[PPT]结构力学之静定结构总论讲义

1、6-2 几何构造与静力特性的关系6-1 静定结构受力分析的方法6-3 零载法6-4 刚体体系的虚功原理6-5 静定结构的一般性质6-6 各种结构型式的受力特点第六章 静定结构总论1静定结构受力分析的目的：主要是利用平衡方程确定支座反力和内力，作出结构的内力图。方法：作为受力分析的基础，必须从结构中截取单元(隔离体)，把反力和内力暴露出来，成为单元的外力，才能应用平衡方程计算反力和内力。静定结构约束力的总数正好等于平衡方程的总数，是可解的。 图6-1a所示为一静定多跨梁，支座A、B、E、F的反力和结点C、D的约束反力，共有9个未知力(图6-1b)。6-1 静定结构受力分析的方法23根杆件AC、C

2、D、DF共有9个平衡方程，足以解出这9个反力。显然，9个反力求出后，就可以做出每根杆的内力图。一般说来，只要求出每根杆在结点处和支座处所受的约束力，就可以作出各杆的内力图。(a)ABCPDEF(b)ABCPDEFXAYAYBYCYCXCXCXDXDYDYDYEYF图6-13但是，用解算联立方程的方法同时求出所有的约束力是很麻烦、很费事的。所以，实际计算所采用的方法是：按一定的次序截取单元，对每个单元应用平衡方程，求出部分约束力，以便收到各个击破的效果。下面是实用分析方法的一些要点。1、单元的形式及未知力从结构中截取的单元可以是结点、杆件或者杆件体系。桁架的结点法即以结点为单元；在桁架的截面法中

3、，截取的单元则是一组杆件，即一个杆件体系。静定多跨梁的计算则以杆件为单元。刚架分析中，常取杆件为单元计算杆端剪力，也常以结点为单元计算杆端轴力。4在截取的单元上，作用有已知力和未知力。未知力的数目是由所截断的约束的性质决定的。截断链杆，轴力是未知力。平面结构中，截断梁式杆，未知力有轴力、剪力和弯矩；截断铰，有水平未知力和竖向未知力。(a)ABCPCPN1N2图6-2ACqNXAYA(b)ABCq在图6-2a中，AC和BC都是链杆，只受轴力作用，取结点C为单元，用结点法求轴力N1和N2最为简便。在图6-2b中，AC是梁式杆，BC是链杆，取杆AC为单元，计算反力XA、YA和轴力N是合适的。5在图6

4、-2c中，AC和BC都是梁式杆，我们可以切断支杆，把AC和BC的整体作为单元，用求三铰拱的方法计算反力XA、YA、XB和YB。2、平衡方程的数目单元的平衡方程数与单元的几何构造有关。在图6-2a中，结点C有两个自由度，对应两个平衡方程。在图6-2b中，杆件AC有三个自由度，对应三个平衡方程。在图6-2c中，单元ACB是一个几何可变体系，共有四个自由度，所以有四个平衡方程。(c)ABCq图6-2ABCqXAYAXBYB6一般说来，单元的平衡方程数等于单元的自由度数。单元的平衡方程数，不一定与单元上作用的未知力数相等。例如，在图6-1b中，梁CD这个单元上有四个未知力XC、YC、XD、YD，却只有

5、三个平衡方程。如仅考虑CD这个单元，可以计算出YC、YD ，但对XC、XD来讲，只能建立一个方程，而不能把它们全部求出。只有取DF这个单元时，才能求出XD。3、计算的简化与截取单元的次序就每一单元说来，常有几个平衡方程；计算未知力时，要注意选择平衡方程并考虑计算的简化。7例如，在桁架结点法中，经常使用投影方程，但也可以选用力矩方程。在桁架截面法中，力矩中心和投影轴的选择就很重要。(1) 简化的目的：在于用一个方程可以求出一个未知力，避免解联立方程。(2) 简化计算的前提：掌握结构的内力分布规律。例如，在图6-2a中，如认识到AC和BC都是链杆，就可以用结点C这个单元解决问题。如果不能看出AC和

6、BC是链杆，就必须用三铰拱的方法计算反力。可知，计算要麻烦得多。 在桁架计算中，如能识别出零杆或单杆，常常可以使计算简化。8 对称结构在对称荷载作用下，反力和内力也是对称的。利用这个规律，对称问题只计算半边结构就足够了。图6-3a所示结构，因为结构和荷载都是左右对称的，反力也是对称的，因而只须计算A点的反力H和V。如果取杆AC为单元(图6-3b)，在铰C处只有水平未知力XC，没有竖向未知力。(3) 简化静定结构受力分析的最重要的手段：是合理选择截取单元的次序。(b)qXCHVACC(a)qAHHVVB f 2l2l图6-39 对于多跨梁，应先计算附属部分，然后再计算基本部分。 对于简单桁架，截

7、取结点的次序，应与桁架组成时添加结点的次序相反。 对于联合桁架，应先用截面法求出连接杆的轴力，然后计算其他杆件的内力。由此可知，为了选择合理的计算次序，必须分析结构的几何构造。值得注意的是：(1) 在受力分析中，要解决结构如何分解为单元，即“如何拆”的问题；(2) 在几何构造分析，要解决结构如何组成，即“如何搭”的问题；10(3) 拆和搭是互相联系的，如果拆的次序与搭的次序正好相反，工作就可以顺利进行；因此，如果截取单元的次序与结构组成的添加单元的次序相反，结构的受力分析就比较简便(见图6-4a) 。(a)P1P2ABCDEFGIIIII图6-4该刚架是按照I、II次序组成的，受力分析应按照相

8、反的次序截取单元(见图6-4b) 。实际上这个刚架是一个组合结构，计算原则应是先计算附属部分，再计算基本部分。11图6-4(b)P1P2YAYDYEYEXEXEXGXGYGYGABCDEFGGE(4) 有时同一结构有几种不同的搭法，因此也有几种不同的拆法。在桁架的结点法中，经常会遇到这样的例子。126-2 几何构造与静力特性的关系在几何构造分析一章中，已经讨论过一个几何参数：计算自由度W。1、计算自由度W的力学含义(1) 几何含义 W=(各部件的自由度总和)-(全部约束数)(2) 力学含义当在受力分析时，截取隔离体，列出平衡方程，计算自由度W的力学含义是： W=(各部件的平衡方程总数)-(未知

9、力总数)13(3) 结论 若W0，则平衡方程个数多于未知力个数。在任意荷载作用下，必然有一些平衡方程无法得到满足。(从几何构造看，这种情况对应于体系为几何可变体系) 若W0，则平衡方程个数少于未知力个数。此时必然有一些未知力无法从平衡方程解出，即体系中存在超静定未知力(从几何构造看，这种情况对应于体系有多余约束)。 若W=0，则平衡方程个数正好等于未知力个数。分为两种情况：如果平衡方程组有解，则解只有一种，即全部未知力是静定的(与此对应的几何意义为：W=0的体系如为几何不变则必无多余约束)。14如果平衡方程中有一些方程是未知力无法满足的方程，则余下的平衡方程的个数就少于未知力个数，因而存在超静

10、定的未知力。(与此对应的几何意义为：W0的体系如为几何可变则必有多余约束)2、自由度S和多余约束n的力学含义自由度S的一般公式为 S=(各部件的自由度总和)-(非多余约束数)我们还知道计算自由度W的一般公式为 W=(各部件的自由度总和)-(全部约束数)由于全部约束数与非多余约束的差数是多余约束n，因此由上面两式即可得出自由度S、计算自由度W和多余约束n三者之间的关系式：15S-W=n由于自由度S与多余约束n都不是负数，即S0，n0，可推出两个不等式：SW，n-W。也就是说，W是自由度S的下限，而(-W)则是多余约束n的下限。我们结合图6-5a所示体系，说明参数n和S在几何构造上和力学上的两重意

11、义及其对应关系。(a)I1234图6-5 (1) 从几何构造上看，刚片I本来有三个自由度，加上四个竖向支杆后，体系有一个自由度(刚片I可沿水平方向移动)，有两个多余约束。即S=1，n=2。16(b)IPmPyPxOY1Y2Y3Y4a1a4图6-5(2) 从平衡分析看(图6-5b)，切断支杆，用约束力Y1、Y2、Y3、Y4代替，取刚片I为隔离体，可建立三个平衡方程：00,00,00 ,04141=+=-=-=xiimiiOiyiPYXPaYMPYY其中最后一个平衡方程是未知力Yi无法满足的方程，即S=1，S为不能满足的平衡方程的个数。17前面两个平衡方程中含有四个未知力，而平衡方程只有两个。故存

12、在两个超静定的未知力，即n=2，n为超静定未知力的个数。一般说来，参数S在几何构造上表示自由度，在静力分析上表示未能满足的平衡方程的个数。参数n在几何构造上表示多余约束的个数，在静力分析上表示超静定未知力的个数。3、从静力分析角度导出W、S、n间的等式在静力分析中，取各部件为隔离体，建立各隔离体的平衡方程。由于S为未能满足的平衡方程的个数，再令 r 表示能够满足的平衡方程的个数，因此18平衡方程的总个数=S+r另一方面，由于n为超静定未知力的个数，又r为由平衡方程能够确定的未知力的个数(即静定未知力的个数)，因此： 未知力的总个数=n+r所以，W、S、n间的关系为 W=(S+r)-(n+r)=

13、S-n (6-1)这就是从静力分析角度导出的W、S、n三者之间的关系。由前面推出的两个不等式：SW，n-W。我们知道它们的力学含义为：W是未能满足的平衡方程个数S的下限；(-W)是超静定未知力个数n的下限。4、体系的四种类型19根据参数W、S、n的两重意义及等式(6-1)，体系可划分为具有不同几何特征和静力特征的四种类型：(1) 静定结构：S=0 (几何不变，平衡方程有解)，且n=0 (无多余约束，不存在超静定力)，W=0是其必要条件(但不是充分条件)。(2) 超静定结构：S=0 (几何不变，平衡方程有解)，且n0 (有多余约束，存在超静定力)。W0时，MC就是所设X的方向。当P2-2P10时

14、，MC与所设X的方向相反。例6-5 求简支梁截面C的弯矩MC。设在A端作用力偶荷载m (图6-12a)。35(a)ABCmabl图6-12解：(l) 撤除与弯矩MC相应的约束，即将截面C由刚接改为铰接。同时，弯矩MC由约束力变成主动力，由一对大小相等，方向相反的力偶所组成，如图6-12b所示。(b)mABCMC(2) 取虚位移如图6-12c所示。(c)ABCC设C点竖向位移为C ，则AC和BC两段的转角和分别为 = C /a， = C /b (3) 令图(b)中主动力在图(c)所示的虚位移上作功，虚功方程为： MC(+ ) - m=0即 MC(1/a+1/b) C - m C /a=0约去C

15、，可求出MC值： MC =mb/l36例6-6 求简支梁截面C的剪力QC ，设全跨作用均布竖向荷载q (图6-13)。q(a)CalbBA图6-13解：(1) 撤除与剪力QC相应的约束，即将截面C切开，加上两个平行梁轴的链杆。这时，两侧截面C1和C2均可发生相对剪切位移，但不能发生相对轴向位移和相对转角。同时，剪力QC由约束力变成主动力，由一对大小相等、方向相反的竖向力所组成，如图6-13b所示。(b)qqBAC1C2QC(2) 取虚位移如图6-13c所示。(c)BAaaC1C2C2C1由于两侧截面C1和C2没有相对转动，故AC1和C2B两段梁保持平行。37两段梁的转角为，则截面C1和C2的竖

16、向位移分别为a (向下)和b (向上)，C1和C2的相对竖向位移为a +b。(3) 令图6-13b中的主动力在图6-13c所示虚位移上作功，其中剪力QC作的虚功为： QC(a +b) =QC l微段dx上的均匀荷载q在竖向位移y上作的虚功为(q和y均以向下为正)： qdxy梁段AC1上均布荷载q作的虚功为qq22)21(1aqaaqydxqCA= 梁段C2B上均布荷载q作的虚功为q 22bq-38因此，虚功方程为q = 0qq2222bqaqlQC-+约去q ，可求得QC ：qlabQC222-=另解：若令切口两侧的相对位移为1，则a+b=1，即=1/l，a=a/l、b=b/l。切口两侧的三角

17、形面积为a2/(2l)、 b2/(2l)。此时虚功方程为： QC1+qa2/(2l)-qb2/(2l)=0。所得结果同前。自学书中例6-7，是桁架求解的例题，书中是撤除链杆FG代以轴力X，也可以切断链杆FG，令切口两侧的相对水平为1，可得同样的结果。39值得注意的问题是：根据虚位移原理(虚功原理)求静定结构的约束力的关键在于求出各力所对应的虚位移。由此看出：(1) 虚位移原理将求结构的约束力转化为几何问题，而使计算简化。 (2) 一次只能求得一个约束力，且约束力X的方向是任意假设的。(3) 由于虚设单位位移，又称“单位虚位移原理”。406-5 静定结构的一般性质静定结构的特性：1、在几何构造方

18、面，是无多余约束的几何不变体系。2、在静力平衡方面，全部支座反力和内力均可由静力平衡条件确定，且解答是唯一的。即满足平衡条件的内力解答的唯一性，是静定结构的基本静力特性。3、静定结构的支反力和内力只与结构的几何形状和尺寸有关，而与构件所用的材料以及截面的形状和尺寸无关。派生特性：1、温度改变、支座移动、制造误差等因素的影响，只使结构产生位移(支座移动产生刚体位移)，而不产生内力。412、静定结构的局部平衡特性：在荷载作用下，若静定结构中的某一局部可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。除AB杆外，其它各杆均为零杆(b)PABP2P2BC部分的内力为零(a)PBCA图6-14注意：局部平衡部

19、分不一定是几何不变的，也可以是几何可变的，只要在特定荷载下可以维持平衡即可。见书中图6-19及相关介绍。423、静定结构的荷载等效特性：当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。等效荷载：指荷载分布虽不同，但其合力彼此相等的荷载。图6-15(a)内力S1APB荷载P1(b)内力S2AB荷载P2P2P2图6-15a中的荷载P，与结点A、B上的两个荷载P/2是等效荷载。将图a改为图b时，只有杆件AB的内力改变，其余各杆的内力都不变。说明：静定结构在等效荷载作用下的这一特性，可用局部平衡特性来说明。43(c)ABP2P2P图6-15(a)内力S1APB荷载P1(b)内

20、力S2AB荷载P2P2P2如左图a、b。设在静定结构的某一几何不变的部分上作用有两种荷载P1、P2，其相应的内力状态为S1、S2。根据叠加原理，在荷载P1和-P2共同作用下相应的内力状态应为 S1-S2 (图c) 。由于P1和-P2组成平衡力系，根据局部平衡特性，可知除杆件AB外，其余部分的内力S1-S2应为零，即S1=S2。故：在两种等效荷载P1和P2分别作用时，除杆件AB外，其余部分相应内力S1和S2必相等。44这一特性，可用来说明桁架在非结点荷载作用下的受力状态。在图6-15a中，桁架承受非结点荷载，可将其分为等效结点荷载(图6-15b)和局部平衡荷载。结论：桁架在非结点荷载作用下所产生

21、的内力(图6-15a)等于桁架在等效结点荷载下所产生的轴力(图6-15b)，再叠加在局部平衡荷载作用下(图6-15c)所产生的局部内力(弯矩、剪力、轴力)。4、静定结构的构造变换特性：当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。图6-16a所示桁架中，设将上弦杆AB改为一个小桁架，如图6-16b所示，则只是杆AB的内力有改变，其余部分的内力没有改变。45(a)ABP(b)ABP(c)ABABNABNABNABNABP2P2P2P2(d)ABPABNABNABNABNABP2P2P2P2图6-16说明：可将杆AB与其余部分分开(图6-16c)，这两个隔离体分别在各自的荷载和

22、约束力作用下维持平衡。现将杆AB变换成小桁架AB(图6-16d)。假设其余部分的内力以及两者间的约束力保持不变，则其余部分原来满足的平衡条件仍然成立，而小桁架在原来的荷载和约束力所组成的平衡力系作用下，自然也能维持平衡。因此，这种内力状态就是构造变换后结构的真实内力状态。466-6 各种结构型式的受力特点前几章讨论了静定结构几种典型的结构型式：梁、刚架、拱、桁架和组合结构。这些结构型式还可以从不同角度加以分类。现举出常用的两种分类方法。第一，将结构分为无推力结构和有推力结构。梁和梁式桁架属于前者；三铰拱、三铰刚架、拱式桁架和某些组合结构属于后者。第二，将杆件分为链杆和梁式杆。桁架中的各杆都是链

23、杆；静定多跨梁和刚架中的各杆都是梁式杆，组合结构中的杆件有的是链杆，有的是梁式杆。47链杆中只有轴力作用，没有弯矩，处于无弯矩状态。在无弯矩状态下，杆件截面上的正应力为均匀分布，能够充分利用材料的强度。梁式杆处于有弯矩状态，弯矩产生的弹性正应力在截面上为三角形分布，在中性轴附近的应力很小，没有充分利用材料的强度，因此，为了做到物尽其用，我们总是希望尽量减小杆件中的弯矩，最好是完全消除杆件中的弯矩，使之处于无弯矩状态。现在从这个角度讨论各种结构型式的特点。1、在静定多跨梁和伸臂梁中，利用杆端的负弯矩可以减小跨中的正弯矩，参看例3-3。2、在有推力结构中，利用水平推力的作用可以减少弯矩峰值。例4-

24、1的三铰拱，例3-5的三铰刚架，例5-4的组合结构都可以说明这个结论。483、在桁架中，利用杆件的铰接和合理布置以及荷载的结点传递方式，可使桁架中的各杆处于无弯矩状态。在三铰拱中，采用合理轴线可以使拱处于无弯矩状态。从力学角度来看，无弯矩状态是一种合理的受力状态，上述结构型式都是合理的结构型式。在组合结构中也有一部分杆件处于无弯矩状态。为了对各种结构型式的力学特点进行综合比较，在图6-17中我们给出几种结构型式在相同跨度和相同荷载(全跨受均布荷载q)作用下的主要内力的数值。820qlMC=图6-17a是简支梁。跨中截面C的弯矩为。如果截面为矩形(截面高度为h)，截面上正应力为三角形分布，hMHC320=则在截面C上压应力的