高三数学教案：简单的线性规划

1、高三数学教案：简单的线性规划【】鉴于大家对查字典数学网非常关注，小编在此为大家搜集整理了此文高三数学教案：简单的线性规划，供大家参考!本文题目：高三数学教案：简单的线性规划7.4 简单的线性规划知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点Px0，y0.B0时，Ax0+By0+C0，那么点Px0，y0在直线的上方;Ax0+By0+C0，那么点Px0，y0在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C0或0，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B0时，Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;Ax+By+C

2、0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2.线性规划求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解x，y叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域类似函数的定义域;使目的函数获得最大值或最小值的可行解叫做最优解.消费实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：1根据题意，设出变量x、y;2找出线性约束条件;3确定线性目的函数z=fx，y;4画出可行域即各约束条件所示区域的公共区域;5利用线性目的函数作平行直线系fx，y=tt为参数;6观察图形，找到直线fx，y=t在可行域上使t获得欲求最值的位置，以确定最优解

3、，给出答案.点击双基1.以下命题中正确的选项是A.点0，0在区域x+y0内B.点0，0在区域x+y+10内C.点1，0在区域y2x内D.点0，1在区域x-y+10内解析：将0，0代入x+y0，成立.答案：A2.2019年海淀区期末练习题设动点坐标x，y满足x-y+1x+y-40，x3，A. B. C. D.10解析：数形结合可知当x=3，y=1时，x2+y2的最小值为10.答案：D2x-y+10，x-2y-10，x+y1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将0，0代入不等式组合适C，不对;将 ， 代入不等式组合适D

4、，不对;又知2x-y+1=0与x-2y-1=0关于y=x对称且所夹顶角满足tan= = .答案：B4.点-2，t在直线2x-3y+6=0的上方，那么t的取值范围是_.解析：-2，t在2x-3y+6=0的上方，那么2-2-3t+60，解得t .答案：t5.不等式组 表示的平面区域内的整点横坐标和纵坐标都是整数的点共有_个.解析：1，1，1，2，2，1，共3个.答案：3典例剖析【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|2表示的平面区域的面积.剖析：根据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.解：|x-1|+|y-1|2可化为x1， x1， x1， x1，y1， y1， y1， y1，x+y

5、4 x-y 2 y-x 2 x+y0.其平面区域如图.面积S= 44=8.评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.深化拓展假设再求： ; 的值域，你会做吗?答案： -，- ，+1，5.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h420从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h30100自B港向距300 km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h.1作图表示满足上述条件的x、y范围;2假如所需的经费p=100+35-x+28-y元，那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由

6、p=100+35-x+28-y可知影响花费的是3x+2y的取值范围.解：1依题意得v= ，w= ，420，30100.310， . 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即914.因此，满足的点x，y的存在范围是图中阴影部分包括边界.2p=100+35-x+28-y，3x+2y=131-p.设131-p=k，那么当k最大时，p最小.在通过图中的阴影部分区域包括边界且斜率为- 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点10，4，即当x=10，y=4时，p最小.此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式

7、.然后分析要求量的几何意义.【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的本钱费为252元，乙型卡车每辆每天的本钱费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花本钱费最低?剖析：弄清题意，明确与运输本钱有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目的函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花本钱费为z元，那么x+y9，106x+68x360，04，07.z=252x+160y，其

8、中x、yN.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点2，5时，满足上述要求.此时，z=252x+160y获得最小值，即x=2，y=5时，zmin=2522+1605=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用本钱费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系fx，y=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用网点法先作出可行域中的各整点.闯关训练夯实根底1.x-12+y-12

9、=1是|x-1|+|y-1|1的_条件.A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.x+2y+1x-y+40表示的平面区域为解析：可转化为x+2y+10， x+2y+10，x-y+40 x-y+40.答案：B3.2019年全国卷，14设x、y满足约束条件x0，xy，2x-y1，那么z=3x+2y的最大值是_.解析：如图，当x=y=1时，zmax=5.答案：5x-4y+30，3x+5y-250，x1，_.解析：作出可行域，如图.当把z看作常数时，它表示直线y=zx的斜率，因此，当直线y=zx过点A时，z最大;当直线y=zx过点B时，z最小.x

10、=1，3x+5y-25=0，得A1， .x-4y+3=0，3x+5y-25=0，zmax= = ，zmin= .答案：5.画出以A3，-1、B-1，1、C1，3为顶点的ABC的区域包括各边，写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目的函数z=3x-2y的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：画指定区域;写所画区域的代数表达式不等式组; 求以所写不等式组为约束条件的给定目的函数的最值.解：如图，连结点A、B、C，那么直线AB、BC、CA所围成的区域为所求ABC区域.直线AB的方程为x+2y-1=0，BC及CA的直线方程分别为x-y+2=0，2x+y-5=0.在ABC内取一点P1

11、，1，分别代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-10，x-y+20，2x+y-50.因此所求区域的不等式组为x+2y-10，x-y+20，2x+y-50.作平行于直线3x-2y=0的直线系3x-2y=tt为参数，即平移直线y= x，观察图形可知：当直线y= x- t过A3，-1时，纵截距- t最小.此时t最大，tmax=33-2 -1=11;当直线y= x- t经过点B-1，1时，纵截距- t最大，此时t有最小值为tmin= 3-1-21=-5.因此，函数z=3x-2y在约束条件x+2y-10，x-y+20，2x+y-506.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋

12、白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x百克，米食y百克，所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由图可知，直线y=- x+ S过A ， 时，纵截距 S最小，即S最小.故每盒盒饭为面食 百克，米食 百克时既科学又费用最少.培养才能7.配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，配一剂A种药需甲料3 mg，乙料5 mg;配一剂B种药需甲料5 mg，乙料

13、4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，假设A、B两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A、B两种药分别配x、y剂x、yN，那么x1，y1，3x+5y20，5x+4y25.上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为1，1、1，2、1，3、2，1、2，2、3，1、3，2、4，1.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法.8.某公司方案在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况如资金、劳动力确定产品的月供给量，以使得总利润到

14、达最大.对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资 金 单位产品所需资金百元 月资金供给量百元空调机 洗衣机成 本 30 20 300劳动力工资 5 10 110单位利润 6 8试问：怎样确定两种货物的月供给量，才能使总利润到达最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供给量分别是x、y台，总利润是P，那么P=6x+8y，由题意有30 x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y均为整数.由图知直线y=- x+ P过M4，9时，纵截距最大.这时P也取最大值Pmax=64+89=96百元.故当月供给量为空调机4台，洗衣机9台时，可

15、获得最大利润9600元.探究创新9.实系数方程fx=x2+ax+2b=0的一个根在0，1内，另一个根在1，2内，求：1 的值域;2a-12+b-22的值域;3a+b-3的值域.f00f10f20b0，a+b+10，a+b+20.如下图. A-3，1、B-2，0、C-1，0.又由所要求的量的几何意义知，值域分别为1 ，1;28，17;3-5，-4.思悟小结简单的线性规划在实际消费生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的消费任务;或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是

16、将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目的函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点即边界限的交点处获得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目的函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.老师下载中心教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式组表示的平面区域，是解决线性规划问题的根底，因为在直

17、线Ax+By+C=0同一侧的所有点x，y实数Ax+By+C的符号一样，所以只需在此直线的某一侧任取一点x0，y0假设原点不在直线上，那么取原点0，0最简便，把它的坐标代入Ax+By+C=0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+C0或0表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目的函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，那么此直线往右或左平移时，t值随之增大或减小，要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：1设出决策变量，找出线性约束条件和线性目的函数; 2利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目的函数到达最大或最小.拓展题例【例1】 fx=px2-q且

18、-4-1，-15，求f3的范围.解：-4-1，-15，p-q-1，p-q-4，4p-q5，4p-q-1.求z=9p-q的最值.p=0，q=1，zmin=-1，p=3，q=7，-120.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，消费甲、乙两种不同型号的汽车，假设A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少?解：设A厂工作x h，B厂工作y h，总工作时数为t h，那么t=x+y，且x+3y40，2x+y20，x0，y0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点纵、横坐标都是

19、整数的点称为格子点，于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点x，y，使t=x+y的值为最小.由图知当直线l：y=-x+t过Q点时，纵、横截距t最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q点是否是格子点.x+3y=40，2x+y=20，得Q4，12为格子点.唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清楚晰。唐代国子学、太学等所设之“助教一席，也是当朝打眼的学官