《现代数值计算》课件2.1-引例2.2 拉格朗日插值 2.3 逐次线性插值

1、2. 5 Hermite插值多项式2. 4 Newton插值多项式2. 3 逐次线性插值法2. 2 Lagrange插值多项式2.1 引言与问题特例第二章 插值法2. 6 分段低次插值2. 7 三次样条插值2.1 引言与问题特例例2.1例2.2问题插值-定义2.12. 2 Lagrange插值多项式例2.1 在统计中会遇到概率积分的计算。为便于应用，有概率积分表2-1x0.5200.5210.5220.524f (x)0.537 900.538 760.539 620.540 48求 f (0.52136)或f (0.52218). ( 数据表中没有）。解法：用插值法求。2.1 引言与问题特例

2、例2.2 由化学实验得到某种物质浓度yi与时间ti的关系如表2-2.ti0. 00.51.01.52.0yi0. 00.190.260.290.31求其它时间的物质浓度。解法： 建立时间与物质浓度的简单数学模型，或用插值法 。 求y = f (x) 在 a , b 上的近似曲线？问题：基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式?x0 x1x2x3x4 xf(x)(x)从几何上看曲线 ( x) 近似 f ( x) 从代数上看，看 (x)满足以下代数条件 (xi) = yi i = 0, 1, 2, , n这就是所谓的插值然后计算 (x)在a,b 上其它点x 处的函数值作为

3、原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数 (2.1)式称为插值条件，x2 xn b 点上的值 y0, y1, , yn . 若存在一简单 函数 (x), 使得 (xi) = yi i = 0, 1, 2, , n (2.1) 定义2.1f ( x ) 称为被插值函数，a , b 称为插值区间， 称为插值节点 ， 求 ( x ) 的方法就是插值法。设函数 f (x) 在a , b上有定义，且已知在 a x0 x1成立,则称 ( x ) 为 f (x) 的插值函数。近似计算 f (x) 的值、零点、极值点、导数、积分，插值点在插值区间内的称为内插, 否则

4、称外插. x0 x1x2x3x4f(x)(x)从几何上看曲线 ( x) 近似 f ( x) 研究问题：（1）满足插值条件的 ( x) 是否存在唯一？（2）若满足插值条件的 ( x) 存在，如何构造( x)？（3）如何估计用 ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？2.2 Lagrange插值多项式2.2.1 多项式插值问题2.2.2 Lagrange插值2.2.3 Lagrange插值余项问题插值多项式的存在唯一性定理2.1 线性（一次）插值例2.3 n次Lagrange 插值多项式n=2n=1n=2例2.2*Lagrange插值多项式的另一种形式定理2.2定理2.3 Lagrange插值

5、算法实现练习1-32.3 逐次线性插值法例2.4算例1-22.2 Lagrange插值多项式2.2.1 多项式插值问题用代数多项式作为插值函数的插值法称为多项式插值法。可设 ( x ) = a0 + a1 x + a2x 2+ + ai x i + , 问题：插值多项式 ( x )是几次多项式？系数ai=？插值多项式 ( x )唯一吗？ 可设 ( x ) = a0 + a1 x + + an x n要求插值多项式 (x)，可以通过求n+1个方程的解:得到。但这样做不但计算复杂，而且难于得到 n(x)的简单表达式。 确定多项式 ( x )的次数方法：待定系数法结论：n+1个插值节点产生的插值多项

6、式的次数不超过n次问题插值多项式的存在唯一性 设 n( x )是 f (x) 的插值多项式，Hn表示次数不超过n 的所有多项且 n( x ) Hn .称插值多项式存在且唯一，就是指在由(2.1)可得(2.2) 方程组(2.2)有唯一解插值多项式的唯一性0 (xixj)定理2.1 满足条件 (2.1)的插值多项式存在且唯一。范德蒙行列式a0, a1, a2, , an存在唯一(xi) = yi i = 0, 1, 2, , nHn 中有且仅有一个 n( x ) 满足插值条件(2.1)式。式的集合。n+1个节点互异当n=1时，要构造通过两点 (x0 , y0 )和(x1, y1 )的不超过1次的多

7、项式 1(x)(后面记作L1(x) )，使得2.2.2Lagrange插值y 0 x y = f (x)y = L1(x)x0 x1 y 0 x y = f (x)y = L1(x)x0 x1 称为线性（一次）插值（两点式）（点斜式）或L1(x)是两个线性函数的线性组合称为节点x0,x1上线性插值基函数- 线性Lagrange插值多项式形式(2.3) y10 x0 x1 x l0(x) l1(x) 节点上的线性 插值基函数：满足 y10 x0 x1 xx0 x1l0(x)10l1(x)01例2.3 已知 , ,解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值 利用线

8、性插值求 先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,它们满足 (1) 都是二次函数； (2) 在节点满足x0 x1x2l0(x)100l1(x)010l2(x)001y 1 0 xy 1 0 xy 1 0 xx0 x1 x2 先求 l0(x):待定系数x0 x1 x2x0 x1 x2 由l0(x)满足的两个条件类似地,可得知l0(x)中含有两个因子(x-x1 )( x-x2)，且是二次的再由l0(x)满足的条件即得所以有 L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1 (x) + y2 l2(x)例2.2* 已知 , ,解: 这里x0=100，y0=10，x1=121

9、，y1=11, x2=144，y2=12，利用抛物线插值公式 利用抛物线插值求n次Lagrange 插值多项式求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x)：先求插值基函数然后构造插值多项式设Ln(x)=满足插值条件：L n ( xj ) = y j , j = 0, 1, , n定义2.2 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1,n ) 在各节点i, k = 0, 1 , n (2.4)上满足条件 则称这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插值基函数。先求 插值基函数， k = 0, 1 , n .k = 0, 1 , n .L2(x) = y0 l0(x) +

10、y1 l1(x) + y2 l2(x)（类似于前面讨论n =1, 2 时的情形）(2.5)再构造插值多项式（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合）定理2.2（Lagrange）插值多项式通常次数=n , 但特殊情形次数可 x=0.4，0.5,0.7，0.8; y=-0.916291,-0.693147,-0.356675,-0.223144; lagrange(x,y,0.6)ans = -0.509 975 （精确解-0.510 826)算例2给出函数为f(x)=1/(1+x2) ，它在区间-5，5上各导数存在，但是在此区间上取n个节点构造的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛

11、的，而且分散得很厉害 。 x=-5:1:5; y=1./(1+x.2); x0=-5:0.1:5; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2);绘制图形 plot(x0,y0,-r)插值曲线 hold on plot(x0,y1, -b)原曲线为解决Rung问题，引入分段插值。 Lagrange插值采用插值基函数的线性组合来构造插值多项式含义直观形式对称优点：缺点：计算量大求二次插值多项式。 解 按Lagrange方法，有：练习1 练习2 给定数据表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次Lagrange插值多项式L3(x).练习3 要制作三角函数sin

12、 x的值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试确定其最大允许的步长。解 f(x)=sin x, 设xi, xi为任意两个插值节点，最大允许步长记为 h = hi = xi xi，2.3 逐次线性插值法 在许多情况下，当函数的高阶导数未知时，直接用插值余项公式（2.10）来估计误差是困难的。下面以线性插值为例，介绍另一种估计误差的方法。此两式分别给出了L1(x)和L1(x）作近似计算时的实用误差估计式。而不需要计算高阶导数，也不用顾忌插值区间上高阶导数的界。已知 f(0)=2，f(1)=3, f(2)=12利用Lagrange插值计算未知函数y=f (x)在

13、x=1.2078处的函数值f (1.2078)，并估计误差.解：在区间0,1上的1次Lagrange插值多项式为在区间1,2上的1次Lagrange插值多项式为例2.5而x=1.20781,2 基于以上分析，为更好的近似计算f (x*)，可以考虑把 ，即 2次的 上面的例题可以克服这一缺点，即使用逐次线性插值方法求得高次插值。2.2.3Aitken 逐次线性插值法计算时应尽量多地利用靠近x的节点信息，即先对所有节点重新排序，与x接近的点排在前面，接下来计算f (x)的近似值。计算过程如下 从表上看每增加一个节点就计算一行，斜线上是1次到4次插值多项式的值，如精度不满足要求，再增加一个节点，前面计算完全有效，这个算法适用于计算机上计算，且具有自动选节点并逐步比较精度的特点，程序也比较简单。算例见教材(略）。 下面介绍的牛顿插值多项式就克服了这个缺点。它能根据插值条件构造一个插值多项式，它既有具体的表达式，又很容易用它计算任何点的函数值。 逐次线性插值法的优点是能够最有效地计算任何给定点的函数值，而不需要写出各步用到的插值多项式的表达式。但如果解决某个问题是需要插值多项式的表达式，那么，它的这个优点就成了它的缺点了。 由插值多项式存在唯一性的定理说明，满足插值条件的多项式存在，