初中三年级数学上册第24章点和圆的位置关系（反证法）

1、反证法路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?小故事:假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的思考:王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李. 在你的日常生活中

2、也有类似的例子吗?请举一个例子.说一说小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?小芳全家没有外出旅游.妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.小华是如何推断该命题的正确性的?假设小芳全家外出旅游,那么今天不可能碰到小芳,与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾,所以假设不成立,所以小芳全家没有外出旅游. 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立,是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法(proof by contradiction）.反

3、证法反证法是一种间接证法反证法的一般步骤:假设命题结论不成立假设不成立假设命题结论反面成立与已知条件矛盾假设推理得出的结论与定理，定义，公理矛盾所证命题成立你能说出下列结论的反面吗?ab2.d是正数3.a04.aba不垂直于bd不是正数,即d0 a0 a不平行b常用的互为否定的表述方式：不是是；不存在存在；不平行平行；不垂直垂直；不等于等于；不都是都是；不大于大于；不小于小于；至少有一个一个也没有；至少有三个至多有两个至少有n个至多有(n-1)个试一试例1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知:直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3

4、与l1相交于点P.求证:l3与l2相交.证明:那么_.因为已知_，这与“_矛盾.所以_，即_.l1l2l3Pl3与l2 不相交.l3l2l1l2经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线所以过直线l2外一点P，有_和l2平行，两条直线假设不成立求证的命题正确假设_，试一试已知：如图，直线a,b被直线c所截， 1 2求证：ab1=2 (两直线平行,同位角相等)这与已知的12矛盾假设不成立证明：假设结论不成立，则abab合作学习:求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.(1)你首先会选择哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾

5、?定理已知:如图，l1l2 ,l 2 l 3求证：ll lllll , ll, 则过点p就有两条直线l、 l都与l平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾证明：假设l不平行l，则l与l相交，设交点为p.p假设不成立，所求证的结论成立，即 ll （3）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且l1l3,l2l3,求证: l1 l2l1l2l3l12证明: l1l3,l2l3(已知) 1=3， 2=3 (两直线平行,同位角相等) 1=2 l1 l2（同位角相等，两直线平行）3请问：哪类问题适合于用反证法去证明呢？宜用反证法证明的题型

6、（1）以否定性判断作为结论的命题；（2）某些定理的逆命题；（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；（4）关于“唯一性”结论的命题；（8）涉及各种“无限”结论的命题等等。（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（6）一些不等量命题的证明；（5）解决整除性问题；1、用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于已知：如图， ，是的内角求证： ，中至少有一个角大于 或等于度.证明假设所求证的结论不成立，即， ，则度这于矛盾所以假设命题，所以，所求证的结论成立三角形的内角和等于不成立填一填2、用反证法证明“两直线平行，同旁内角互补”。在下面证明过程中填空。已知：如图 ， 、

7、 被 所截。求证：1+2=180。证明：假设_. 2= 3（两直线平行，同位角相等）。 _180，这与平角的定义相矛盾。_不成立。_1+21802131+3假设1+2180求证的命题正确填一填3、如图，在ABC中,若C是直角，那么B一定是锐角.证明：假设结论不成立,则B是_或_.当B是_时，则_这与_矛盾；当B是_时，则_这与_矛盾；综上所述,假设不成立.B一定是锐角.直角钝角直角B+ C= 180三角形的三个内角和等于180钝角B+ C180三角形的三个内角和等于180填一填ll1l2ABCO探究证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出 一个圆，圆心 为O则O应在AB的垂直平分线l1上，且

8、O在BC的垂直平分线上l2上，l1 ll2 l所以l1、 l2同时垂直于l，点P为l1、 l2 的交点这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，所以经过同一直线的三点不能作圆反证法 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法经过同一直线的三点不能作出一个圆命题：假设：经过同一直线的三点能作出一个圆矛盾：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线过一点有两条直线垂直于已知直线定理：例如：1、“ab”的反面应是（ ）（A）ab（B）a b （C）a=b（D）a=b或ab2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应假设_练一练D假设三角形中有两个或三个角是直角3、如图，AB ED，求证：B+C+D=360.ABCDE练一练总结回顾:1、反证法的一般步骤:从假设出发假设命题不成立引出矛盾假设不成立求证的命题正确得出结论假设归谬结论2、用反证法证题时,应注意的事项 :（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出