《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章23（一）

1、2.3数学归纳法(一)一、基础过关1 某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得nk1时，该命题也成立现在已知当n5时，该命题成立，那么可推导出()A当n6时命题不成立B当n6时命题成立C当n4时命题不成立D当n4时命题成立2 一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对3 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq f(1,2)n(n3)条时，第一步验证n等于()A1 B2 C3 D04 若f(n)1eq f(

2、1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n1)(nN*)，则n1时f(n)是()A1 B.eq f(1,3)C1eq f(1,2)eq f(1,3) D以上答案均不正确5 已知f(n)eq f(1,n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,n2)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)eq f(1,2)eq f(1,3)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)eq f(1,2)eq f(1,3)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)eq f(1,2)eq f(1

3、,3)eq f(1,4)6 在数列an中，a12，an1eq f(an,3an1)(nN*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为()A.eq f(2,4n3) B.eq f(2,6n5)C.eq f(2,4n3) D.eq f(2,2n1)二、能力提升7 用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从k到k1左端需要增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C.eq f(2k1,k1) D.eq f(2k3,k1)8 已知f(n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)(nN*)，则f(k1)_.9 以下用数学归纳法证明“

4、242nn2n(nN*)”的过程中的错误为_证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN*等式都成立10用数学归纳法证明(1eq f(1,3)(1eq f(1,4)(1eq f(1,5)(1eq f(1,n2)eq f(2,n2)(nN*)11用数学归纳法证明：12223242(1)n1n2(1)n1eq f(nn1,2).12已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn为数列an的前n项和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项

5、公式三、探究与拓展13是否存在常数a、b、c，使得等式122232342n(n1)2eq f(nn1,12)(an2bnc)对一切正整数成立？并证明你的结论答案1B 2B3C4C 5D6B7B8f(k)eq f(1,3k)eq f(1,3k1)eq f(1,3k2)eq f(1,k1)9缺少步骤归纳奠基10证明(1)当n1时，左边1eq f(1,3)eq f(2,3)，右边eq f(2,12)eq f(2,3)，等式成立(2)假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即(1eq f(1,3)(1eq f(1,4)(1eq f(1,5)(1eq f(1,k2)eq f(2,k2)，当nk1时，(1e

6、q f(1,3)(1eq f(1,4)(1eq f(1,5)(1eq f(1,k2)(1eq f(1,k3)eq f(2,k2)(1eq f(1,k3)eq f(2k2,k2k3)eq f(2,k3)，所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对于任意nN*等式都成立11证明(1)当n1时，左边1，右边(1)11eq f(12,2)1，结论成立(2)假设当nk时，结论成立即12223242(1)k1k2(1)k1eq f(kk1,2)，那么当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1eq f(kk1,2)(1)k(k1)2(1)k(k1)eq f(k2k2,2)(1

7、)keq f(k1k2,2).即nk1时结论也成立由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立12(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想aneq blcrc (avs4alco1(5n1,52n2， n2，nN*).(2)证明当n2时，a252225，公式成立假设nk(k2，kN*)时成立，即ak52k2，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2.5eq f(512k1,12)52k1.故nk1时公式也成立由可知，对n2，nN*，有an52n2.所以数列an的通项公式为aneq blcrc (avs4alco1(

8、5n1,52n2 n2，nN*).13解假设存在a、b、c使上式对nN*均成立，则当n1,2,3时上式显然也成立，此时可得eq blcrc (avs4alco1(122f(1,6)abc，,122232f(1,2)4a2bc，,1222323429a3bc，)解此方程组可得a3，b11，c10，下面用数学归纳法证明等式122232342n(n1)2eq f(nn1,12)(3n211n10)对一切正整数均成立(1)当n1时，命题显然成立(2)假设nk时，命题成立即122232342k(k1)2eq f(kk1,12)(3k211k10)，则当nk1时，有122232k(k1)2(k1)(k2)2eq f(kk1,12)(3k211k10