)2eq f(1,6)(6

53、060)2eq f(2,3)(10060)2eq f(1,6)eq f(1600,3).对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X2的期望为E(X2)40eq f(1,6)60eq f(2,3)80eq f(1,6)60，X2的方差为D(X2)(4060)2eq f(1,6)(6060)2eq f(2,3)(8060)2eq f(1,6)eq f(400,3).由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.20、2014湖北卷 计

54、划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损

55、800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20解：(1)依题意，p1P(40X120)eq f(5,50)0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为pCeq oal(0,4)(1p3)4Ceq oal(1,4)(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5000，E(Y)500015000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y50008004200，因此P(Y4200)P

56、(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715

57、0000.18620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台17、2014湖南卷 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为eq f(2,3)和eq f(3,5).现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望17解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)eq f(2,3)，P(E)eq f(1,3)，P(F)eq f(3,5)，P(F)eq f

58、(2,5)，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则HE F，于是P(H)P(E)P(F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，故所求的概率为P(H)1P(H)1eq f(2,15)eq f(13,15).(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(X0)P(E F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，P(X100)P(E F)eq f(1,3)eq f(3,5)eq f(1,5)，P(X120)P(E F)eq f(2,3)eq f(2,5)eq f(4,15)，P

59、(X220)P(EF)eq f(2,3)eq f(3,5)eq f(2,5)，故所求的分布列为X0100120220Peq f(2,15)eq f(1,5)eq f(4,15)eq f(2,5)数学期望为E(X)0eq f(2,15)100eq f(1,5)120eq f(4,15)220eq f(2,5)eq f(3004801320,15)eq f(2100,15)140.122014江西卷 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是_12.eq f(1,2)21、2014江西卷 随机将1，2，2n(nN*，n2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数

60、A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2.记a2a1，b2b1.(1)当n3时，求的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“与的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，eq o(C,sup6()表示C的对立事件，判断P(C)和P(eq o(C,sup6()的大小关系，并说明理由21解：(1)当n3时，的所有可能取值为2，3，4，5.将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有Ceq oal(3,6)20(种)，所以的分布列为：2345Peq f(1,5)eq f(3,10)eq f(3,10)eq f(1,5)E2eq f(1,5)3eq