《ch空间曲面》PPT课件(PPT 31页)

1、一、曲面方程的概念二、三种特殊曲面三、二次曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 10.4 空间曲面 第十章 第1页，共31页。一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离化简得即引例:解:设轨迹上的动点为的点的轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共31页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.第3页，共31页。定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此

2、方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共31页。机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 第5页，共31页。故所求方程为例1. 求动点到定点的轨迹方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解: 设轨迹上动点为即依题意距离为 R表示上(下)球面 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页

3、，共31页。例2. 研究方程解: 配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. 表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面, 或点, 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共31页。定义2. 一条平面曲线二、三种特殊曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为中心轴 .例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 A. 旋转曲面这条平面曲线在旋转过程中任一时刻的位置都称为旋转曲面的母线。第8页，共31页。建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若

4、点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共31页。思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可知，以 z (或 y 或 x) 轴为中心轴的旋转曲面方程可表示为(或 或 第10页，共31页。例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共31页。B.柱面引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表

5、示圆C, 过此点作对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,在圆C上任取一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共31页。沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的故在空间曲面称为圆柱面.表示圆柱面其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，共31页。定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线, l 叫做母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共31页。一

6、般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，共31页。C. 锥面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共31页。例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，共31页。三、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型

7、的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，共31页。1. 椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页，共31页。与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共31页。2、双曲面（1）. 单叶双曲面椭圆.时, 截痕为平面 上的截痕情况:双曲线: oyzx时, 截痕为相交直线: 第21页

8、，共31页。(2).双叶双曲面双曲线椭圆双曲线第22页，共31页。2. 双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 第23页，共31页。虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: 第24页，共31页。(2) 双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 第25页，共31页。3. 抛物面（1）. 椭圆抛物面( p , q 同号)特别,当 p = q

9、时为绕 z 轴的旋转抛物面.oyzx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，共31页。（2）双曲抛物面（鞍形曲面）( p , q 异号)用截痕法讨论：设1) 用坐标面均可得抛物线.与曲面相截xyzo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共31页。2) 用坐标面与曲面相截均可得抛物线.3) 用与曲面相截可得双曲线.与曲面相截可得两条直线.用坐标面xyzoxyzo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，共31页。内容小结 1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页，共31页。2. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返