江苏省南京市高一上学期期末数学试卷

1、2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）（5 分）若集合 A= - 1, 0, 1, 2, B=Mx+10,则 AH B=.（5分）函数f （x） =log2 （1 - x）的定义域为.（5分）函数f （x） =3sin （3x+）的最小正周期为 .4（5分）已知角a的终边过点P（-5, 12）,则cosa.（5分）若幕函数y=xa （aC R）的图象经过点（4, 2）,则a的值为.（5分）若扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cm2.（5分）设司，司是不共线向量，司-4耳与 G+己共线，则实数k的值 为.（5分）定

2、义在区间0, 5可上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个 数为.（5分）若a=log32,b=20.3,c=log1 2,贝U a,b,c的大小关系用 之”表示为.（5分）函数f （x） =2x+a?2 x是偶函数，则a的值为.（5分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若靛?而=-2,则正?前 的值为Df；C不、/ 7LAB（5分）已知函数f （x）对任意实数x R, f （x+2） =f （x）恒成立，且当x C - 1, 1时，f （x） =2x+a,若点P （2017, 8）是该函数图象上一点，则实数 a 的值为.（5分）设函数f （x）白-3x2+2,则使得f

3、 （1） f （logM成立的x取值 x范围为.k-2m(5分)已知函数f (x) = -x,-rnK0,若对任意实数x,都有f (x) 2)的矩形铁皮的四个角 上，各剪去一个边长是x米(00,0, |(|)| )的最下正 周期为冗，且点P (口，2)是该函数图象的一个人最高点.6(1)求函数f (x)的解析式；(2)若xC -。，0,求函数y=f (x)的值域；(3)把函数y=f (x)的图线向右平移0 (0 00,则 AH B= 0, 1, 2 【解答】解：二.集合A=-1, 0, 1, 2,B=x| x+1 0 =x| x 1, .An B=0, 1,2.故答案为：0, 1, 2.(5

4、分)函数 f (x) =log2 (1 -x)的定义域为 x| x0 即 x1函数 f (x) =lOg2 (1-x)的定义域为x|x1 故答案为：x|x 1(5分)函数f (x) =3sin (3xg)的最小正周期为 _等_. 4 3 【解答】解：函数f (x) =3sin (3x。)的最小正周期为今， 故答案为：等.3(5分)已知角a的终边过点P(-5, 12),则COS a二*【解答】解：角a的终边上的点P (-5, 12)到原点的距离为r=13, 由任意角的三角函数的定义得 COS a工=-2.r 13故答案为-T7-.(5分)若幕函数y=xa (aC R)的图象经过点(4, 2),则

5、a的值为占【解答】解：幕函数y=xa （aCR）的图象经过点（4, 2）,所以4a=2,解得a=.2故答案为：工.2（5分）若扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为9 cm2.【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3,所以：扇形的面积为：x6x3=9.2故答案为：9.（5分）设司，,是不共线向量，同-4J与它+6共线，则实数k的值为1 .【解答】解：: ei 4e2与kei+0共线，电一4已尸（ ki +/），入 k=1 入。4,故答案为-y .4（5分）定义在区间0, 5可上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为 5 .【解答

6、】解：画出函数y=2sinxf y=cosx在一个周期0, 2句上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在0,句上有1个交点，在（阳2句上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间0, 5可上图象共有5个交点.故答案为：5.(5分)若a=log32, b=20.3, c=log1 2,则a, b, c的大小关系用 ”表示为 c a1, c=log 20, rc ab.故答案为：c af (log3x)成立的x取值 X范围为 (0, 1) U (3, +oo).A【解答】解：由题意，f (-x) =f (x),函数是偶函数，f(x)=-斗-6x, f (x)在(0, +0

7、0)递减， X f (1) f (log3x)| lOg3x| 1 ,0 x!或 x3,3使得f (1) f (logM 成立的x取值范围为(0,工)U (3, +8),3故答案为(0,卷)u (3, +oo). ,J(5分)已知函数f (x) = -x,其中m0,若对任意实数x,都l/4-id有 f (x) 0,x+2m)，4-inx+1-2id,=-kT ,k+1+2id,-id-1的简图，向左平移1个单位，可得y=f (x+1),由对任意实数x,都有f (x) m-1的图象重合，可得2m=1 2m,解得 m=j-,通过图象平移，可得 m的范围为0m.故答案为：(0, 1).二、解答题（共

8、6题，90分）（14分）已知亘里士蛆些&一=2.sinQ -2cos H（1）求tang(2)求 cos (- - a) ?cos ( T+a)的值.2【解答解：（1）.已知器瑞豁,=5(2) COS (a) ?COS ( t+ a) =Sin a 1 COS 0 =2-sinCl cosO-tan Clsin2d+cosd tanu+l526（14分）已知向量 a= （-2, 1）, b= （3, -4）.（1）求（a+b） ? （2a-b）的值；（2）求向量；与；+t的夹角.【解答】解：(1)向量 (-2, 1),最(3, 4).(二+E) = (1, - 3), (2a-b) = ( -

9、7, 6).所以(：+E) ? (2a-b) =- 7T8=-25.(2) a+b= (1, -3),COS展磊=喜=考向量1与彳+E的夹角为135。.（14分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米(0 x&1)的小正方形，折成一个无盖的长方体铁 盒，设V (x)表示铁盒的容积.(1)试写出V (x)的解析式；(2)记y&L,当x为何值时，y最小？并求出最小值.I【解答】解：(1)由题意，V (x) = (2a- 2x) (a- 2x) x (0 x2, 0 x0,0, |(|)| )的最下正 2周期为冗，且点P (专，2)是该函数图象的一个人最高

10、点.(1)求函数f (x)的解析式；(2)若x -2L, 0,求函数y=f (x)的值域；2(3)把函数y=f (x)的图线向右平移0 (0 0-)个单位，得到函数y=g (x)在0,工上是单调增函数，求8的取值范围.4【解答】解：(1)二.由题意可得，A=2, 等=砥二.再根据函数的图象经过点 P (0，2),可得2sin (2x2+)=2,卫合|“ 66 . f (x) =2sin (2x+-). 6.xC 兀L.Zxee -6 Lsin (2xe Jl 1，-1, y,可得：f (x) =2sin (2x4) - 2, 1.(3)把函数y=f (x)的图线向右平移9 (0 0A)个单位，

11、 2 TOC o 1-5 h z 得到函数 y=g (x) =2sin2 (x- 0) + =2sin (2x 2 (H-), 66. 令 2k：t2L02x 2 9+2L2kT+2L, k C Z,解彳$ kT+9-2LxY8乎1冗:解得： 疗 ，kCZ,V0 0当 k=0 时,12，.(16分)如图，在 ABC中，已知 CA=1, CB=2 /ACB=60.(2)已知点D是AB上一点，满足75=漉,点E是边CB上一点，满足BE=ABC.当入1时，求应?而;2是否存在非零实数 N使得血，而？若存在，求出的人值；若不存在，请说明理由.B【解答】 解：(1) ABC中，CA=1, CB=2, /

12、ACB=60, 由余弦定理得，AB2=C*+C序2CA?CB?co S ACB=12+22-2X1 X2Xcos600二3, AB=J3,即 | 靛| 二正；(2)入时，ad=-1ab, be=bc, 222D、E分别是BC, AB的中点，AE= AC+CE= AC+CB, 2匚D=1( CA+CB), 2AE?CD= (AC+-1CB) ?-1 (CA+CB) 22二1？ ”三？ 1 + B? , +三：=-X 12+X 1X 2X cos120 +-1x2X1 X cos60 + X 222244春假设存在非零实数使得虚，而, 由 AD二人AB,得 AD二入(CB - CA),CD=CA+

13、AD=CA+ X ( CB - CA)=温 + (1 - X) CA;又标二菽，.AE=AB+lS= (CB-CA) +X (- CB) = (1 - ?) CB-CA;正?而二入(1 X)CB2- 凝?而+ (1 A 2CB?CA- (1 办 CA2 =4入（1-a - h（1-a 2-（1-a2=-3 片+2 入=0解得入|或入=0（不合题意，舍去）； 1-1即存在非零实数 卷 使得而，而.(16分)已知函数 f (x) =x a, g (x) =a|x|, aC R.(1)设 F (x) =f (x) - g (x).若a,求函数y=F (x)的零点； 2若函数y=F (x)存在零点，求

14、a的取值范围.(2)设 h (x) =f (x) +g (x), x -2, 2,若对任意 x，x2e -2, 2 , | h(xi) - h (x2)|06恒成立，试求a的取值范围.【解答】解：(1) F (x) =f (x) - g (x) =x- a - a| x| ,若 a=L 贝U由 F (x) =x- -| x| 一1=0得：-L| x| =x- -,22222当x0时，解得：x=1;当x0时，作图如下：由图可知，当0a1时，折线y=a| x|与直线y=x- a有交点，即函数y=F (x)存在零点；同理可得，当-1a0时，求数y=F (x)存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交

15、点(0, 0),函数y=F (x)存在零点；综上所述，a的取值范围为(-1,1).(2) = h (x) =f (x) +g (x) =x- a+a| x| , x - 2, 2,当20 x 0 时，h (x) = (1 a) x a；当 00 x0 2 时，h (x) = (1+a) x- a；又对任意 x，x2e -2, 2 , | h (x1)- h (x2)| 06包成立，则 h (x1) max 一 h (x2)min&6,当 a0, 1+a 一2,综上，-2&a& - 1;当1a0, 1 -a0, . h (x) = (1 a) x- a在区间2, 0) 上单调递增，且h (x) = (1+a) x-a在区间0, 2上也单调递增，h (x) max=h (2) =2+a, h (x2)min=h ( 2) =a- 2,