荐清华大学语言类保送暨高水平艺术团数学试卷含解析

1、2021年清华大学语言类保送暨高水平艺术团数学试卷（含解析）清华大学2021年语言类保送暨高水平艺术团敬学试题解析一.选择题：本大墨共7小池，每小建5分.共35分,在暮小屋的M奉逸4中，R有一货符合墨.已知反触二二1 + L设是过数二的打轮系敢,虹当等于（） TOC o 1-5 h z A. IM. 2C. 3D. J，已知黑合壮二卜|三4旦/门人=3）,则赛数等于（）A. 3B, 4, 95 163.已知正整数数列满足4+以=2乩heN*,则/等于f ：A, 23R. 2C. I 或2D. 32 j4.己知椭圆二十匕二】的两个魂点分利为工.月金为椭圆上一直,一写/6的平分线与工轴交于16 1

2、2q；E；作0内 ! 明袋防于，则r用等于（*、 TOC o 1-5 h z A. 3B. 4C. 5D. bI已知【负父敢珥由满足0+ b=，则日审+%4+/）的最大传为1*） M4t49门 及3日对一 729A B . C . Da 1625616256配已知的敷F”sin（皿+。）在区间（4：）上恰布.个极大值点与个极小值心，则正发粒口的取值范围是 *）7.在四血体。一做中1出用、=。4为三工6，为改的中点，/1，。,11上陀-，购四面体口-/俄、外接球的半径为f * ）A. J1&苏C, J&D.有二.塌空飕：本大超兵3小胤等小题5%共15瓶.、1).开式中的常数项为 .已知/(x)是

3、定义在R上的偶函数，且/(2) = 4,当x0时，行4(x) + 2/(x)0,则 /(吧的解集为 .A.在平面直向坐标系电中，设/1。,8(3.4),向量K = .tO/ +)5,其中h = 4动点尸 满可,丽=0,则的最小值为 .三.寻答题：本大题共4小题，/三个小题每题12分.最后一个小题14分.共50分.已知/)是公差不等0的等差数列,且2阴，4的等比中项,记数列叫曲”项和为Z，S7 = 14(1)求数列%的通项公式；(II)设数外也满足4=7.比= -川 22,求数列的前项和7；.在三校台 43C-。/中，4814C , AB = 2DE = 2 , /1C = 2V2.CF = 2

4、 . RCF,平面/1蛇，设2.。./?分别为校力。,&7,长的中点.(1 )证明：平面平面P0A：(H)求一面角E-8D-C的正弦值.已知抛物线C V=2px(P0)的焦点为入准线与x轴交点，过点尸的直线与抛物线 C交于48两点,且|E4Hm=|4上|用|.(1)求抛物线C的方程：(H)设尸,0是抛物线上的不同两点，且小轴，直线尸。与彳轴交于G点，再在x轴上截 取线段口| = |6。.且点G介于点与点。之间,连接尸E.过点。作在线尸的平行线/,证明: /为抛物线U的切纹.已知函数/(X)二巴q.b在点(l,c-l)处的切线与宜戌九X + = O垂直.(1)设函数g(x) = V(x)-M,求

5、丽敷g(x)的单调区间:(II )证明：e.-Zdnx7l(ln2*0.693,ew2.71828).清华大学2021年语言类保送暨高水平艺术团数学试题解析一.选择题：本大题共7小题.每小题5分，共35分,在每小题的四个选4中，只有一看符合题 t.已知兑数二= l + i,设二是卫数二的共匏纪数，则;二普|等于（） TOC o 1-5 h z A. IB. 2C. 3D. 4K答案X A.SJA解析：根据题意得：三=讨=2,所以上与一上守 =1。2rr + l5应选：A. .已知集合八卜尸-0卜匹卜占0,此时/! = （-&。）厚=（1.4）,于是6=3,解得。=9, 应选：C. .已知止整数

6、数列;满足9+q=2,w、，则火等于（）A.2或3 B. 2C-I或2 D. 3K答案3 B.SJ A解析：当二I时.%+。L2,捏觉数列为正整数数列，所以q = l：当 =2时6=4.于是勺可能取值为1,2,3.当外1时.则q+l=4na1-3.矛盾，当4 =2时.则+4 =4=%=2符合埋意：当 q=3 时.则q+ 3 = 4nq = l,而+q =6=/+q =6nq = 3 ,矛盾.琮上所述：=2.应选：B. .已知抽阅二+ = 1的两个焦点分别为0月/为桶利上一点，4?片的平分线与x油交产 16 12作。43交小于，则I叼等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6R答案X A.SJ A

7、解析：根据角平分线性质得： 黑=黑 =，乂根据椭捌第一定义得岑| + |/”| = 8,|即|3从而有用=5,|然|=3,注意出用=4,所以吃1万弓，那么5到的距离4 =，于是0到的距离d = ：d = ：x? = o 8 3.|附| = 2,迸而得| 二 |僧卜| = S-2 = 3.应选：A. a q.已知非负实数满足。+方=；.则/+;（4十）的最大值为（）49自 243-81八 729A- 16B- 256C 16D 256K答案为 c.SJ A解析3注盍：一%/ =48一：）而 0Sa8S（W） =5，所以当独=0时，卜Yi）L福,当旦仅当。= O.b = g或。=g4=0时取等号.

8、应选：C.已知函数/（x） = sm（5 + ?）在区间（0.）上恰有一个极大侑点与一个极小值点,则正实数。的取值量国是（）工答案 D.SJ A悌析,.在四面体。-48（中，/8 = 8r = C4=CO = 26为氏 的中点，4 J,。，且。下=3,则四面体。-/蛇外接球的半径为（）A. y/2B. 6C.卡D. 6K答案 D.SJ 解析3依即意，仃,则又 AELDE, 4EnBC=E,则。_L 平面/?.易求ZU8C是边长为2的等边三角形，)=3立， 取48。的中心G.过G作OG/DE,其中。为外接球的球心.过。作OFLD.垂足为尸，设球的半径为/?.。炉=*-3。G = 1,则OG =二

9、J.在他02中，DF = 37r2.4 , OF = 1, OD = R.于是*-1=(3五-4,解得25.nn/?=V5e应选 D.8.(旧可,(八1)展开式中的常数项为.填空题：本大题共3小题，舟小题5分,共15分.K答案 -!.SJ A解析：展开式中常数项为以c?C(tCCc；(t)、CCC(t)=-5i：屣开式中一的系数GCG (-1) CCC(-, -30,1+ ：-) .(/+1)展开式中的常数项为-81.应填：-81.9.已知/(“是定义在R上的偶函数，H/(2) = 4,当q0时，有/。)+ 2/。)0.则 /6)2的解集为 .工答案X (y.-2)u(Z4o).SJ 解析，设

10、 g(x)-x7(x)当 x0时,有。(x) = xT(x) + 2*(x)0所以函数g(x)在(0.2)匕单调递增.当 x0 时,有/(x)与og(x)g(2)ox22注意到/(是偶由数，则原不等式的解集为(一%-2)0(2,内) 应填：(-2)U(Ny).在平面直角坐标系Q中,设/(L0),8(3,4),向量历=诙/其中x+y = 4动点/ 满而而=0,则|无|的技小值为 .工答案坐.5SJ A解析，x = a-b 4b y-由题意得 a： = x(L0) + y(3.4) = (x + 3K4力.八 |ax+3v设C(6),于是匕.解得又因为x+y = 4.所以=即功一8=8 因为动点。

11、满西,河=0.所以点。在以48为仃径的例上运动.现在问题化为，宜线勿-6 = 8上的动点C弓回上的动点，后也问度.记/的中点为A/,则AZ2),|2x2-2-3 6右进而历前F所以I前L=九-如m=竽-同T+erf =孚.另解：(利用等和线求C1的轨迹)易求直线的方程为： = 24-2 （此时系数和X+y = l）要系数和x + y = 4.则点C在百线=勿-8上.应填：也.5三.解答题：本大题共4小题，计三个小题每题12分，最后一个小题14分,共50分.已知仇）是公并小等于0的等票数列.凡见。”4的答比中项,记数列凡前项和为S.S7-I4（1）求数丹4的通项公式：（1【）设数列则满足a=-i

12、,求教列:妇的侑项和SJ A解析3设数列/的公差为由1工0）根据已知条件得邛q+M-dMD,解得卜： 7q+21d = 14/！2于是4 = W;节 12时.“Ib 二 r 二1FT2（勿-1） _2-I _ I_l_二（一1）小2-二（1）勿21 -=（-1） L .小2-所以检验a时也成立,所以4 =击心).12.在三核台中, 481/K7 . AB = 2DE = 2 , /1C = 2/2.CF = 2 . JICFJ平面ABC，设尸,。,火分别为棱的中点.(1)证明：平曲皮力，平面尸。A: (II )求二面角E8QC的1E弦值.SJ 解析,连接。P,易证四边形勿叱是矩形在矩形OPC中

13、,lan/Q =两皿7噬F所以/QPr = NP，又NPCO + NPOC：%)。，所以NQ/ONPS=900,即C0LPQ,肖然CF，平面46。.且/次U平面4 6(，于是CF上网, Hi AB L /IC, R PR 为 A/IBC 的中位线,得 PR X AC .JCCICF = C, 则*?，平面4CTO.注意“u平面4CFD,则/次 PQ.又 PQAPR=L 则CD JL 平面 PQR,从而平面flCQ_L平面尸QA：二面角石-叱-C的平间角为但-8。-。)，由三角的余弦定理存：cos(-KD-C) =cos Z.EBC - cos XEBD cos Z.CBD&n NEBD sin

14、2C3D利用平面知识求卜而用的三角函数值,cos 乙EBC =: cos ZBD 一- / sin NEBD = .即：772加 77 屈VtocgBD=：寂/看sin“如黑所以 cos(-8Q-G =所以 sin(-8O-C)=?.已知抛物线C V=2(p0)的焦点为八准线与#轴交于。点，过点厂的内线与抛物线 C交于48两点，且IF阀=图| + |啊.(I)求抛物线的方程：(H )设P.Q是抛物线C上的不同两点.且炉1 x轴，H线?。与刀加交于G点.再在x轴|：裁 取线段| = |GD|J(，|J点。之间.连接从过点。作直线/N的平彳J线/,证明: /为抛物线。的切线.SJ A解析，(I )

15、简小可一下，I丹卜1网=1旦+1网=占+占=L所以0=2,抛物线方程为二4.(II )如图，不妨设点尸。,2),。1闯(/ 证明：c-irlnN-xl(ln2ko.693,c = 2.71828).SJ A解析：(i)/，(加6一学士由题意得：/(i)-c-tr(i)-Lc-a+b=c-1即二解得aLb=0.于是/(“)所以 g(x) = /T-x，(*O),当x0恒成立.此时函数g(x)电调递增:当x0时.g(*) = 1-2x(e-2)x0恒成立，此时函数g(x)系谢递增,综I：所述：函数K(”的单调增区间为(f.O)、(O.xo).无诚区间:(H)(切找分割法，凹凸转换)方案I： 问融化为证明：Wrw(0,yo),亡U2x + c-2x + 2ln2-1221nxM.方案2, 问题化为证明：Vxw(O.+x5), 一关x2lnx+l.等等我们以方案2为例设G(x) = 21ml.求该函数过原点(0.0)的切线方程.设切点(与J。).叩=2,则g，(/)=2, xx0切线方程为：y-2(x-1)+2加5 %若过原点(0,0).则0 = (0-xJ+21n% + l,解得天=丘.T是切线方程为：y = 0,当然G(x) = Y0,于是函数G(x