《现代数值计算》课件4.2 Newton-Cotes求积公式

1、4.2 Newton-Cotes求积公式总结4.2.3 Newton-Cotes 公式的误差分析4.2.2 Newton-Cotes求积公式4.2.1 插值型求积法数值求积法与代数精度我们的目的就是根据一定原则,选择求积节点xk和系数Ak，使得求积一般公式(4.2.1)具有较高的精确度, 同时又计算简单。权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x) 的具体形式。使积分公式具有通用性右端公式称为左端定积分的某个数值积分公式其中xk称为积分节点, Ak为求积系数, 也称之为伴随节点xk的权(4.2.1)一、求积公式的代数精度记称(4.2.2)为数值求积公式,(4.2.3)为求积公式余

2、项(误差). 构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有(i) 确定求积系数Ak和求积节点xk ；(ii)求积公式的误差估计和收敛性 为了构造形如式(4.2.1)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则.用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义 数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念由于闭区间a,b上的连续函数

3、可用多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式 f (x) 成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。 定义4.1 如果某个求积公式对于次数m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度 注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多因此有等价定义。项式列出来验证，因此只要验证对1，x,xm 精确成立即可。 等价定义4.1若(4.2.1)对于1，x,xm都精确成立，对xm+1不精确成立，则称(4.2.1)的代数精度为m。 因为函数组(1，x, xm)是的一组基函数,所以两个定义是等价的,但在具体应用时，定义4.1比

4、定义4.1要方便的多由定义4.1可知，若求积公式（4.2.1）的代数精度为m，则求积系数Ak应满足线性方程组： （4.2.4）这是关于Ak的线性方程组，其系数矩阵是范得蒙矩阵, 当 互异时非奇异, 故 有唯一解。 如果事先选定求积节点，如，以区间a,b的等距节点依次为节点，这时取m=n，求解上述线性方程组(4.2.4), 即可确定系数从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中介绍。例4.4 考察其代数精度。 f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次检查公式是否精确成立代入 P0 = 1：=代入 P1 = x ：=代入 P2 = x2 ：代数精度 = 1分析：由等价定义,求代

5、数精度，只对最简单的函数xm来验证。解：所以该求积公式的代数精度m=3。例4.5例4.6 试构造形如 f(x)dx A0 f(0)+ A1 f(h)+ A2 f(2h) 的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.3h0解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有3h=A0+ A1+ A2h2=0 + A1h+ A22h9h3=0 + A1h2+ A24h229故求积公式的形式为解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 94 34 f(x)dx f(0) + f(2h)3h49h43h0而当f(x)=x3时, 公式的左边=81h4 /4, 右边=18h4,

6、 公式的左边右边,说明此公式对 f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数精度.由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度;二、数值求积公式的收敛性与稳定性即：初始数据的误差没有引起计算结果的误差增大，即计算是稳定的。 定理4.1 表明，只要求积系数Ak0 (k0,1,n)，就能保证计算的稳定性 定理4.1 若求积公式(4.2.1)中系数Ak0 (k0，1，n)，则此求积公式是稳定的证明: 所以求积公式(4.2.1)是稳定的问题：4.2.1 插值型求积法插值基函数插值多项式1、方法与f 无关,记为Ai其中求积系数(4.2.5) 定义4.4 对给定互异求积节点 ,若求积系数 是由(4.2

7、.6)给出的，则称该求积公式是插值型的。此时数值求积公式(4.2.5)称为（内插）插值型求积公式。由 节点 决定，与 f (x) 无关2、求积余项 若 , (4.2.5)是插值型求积公式, 其中与变量x有关,记作 x 。特别地, 如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数 n的多项式 f (x)，其余项R f 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度则有余项公式定理4.2 形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即： ）证明 充分性 若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立,即而取 时所以有 ,即求积公式为插值型求积公式 证:必要性 设n+1个节点的求积公

8、式 为插值型求积公式,求积系数为 又 当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=Ln(x) , 其余项R(f )=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。注意：n+1个节点的内插型求积公式至少具有n次代数精度，这里：代数精度数与节点数的关系要注意。推论1 求积系数满足:(可用此检验计算求积系数的正确性)例4.7 给定求积公式如下： 试证此求积公式是插值型的求积公式 证:设 ,则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为 由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。 插值型求积公式为练习4.1 求证不是插值型的求积公式。证明: 设 x0 = -1, x1 =0, x2 =

9、1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 则以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为构造插值型求积公式有如下特点：复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被积函数f(x)无关，可以不管f(x)如何，预先算出Ak的值 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性 (1) 在积分区间a,b上选取节点xk (2) 求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，这样 就得到了(3) 利用f(x)=xn,验算代数精度 构造插值求积公式的步骤例4.8 对 构造一个至少有3次代数精度

10、的求积公式确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度解: 3次代数精度需4个节点, 在0,3上取0,1,2,3四个节点构造求积公式解： 因要求所构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为故求积公式为例4.9 给定求积节点 试推出计算积分 的插值型求积公式，并写出它的余项。其中属于(0,1)并依赖于x。若 在0,1上存在，则该求积公式的余项为 在插值型求积公式中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式.其中 插值多项式 求积系数 这里

11、是插值基函数。4.2.2 牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公式1、求积系数的形式： 节点等距分布： 把a, b n 等分，用插值Ln(x)近似 f(x)积分，有Cotes系数因此,Newton-Cotes公式为称为柯特斯系数.柯特斯系数不但与被积函数无关，而且与积分区间也无关 Newton-Cotes公式是一类数值积分公式，它是封闭公式（区间端点也是积分节点），它是由拉格朗日插值公式推导来的由于是多项式积分，Cotes 系数计算不会遇到实质性困难。2、常用的Newton-Cotes公式：这就是抛物线公式，又称辛浦生 Simpson 公式 。几何意义就是用抛物线下的面积近似曲线f(x)

12、下的面积。当n=3时，称之为Newton公式。(4.2.12)这就是柯特斯公式（Cotes ) 当n 较大时，例如 n=8 时，系数 中出现负数，而且有正有负会使舍入误差增大，数值稳定性较差，因此实际计算并不用 n较大的 公式，而是将区间a,b 分割成若干个小区间，对每个或几个小区间应用n 较小的公式去计算。Cotes系数表附后.(4.2.13)当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从而影响稳定性(Ak0)和收敛性，因此实用的只是低阶公式。Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到(给出了n从18的柯特斯系数)。 Cotes 系数与 f (x) 及区间a, b均无关。例4.10 分

13、别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值 (计算结果取5位有效数字) (1) 用梯形公式计算 (2) 用辛卜生公式 (3) 用柯特斯公式计算，系数为 积分的准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 引理：n阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是n.证明：如果f (x)是一个次数不超过n次的多项式，则f (n+1)(x)0,其拉格朗日插值公式的插值余项为： 即，Newton-Cotes公式的值精确地等于定积分的值，故n阶Newton-Cotes公式的代数精度至少是n.故f (x)=Pn(x), 这是对一切x均相等，精确成立所以，结论：当n 为奇数时，n阶Newton-

14、Cotes公式的代数精度为n；当n 为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1(稍后再证明)2、Cotes系数特点：即有由引理知，求积公式至少有n次代数精度,对于1,积分公式总是精确成立,(-1)n+k=(-1)n-k4.2.3 Newton-Cotes公式的误差分析1.偶阶求积公式的代数精度 作为插值型的求积公式，n 阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n 次的插值精度（定理3.2）。从上面几个特殊的公式可以猜想, n为偶数时, 代数精度还可进一步提高，先看Simpson公式，它是二阶Newton-Cotes公式, 因此至少具有二次代数精度。进一步用 x3 进行检验。 按Simps

15、on公式计算得：另一方面，直接求积分得： 易验证S=I, 即Simpson 公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立。 易验证此时SI （ b a 时） 因此Simpson公式实际上具有3次代数精度。 定理 4.3 当阶 n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 n+1 次代数精度 .说明：为了既保证精度又节约时间，尽量选用n是偶数的情形。一般地，可以证明下述定理:证明 只需验证当n为偶数时,Newton-Cotes公式对f (x)=xn+1的余项为零.由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)! .由式(4.2.7)得引进变换t=u+n/2,因为n为偶数,故n/2为整数,由上述积

16、分区间是-n/2,n/2,被积函数于是有被积函数是个奇函数.（n+1) 个乘积,(u-j)(u+j)为偶函数， j=0时，u-j 为奇函数。n = 1:/* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */代数精度 = 1由于(x-a)(x-b)在a,b中不变号, 在a,b上连续,根据高等数学中的积分中值定理 ,在a,b上存在一点,使 因此 2. 几种低阶求积公式的余项(4.2.14)误差估计式为 n = 2:代数精度 = 3n = 3: Newton公式, 代数精度 = 3,n = 4: Cotes 公式, 代数精度 = 5,n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1

17、 次代数精度。(4.2.15)(4.2.16)(4.2.17)例4.11 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解: 1.辛卜生公式 由于 由辛卜生公式余项 知其误差为 解: 2.柯特斯公式 知其误差为 例4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 该定积分的准确值 ,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n2时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。 3. Newton-Cotes公式的计算稳定性问题 由定理3.1知若求积公式中求积系数Ak0(k=0,1,n),由此求积公式是稳定的. Newton-Cotes公式的系数当n小于8时均为正值,而当n大于等于8时才出现负值.解 用梯形公式计算: