2022年高考数学一轮复习考点规范练15导数与函数的单调性极值最值含解析新人教A版

1、PAGE PAGE 9考点规范练15导数与函数的单调性、极值、最值基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+)答案:D解析:函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.2.若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0答案:A解析:x=1是函数f(x)

2、=ax+lnx的极值点,f(1)=0,a+11=0,a=-1.f(x)=-1+1x=0 x=1.当x1时,f(x)0,当0 x0,因此f(x)有极大值-1.3.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f(x),满足f(x)2ex的解集为()A.(-,0)B.(-,2)C.(0,+)D.(2,+)答案:C解析:设g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex.f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.f(0)=2,g(0)=f(0)=2,不等式f(x)2ex等价于g(x)g(0).函数g(x)在定义域内单调递增.x0,不等式的解集为(0,+),故选C.4.函数y=f(x)的导函数

3、y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案:D解析:设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10 x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)内,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.5.已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在区间t,t+1上不单调,则t的取值范围是.答案:(0,1)(2,3)解析:由题意知f(x)=-x+4-3x=-x2+4x-3x=-(x-1)(x-3)x.由f(x)=0得x1=1,x2=3,可知1,3是函数f(x)的两个极值点.则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f

4、(x)在区间t,t+1上就不单调,由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0解得0 x1,由g(x)1,即函数g(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减.当a0时,令g(x)=0,得x=1或x=12a,若12a12,则由g(x)0解得x1或0 x12a,由g(x)0解得12ax1,即0a0解得x12a或0 x1,由g(x)0解得1x12a,即函数g(x)在区间(0,1),12a,+内单调递增,在区间1,12a内单调递减;若12a=1,即a=12,则在区间(0,+)上恒有g(x)0,即函数g(x)在区间(0,+)内单调递增.综上可得:当a=0时,函数g(x)在区间(0,1)内

5、单调递增,在区间(1,+)内单调递减;当0a12时,函数g(x)在区间0,12a内单调递增,在区间12a,1内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.7.已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0a0,则当x(-,0)a3,+时,f(x)0;当x0,a3时,f(x)0.故f(x)在(-,0),a3,+单调递增,在0,a3单调递减;若a=0,f(x)在(-,+)单调递增;若a0;当xa3,0时,f(x)0.故f(x)在-,a3,(0,+)单调递增,在a3,0单调递减.(2)当0a3时,由(1)知,f(x)在0,a3单调递减,在a3,1单调递增,所以f(x)在0,1

6、的最小值为fa3=-a327+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.于是m=-a327+2,M=4-a,0a2,2,2a3.所以M-m=2-a+a327,0a2,a327,2a3.当0a2时,可知2-a+a327单调递减,所以M-m的取值范围是827,2.当2a0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.解:设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2lnx-2x+1-c,其定义域为(0,+),h(x)=2x-2.(1)当0 x0;当x1时,h(x)0.所以h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+)单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1

7、-c.故当且仅当-1-c0,即c-1时,f(x)2x+c.所以c的取值范围为-1,+).(2)g(x)=f(x)-f(a)x-a=2(lnx-lna)x-a,x(0,a)(a,+).g(x)=2x-ax+lna-lnx(x-a)2=21-ax+lnax(x-a)2.取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当x1时,h(x)0,即1-x+lnx0.故当x(0,a)(a,+)时,1-ax+lnax0,从而g(x)0.所以g(x)在区间(0,a),(a,+)单调递减.9.设函数f(x)=3x2+axex(aR).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲

8、线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在区间3,+)内为减函数,求a的取值范围.解:(1)对f(x)求导得f(x)=(6x+a)ex-(3x2+ax)ex(ex)2=-3x2+(6-a)x+aex.因为f(x)在x=0处取得极值,所以f(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f(1)=3e,从而f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-3e=3e(x-1),化简得3x-ey=0.(2)由(1)知f(x)=-3x2+(6-a)x+aex.令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,由g(x)=0解得x1=6-a

9、-a2+366,x2=6-a+a2+366.当xx1时,g(x)0,即f(x)0,故f(x)为减函数;当x1x0,即f(x)0,故f(x)为增函数;当xx2时,g(x)0,即f(x)0(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.2f-3f-4B.2f32f3D.f(0)2f4答案:A解析:构造函数g(x)=f(x)cosx,则g(x)=1cos2xf(x)cosx+f(x)sinx.对任意的x-2,2满足f(x)cosx+f(x)sinx0,g(x)0,即函数g(x)在区间-2,2内单调递增.g-3g-4,即f-3cos-3f-4cos-4.2f-312,1-2x-2l

10、nx,012时,f(x)=2-2x=2(x-1)x,令f(x)=0,则x=1,所以当x12,1时,f(x)0,f(x)单调递增,所以函数f(x)在区间12,+内的最小值为f(1)=1;当0 x12时,f(x)=-2-2x1.综上,f(x)min=f(1)=1.12.已知函数f(x)=ex-12x2+ax(aR).(1)当a-1时,试判断函数f(x)的单调性;(2)若a0时,g(x)0,f(x)在区间(0,+)内单调递增,当x0时,g(x)-1,所以1+a0,即f(x)0,所以函数f(x)在R上单调递增.(2)证明由(1)知f(x)在区间1,+)内单调递增,因为a1-e,所以f(1)=e-1+a

11、1,则h(x)=x(1-ex)0恒成立,所以函数h(x)在区间(1,+)内单调递减,所以h(x)e(1-1)+1212=12,所以et(1-t)+12t212,即当x1,+)时,f(x)min0,f(x)=2x+1x2-3x=2x3-3x+1x2=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,当3-12x1时,f(x)0,当0 x1时,f(x)0.f(x)的减区间是3-12,1,增区间是0,3-12和(1,+).(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,则需f(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2有两个不相等的正零点.令g(x)=2x3+ax+1(x0),故需g(x)有两个不相等的正零点,则g(x)=6x2+a.当a0时,g(x)0,g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有两个极值点.当a0时,g(x)=6x2+a=6x2-a6=6x+-a6x-a6,当0 x-a6时,g(x)-a6时,g(x)0.故g(x)在区间0,-a6内单调递减,在区间