2021-2022学年安徽省六安市第一中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

1、2021-2022学年安徽省六安市第一中学高二下学期期中考试数学试题时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出集合，然后求交集.【详解】因为集合，所以.故选：D.2. 3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起，共有（ ）种站法A. 144B. 360C. 480D. 720【答案】D【解析】【分析】利用捆绑法进行求解即可.【详解】因为3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起，所以共有种站法，故选：D3. 二

2、项式的展开式中，的系数等于（ ）A. 60B. C. 240D. 【答案】A【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于3，即可求得答案.【详解】展开式通项为，令，解得：，所以的系数等于, 故选：A4. 已知随机变量服从正态分布，若则实数a的值等于（ ）A. 1B. C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解即可【详解】根据正态分布的对称性可得与关于对称，故，解得故选：A5. 袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全做出了重大的贡献某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第

3、二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示：代数代码x1234总粒数y197193201209（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代叫子代）通过上面四组数据得到了x与y之间的线性回归方程是，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为（ ）A. 211B. 212C. 213D. 214【答案】A【解析】【分析】根据线性回归方程经过样本中心点可得，再计算时值即可【详解】由题， ，又由线性回归方程经过样本中心点可得，解得.故线性回归方程是，故第五代杂交水稻每穗的总粒数为故选：A6. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随

4、机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若落在内的零件个数为，则可估计所抽取的这批零件中直径高于的个数大约为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据原则可求得，根据概率计算可得结果.【详解】由正态分布可知：，直径高于的个数大约为.故选：D.7. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出

5、未知数，利用全概率公式列出方程，求出答案.【详解】设从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为，由题意得：，解得：故选：C8. 因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种A. 181B. 109C. 84D. 96【答案】A【解析】【分析】依题意，重点要先排好3号位和6号位，余下的分类讨论分析即可.【详解】依题意作图如下：上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比12456要高，1，6两处是排列里最低，3，8两

6、处是最高点， 设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，则 3号位最少是6，最大是8，下面分类讨论：第3个位置选6号：先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，余下的3个号中放入4，5，6号顺序是确定的只有一种情况，然后7，8号放入最后两个位置也是确定的，此时共种情况；第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，余下的号和8号放入最后两个位置，此时共种情况；第3个位置选8号：先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，余下的5个号中最小的放入6号位置，剩下

7、4个选2个放入4，5两个位置，余下的2个号放入最后两个位置，此时共种情况；由分类计数原理可得共有种排列方式；故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列叙述正确的是（ ）A. 命题“”的否定是“”B. “”是“”的充要条件C. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好D. 样本线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱【答案】ACD【解析】【分析】对于A：通过命题的否定规则，即可进行判断；对

8、于B：通过求出，即可得到“”与“”的关系，即可进行判断；对于C：理解残差平方和就是描述模型的拟合效果，即可进行判断；对于D：样本线性相关系数就是描述两个变量的线性相关性的强弱，即可进行判断.【详解】命题的否定是条件不变，但是条件中的量词要发生改变，然后对结论进行否定，所以命题“”的否定是“”，故选项A正确；，则“”是“”的必要不充分条件，故选项B错误；在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故选项C正确；样本线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故选项D正确.故选：ACD.10. 下列说法正确的是（

9、 ）A. 若随机变量，则B. 若随机变量，则C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，0.5D. 从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率为【答案】AC【解析】【分析】四个选项分别利用正态曲线的性质，二项分布方差的有关性质，非线性回归方程线性化的方法，考虑对立事件即可求概率，即可判断正误.【详解】随机变量，正态曲线关于对称，则,即，故正确；随机变量，则，故，故错误；，两边取对数得，令，可得，故正确；从10名男生，5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的对立事件为选取的4人中没有一名女生，其概率为,则其中至少有一

10、名女生的概率为，故不正确；故选:11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（ ）A. 若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为B. 若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为C. 若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为D. 若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，用古典概型的概率公式判断选项A、B和D，用条件概率公式判断选项C.【详解】若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为，故A正确；若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概

11、率为，故B错误；若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为，故C正确；若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为，故D正确.故选：ACD.12. 在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）A. B. 的前n项和为C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由题意分析出数列为等比数

12、列，再求其前n项和记为，然后对各选项逐一分析即可.【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以，为等比数列，所以，故A正确；，所以的前n项和为，故B正确；依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的就是第12行的第2项，故C错误；，这11行中共去掉了22个1，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格某位同学只能背出其中的4篇，则该同

13、学能及格的概率是_【答案】#0.8【解析】【分析】考虑对立面，用1减去只能背出1篇的概率即可.【详解】.故答案为：.14. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标概率为，则每次射击击中目标的概率为_【答案】#【解析】【分析】设每次射击击中目标的概率为，根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：设每次射击击中目标的概率为，则，即，所以，所以；故答案为：15. 某种细菌每天增加，2个这种细菌经过10天大约会变为_个？（用具体数字回答）【答案】12【解析】【分析】根据题意列出指数表达式再计算即可【详解】由题意可得，2个这种细菌经过10天会变为 故答案为：1216. 盒中有四张形状

14、与大小均相同的卡片，分别写着数字1，2，3，4每次不放回地从盒中随机取出一张卡片，直到取出的所有卡片上数字之积大于10为止设此时取出的所有卡片上数字之和为，则_，_【答案】 . 9【解析】【分析】求出所有情况，得出满足条件的所有情况，即可求出概率，得出分布列，即可求出期望.【详解】将1，2，3，4按顺序排列共有种情况，其中满足数字之和为7的情况有34(12)，34(21)，43(12)，43(21)共4种，由题可得的可能取值为7，8，9，10，满足的情况有134(2)，143(2)，314(2)，413(2)共4种，满足的情况有234(1)，243(1)，324(1)，423(1)共4种，分布

15、列如下：78910.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知（1）求的值；（2）求的值【答案】（1） （2）0【解析】【分析】（1）利用赋值法求解即可；（2）根据系数的特征，利用导数和赋值法求解.【小问1详解】令，得，令，得，所以；【小问2详解】等式两边同时求导，得，令，得18. 设全集，集合，集合（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据集合交集、补集的定义进行求解即可；（2）根据必要不充分的性质进行求解即可.【小问1详解】；当时，；，；【小问2详解】由（1）知：“”是

16、“”的必要不充分条件，当时，满足；此时，解得：；当时，解得： ：综上所述：a的取值范围为.19. 现有4个编号为1，2，3，4不同的球和4个编号为1，2，3，4不同的盒子，把球全部放入盒内（1）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？（2）恰有两个盒子不放球，共有多少种放法？（3）每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的方法有多少种？【答案】（1）144 （2）84 （3）9【解析】【分析】（1）恰有一个盒子不放球等价于4个球放入3个盒子，用捆绑法把其中两个球绑一起放入同一个盒子；（2）恰有两个盒子不放球等价于4个球放入2个盒子，2个盒子的球数分为2类：1和3；2 和2；（3）编号为1的

17、球有3种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，剩下的球方法唯一【小问1详解】种【小问2详解】种【小问3详解】编号为1的球有种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有种，即种20. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰，某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄x23456患病人数y2222171

18、410（1）求y关于x的线性回归方程；（2）计算变量x，y的样本相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关程度很强（若，则x，y相关程度很强；若，则x，y相关程度一般；若，则x，y相关程度较弱）参考数据：参考公式：相关系数，线性回归方程【答案】（1） （2）， y与x之间的线性相关关系很强【解析】【分析】（1）根据表中数据结合最小二乘法公式即可求出；（2）根据公式求出相关系数即可判断.【小问1详解】由表中数据和附注中的参考数据，得，所以，所以y关于x的线性回归方程是；【小问2详解】，因为，所以y与x之间线性相关关系很强.21. 受疫情的影响，

19、各实体商铺的销售额受到了不同程度的冲击，某小商品批发市场的管理部门提出了“线上线下两不误，打赢销售攻坚战”的口号，鼓励小商品批发市场内的所有商户开展线上销售活动.管理部门为了调查商户每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，对小商品批发市场内的商户随机选取45家进行跟踪调查，其中每日线上销售时间不少于6小时的商户有19家，余下的商户中，每天的销售额不足3万元的占，统计后得到如下 列联表：销售额不少于3万元销售额不足3万元合计线上销售时间不少于6小时4 19线上销售时间不足6小时合计45（1）请完成上面的列联表，并判断是否所有99%的把握认为“小商品批发市场内的商户每天销售额与商户每天线上销售

20、时间有关.”（2）（i）按分层抽样的方法，在上述样本中从销售额不少于3万元和销售额不足3万元的两组商户上抽取9家商户，设抽到销售额不足3万元且每天线上销售时间不足6小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii）若将频率视为概率，从小商品批发市场内所有商户中每天销售额不少于3万元的商户中随机抽取20家，求这些商户中每天线上销售时间不少于6小时的商户家数的数学期望和方差.附：（）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中 .【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握；（2）（i）分布列见解析；（

21、ii），.【解析】【分析】（1）根据表格先算出每日线上销售时间不足6小时的商户有家,再利用每天的销售额不足3万元的占，得到线上销售不足6小时且销售额不足3万元的有家，再利用合计结果可算出其它数据；（2）（i）由分层抽样知，需要从销售额不足3万元商户中抽取（家），则的可能取值为0，1，2，3，4，分别算出事件对应的概率，写出分布列；（ii）设从全市场销售额不少于3万元的商户中随机抽取20家，这些商户中每天线上销售时间不少于6小时的人数为，则，利用二项分布公式求期望和方程.【详解】（1）销售额不少于3万元销售额不足3万元合计线上销售时间不少于6小时15419线上销售时间不足6小时101626合计252045，有99%的把握认为“小商品批发市场内的商户每天销售额与商户每天线上销售时间有关”.（2）（i）由分层抽样知，需要从销售额不足3万元的商户中抽取（家），则的可能取值为0，1，2，3，4，的分布列为01234（ii）从全市场销售额不少于3万元的商户中随机抽取1家，此商户每天线上销售时间不少于6小时的概率为，设从全市场销售额不少于3万元的商户中随机抽取20家，这些商户中每天线上销售时间不少于6小时的人数为，则，故，.【点睛】方法点睛：本题考查超几何分布，及二项分布求期望和方差，求离散型随机变