人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第五章第4节　数列求和及综合应用

1、第4节数列求和及综合应用 知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练数列求和1,3,4,5,6,7,8数列综合应用2,9,1012,13,14,15,16数列创新题11171.数列1+2n-1的前n项和为(C)A.1+2n B.2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n解析:由题意得an=1+2n-1,所以Sn=n+1-2n1-2=n+2n-1.故选C.2.我国古代数学名著算法统宗中说:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配

2、时一定要按照次序分,要顺从父母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中,第8个孩子分到的棉花为(A)A.184斤B.176斤C.65斤D.60斤解析:依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为an,公差为d,前n项和为Sn,第一个孩子所得棉花斤数为a1,则由题意得,d=17,S8=8a1+87217=996,解得a1=65,所以a8=a1+(8-1)d=184.故选A.3.数列an的通项公式是an=1n+n+1,前n项和为9,则n等于(B)A.9B.99C.10D.100解析:因为an=1n+n+1=n+1-n,所以Sn=a1+a2+an=(n+1-n)+(n-n-

3、1)+(3-2)+(2-1)=n+1-1,令n+1-1=9,得n=99.故选B.4.数列an的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则它的前100项和为(B)A.200B.-200C.400D.-400解析:S100=(41-3)-(42-3)+(43-3)-(4100-3)=4(1-2)+(3-4)+(99-100)=4(-50)=-200.故选B.5.我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:第一步,构造数列1,12,13,14,1n;第二步,将第一步中数列的各项乘以n,得到的新数列记为a1,a2,a3,an.则a1a2+a2a3+an-1an等于(

4、C)A.n2 B.(n-1)2C.n(n-1)D.n(n+1)解析:由题意得,新数列为n,n2,n3,n4,nn,故a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=nn2+n2n3+n3n4+nn-1nn=n2112+123+134+1(n-1)n=n2(1-12+12-13+13-14+1n-1-1n)=n2(1-1n)=n(n-1).故选C.6.定义:称nP1+P2+Pn为n个正数P1,P2,Pn的“均倒数”.若数列an的前n项的“均倒数”为12n-1,则数列an的通项公式为(C)A.an=2n-1B.an=4n-1C.an=4n-3D.an=4n-5解析:因为na1+a2+an=12n-1,

5、所以a1+a2+ann=2n-1,所以a1+a2+a3+an=(2n-1)n,a1+a2+an-1=(2n-3)(n-1)(n2),两式相减得an=(2n-1)n-(2n-3)(n-1)=4n-3,a1=1也适合此等式,所以an=4n-3.故选C.7.(2021江西高三模拟)单调递增的等比数列an满足a1+a2+a3=14,a1a2a3=64,令bn=log2an,则1bnbn+1的前10项的和为.解析:设单调递增的等比数列an的公比为q,则q1,则a1(1+q+q2)=14,a13q3=64,所以a1(1+q+q2)=14,a1q=4,消去a1得1+q+q2q=144,即2q2-5q+2=0

6、,解得q=2或q=12(舍去),所以a1=2,an=a1qn-1=22n-1=2n,bn=log2an=log22n=n,所以1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1,所以1b1b2+1b2b3+1b10b11=1-12+12-13+110-111=1-111=1011.答案:10118.在数列an中,a1=-2,a2=3,a3=4,an+3+(-1)nan+1=2(nN*).记Sn是数列an的前n项和,则S20的值为.解析:由题意知,当n为奇数时,an+3-an+1=2,又a2=3,所以数列an中的偶数项是以3为首项,2为公差的等差数列,所以a2+a4+a6+a20=103+10922

7、=120.当n为偶数时,an+3+an+1=2,又a3+a1=2,所以数列an中的相邻的两个奇数项之和均等于2,所以a1+a3+a5+a17+a19=(a1+a3)+(a5+a7)+(a17+a19)=25=10,所以S20=120+10=130.答案:1309.设Sn是数列an的前n项和,满足(Sn+2+3Sn)-(3Sn+1+Sn-1)=2(n2,nN*),且a1=2,a2=6,a3=12,则an=,若bn=1an,则数列bn的前2 021项和为.解析:当n2时,由(Sn+2+3Sn)-(3Sn+1+Sn-1)=2,得(Sn+2-Sn-1)-3(Sn+1-Sn)=2,所以an+2+an+1

8、+an-3an+1=2,整理得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,(*)则数列an+1-an从第二项起是公差为2的等差数列.因为a1=2,a2=6,a3=12,所以(a3-a2)-(a2-a1)=2,符合(*)式,所以an+1-an是首项为4,公差为2的等差数列,所以an+1-an=4+2(n-1)=2(n+1).当n2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n+2(n-1)+22+2=n(n+1),a1=2也符合上式,所以an=n(n+1),所以bn=1an=1n-1n+1,所以数列bn的前2 021项和为(1-12)+(12-13)+(13

9、-14)+(12 021-12 022)=1-12 022=2 0212 022.答案:n(n+1)2 0212 02210.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=Sn-1+1(n2,nN),且a1=1.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=2an,cn=3bn-1(bn-1)(bn-4),设Tn是数列cn的前n项和,证明:Tn-12.(1)解:Sn=Sn-1+1(n2,nN),且a1=1,可得Sn为首项为1,公差为1的等差数列,则Sn=1+(n-1)=n,即Sn=n2,当n2,an=Sn-Sn-1=2n-1(当n=1时也符合),所以an=2n-1.(2)证明:bn=22n-1,cn=143

10、22n-3(22n-1-1)(22n-3-1)=14(122n-3-1-122n-1-1),Tn=14(12-1-1-121-1)+(121-1-123-1)+(122n-3-1-122n-1-1)=14(12-1-1-122n-1-1)a2=7,不满足性质“对任意的正整数n,an+2+an2an+1都成立”;对于B,D,数列2n+1和2n-1都是等差数列,故有an+2+an2=an+1,满足性质“对任意的正整数n,an+2+an2an+1都成立”;对于C,an=lnnn+1,an+2+an=ln(n+2n+3nn+1),2an+1=ln(n+1n+2)2.又n+2n+3nn+1-(n+1n+

11、2)2=-2n-3(n+3)(n+1)(n+2)22 021的最小的正整数n的值.解:(1)当n2时,由an+12=2Sn+n+1,a2=2,得an2=2Sn-1+n-1+1,两式相减得an+12-an2=2an+1,即an+12=an2+2an+1=(an+1)2.因为数列an为正项数列,所以an+1=an+1.当n=1时,a22=2a1+2=4,所以a1=1,所以a2-a1=1,数列an是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.(2)由(1)知bn=an2n=n2n,所以Tn=121+222+323+n2n,2Tn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,两式相减得-Tn=2(1

12、-2n)1-2-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以Tn=(n-1)2n+1+2,所以Tn-Tn-1=n2n0,所以当n1时,Tn单调递增,当n=7时,T7=628+2=1 5382 021,所以使Tn2 021的最小的正整数n的值为8.16.已知数列an的前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+2)(an-1),nN*.(1)证明:an+1n+1为常数列,并求an;(2)令bn=a2nsin an2,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)因为2Sn=(n+2)(an-1),当n2时,2Sn-1=(n+1)(an-1-1),-得2an=(n+2)an-(n+1)an-1-1,即nan-(n+1)

13、an-1=1,同除n(n+1)得ann+1-an-1n=1n(n+1)=1n-1n+1,整理得an+1n+1=an-1+1n,所以an+1n+1为常数列.因为2S1=(1+2)(a1-1),所以a1=3,则an+1n+1=a1+12=2,所以an=2n+1.(2)由(1)得,a2n=22n+1=2n+1+1,所以bn=(2n+1+1)sin (2n+1)2=(2n+1+1)sin(2+n),则bn=2n+1+1,n=2k,kN*,-(2n+1+1),n=2k-1,kN*.当n=2k,kN*时,Tn=(-22-1)+(23+1)+(-24-1)+(-2n-1)+(2n+1+1)=-22+23-24+25-2n+2n+1=22+24+2n=43(2n-1).当n=2k-1,kN*时,Tn=Tn+1-bn+1=43(2n+1-1)-(2n+2+1)=-2n+2+73.综上,Tn=43(2n-1),n=2k,kN*,-2n+2+73,n=2k-1,kN*.17.在b1+b3=a2,a4=b4,S5=-25.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值;若k不存在,请说明理由.设等差数列an的前n项和为Sn,bn是等比数列, ,b1=a5,b2=3,b5=-81,