高三数学知识点：运用向量方法解决轨迹方程

1、高三数学知识点：运用向量方法解决轨迹方程天津市第四十二中学 李艳杰二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。例1：定点A2,0，点P在曲线x2+y2=1x1上运动，AOP的平分线交PA于Q，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。解: 设Qx,y,Px1,y1-=x-2,y-= x1-x,y1-y又-=-=- -=2-即：x-2,y=2x1-x,y1-y解得：-代入x12+y12=1x1有：-3x-22+-y2=1x-即所求轨迹方程为：x-2+y2=-x-【点拨】用该方法解此类问题简单明了，假设将Q视为线段AP的定比分点，运用定比分点公式解此题，那么计算过程既繁琐又容易出错。例2：设过点Px,y的直

2、线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设-=2-,且-=1,求P点的轨迹方程。解：-=2-P分有向线段-所成的比为2由Px,y可得B0,3y,A-x,0- =-x,3yQ与P关于y轴对称, Q-x,y,-且 =-x,y由-=1可得-x2+3y2=1x0即所求点P的轨迹方程为-x2+3y2=1x0【点拨】求动点轨迹方程时应注意它的完备性与纯粹性。化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点。三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。例1：如图，过定点Aa,b任意作互相垂直的直线l1与l2，且l1与x轴相交于M点，l2与y轴

3、相交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程。解：设Px,y，那么M2x,0，N0,2y-=2x-a ,-b-=-a,2y-b由-知-=02x-a-a+-b2y-b=0即所求点P的轨迹方程为2ax+2by=a2+b2【点拨】用勾股定理解此题，运算繁琐，假设用斜率解此题，又必须分类讨论，用向量的方法防止了上述两种方法的缺陷，使解题优化。例2：过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，过原点O作OMAB，垂足M，求点M的轨迹方程。解：设Mx,y, OMAB，F2,0-=0且-=x,y,-=2-x,-yx2-x-y2=0，即：x2+y2-2x=0点M的轨迹方程为x2+y2-2x=0由以上几例可

4、以看出：轨迹方程的很多题目都可以用向量来探求思路。用向量解决求轨迹问题，最理想的情形是题设中有“向量的数量积“平行“垂直，或结论与“垂直有关。重要的是在学习和应用的过程中培养向量意识，使向量成为我们处理问题的根本工具。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模拟，才能不断地掌握高一级程度的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的才能，课堂上，我特别重视老师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，上下起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还

5、通过各种兴趣活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的才能，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的才能，强化了记忆，又开展了思维，为说打下了根底。老师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模拟。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。责任编辑:moninfu要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模拟，才能不断地掌握高一级程度的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的才能，课堂上，我特别重视老师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，上下起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种兴趣活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的才能，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正