高中数学对称问题分类

1、高中数学对称问题分类对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵敏的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。一、点关于点或直线对称点问题1、设点Px，y关于点a,b对称点为Px，y，x=2a-x由中点坐标公式可得：y=2b-y2、点Px，y关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x=x-Ax+By+CPx，y那么y=y-AX+BY+C事实上：PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。- =-1B0特别地，点Px，y关于1、x轴和y轴的对称点分别为x，-y和-x，y2、直线x=a和y=a的对标点分别为2a-x

2、，y和x，2a-y3、直线y=x和y=-x的对称点分别为y，x和-y，-x例1 光线从A3,4发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B1,5，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A5,0，B关于y轴对称点B为-1,5，直线AB的方程为5x+6y-25=0C0, 直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于点或直线的对称曲线问题求曲线Fx，y=0关于点或直线的对称曲线方程时，只须将曲线Fx，y=O上任意一点x，y关于点或直线的对称点的坐标交换方程Fx，y=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。1、曲线Fx，y=

3、0关于点a,b的对称曲线的方程是F2a-x，2b-y=02、曲线Fx，y=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是Fx-Ax+By+C，y-Ax+By+C=0特别地，曲线Fx，y=0关于1x轴和y轴对称的曲线方程分别是Fx，-y和F-x，y=02关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F2a-x，y=0和Fx，2a-y=03关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是Fy，x=0和F-y，-x=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=fx的图象而言，去掉y轴左边图象，保存y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f|x|的图象;保存x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|fx|的

4、图象。例2全国高考试题设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行挪动t，s单位长度后得曲线C1：1写出曲线C1的方程2证明曲线C与C1关于点A , 对称。1解 知C1的方程为y=x-t3-x-t+s2证明 在曲线C上任取一点Ba,b，设B1a1,b1是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=t-a13-t-a1b1=a1-t3-a1-t+sB1a1,b1满足C1的方程B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上曲线C和C1关于a对称我们用前面的结论来证：点Px,y关于A的对称点为P1t-x,s-y，为了求得C关于A的对称曲

5、线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=t-x3-t-xy=x-t3-x-t+s此即为C1的方程，C关于A的对称曲线即为C1。三、曲线本身的对称问题曲线Fx,y=0为中心或轴对称曲线的充要条件是曲线Fx,y=0上任意一点Px,y关于对称中心或对称轴的对称点的坐标交换曲线方程中相应的坐标前方程不变。例如抛物线y2=-8x上任一点px,y与x轴即y=0的对称点px,-y，其坐标也满足方程y2=-8x，y2=-8x关于x轴对称。例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲线：A、关于y轴对称 B、关于直线x+y=0对称C、关于原点对称 D、关于直线x-y=0对称解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得-

6、x-y2-x2-y=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变曲线关于原点对称。函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：1、函数fx定义线为R，a为常数，假设对任意xR，均有fa+x=fa-x，那么y=fx的图象关于x=a对称。这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。例如对于fx假设tR均有f2+t=f2-t那么fx图象关于x=2对称。假设将条件改为f1+t=f3-t或ft=f4-t结论又如何呢?第一式中令t=1+m那么得f2+m=f2-m;第二式中令t=2+m，也得f2+m=f2-m，所以

7、仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：2、函数fx定义域为R，a、b为常数，假设对任意xR均有fa+x=fb-x，那么其图象关于直线x= 对称。我们再来讨论以下问题：假设将条件改为f2+t=-f2-t结论又如何呢?试想假如2改成0的话得ft=-ft这是奇函数，图象关于0,0成中心对称，如今是f2+t=-f2-t造成了平移，由此我们猜测，图象关于M2，0成中心对称。如图，取点A2+t，f2+t其关于M2，0的对称点为A2-x，-f2+x-f2+X=f2-xA的坐标为2-x，f2-x显然在图象上图象关于M2，0成中心对称。其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧

8、,“死记之后会“活用。不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正进步学生的写作程度,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效。假设将条件改为fx=-f4-x结论一样，推广至一般可得以下重要结论：要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言开展的障碍。不少幼儿当众说话时显得害怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部

9、表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学形式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的时机，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断进步，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，

10、声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模拟。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断进步。要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言开展的障碍。不少幼儿当众说话时显得害怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学形式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的时机，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确