2021新教材数学人教B版必修第二册课件：6.2.3-平面向量的坐标及其运算

1、6.2.3平面向量的坐标及其运算必备知识自主学习1.平面向量的坐标(1)向量的垂直:平面上的两个非零向量a,b,如果它们所在的直线_,则称向量a,b垂直,记作ab.规定_与任意向量都垂直.导思1.平面向量如何用坐标表示?如何进行向量的坐标运算?2.如何利用向量的坐标表示两点距离和向量的平行?互相垂直零向量(2)向量的正交分解:如果平面向量的基底e1,e2中,e1e2,则称这组基底为_,在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.(3)向量的坐标:给定平面内两个相互垂直的_,对于平面内的向量a,如果a=_,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=_.正交基底单位向量e1,e2xe1+ye2(x,y)

2、【思考】(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系?提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时).(2)平面中,若以e1的方向为x轴的正方向,以e2的方向为y轴的正方向,则e1,e2的坐标分别是什么?提示:e1=(1,0),e2=(0,1).(3)向量的坐标就是其终点的坐标吗?提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.(4)符号(x,y)表示点与表示向量有什么不同?提示:符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个

3、固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y)或向量(x,y).给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无数个.根据坐标的意义可得,当且仅当两个向量的坐标相同时,两个向量相等.2.平面上向量的运算与坐标的关系(1)向量加法与减法运算设a=(x1,y1), b=(x2,y2),则a+b=_,a-b=_,a=_.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)向量相等的充要条件:a=b_且_.ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2);ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2).(2

4、)模长公式:设a=(x,y),则|a|= x1=x2y1=y23.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示,在平面直角坐标系中,设A(x1,y1),B(x2,y2),则:(1)向量 =(x1,y1), =(x2,y2),向量 =_.(2)它们之间的距离:AB=| |=_.(3)设AB的中点M(x,y),则x=_,y=_.(x2-x1,y2-y1)【思考】“若A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x1-x2,y1-y2)”对吗?提示:不对,应该用终点坐标减去始点坐标.4.向量平行的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab_.x2y1=x1y2【思考】(

5、1)把x1y2-x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以吗?怎样记忆此公式的表达式?提示:写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,这一公式可简记为:纵横交错积相减.(2)在向量平行的坐标表示中,改为ab ,即用语言可以表述为:两个向量平行的条件是相应坐标成比例.对不对?提示:不正确.当x2=0或y2=0时不成立.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.()(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()(4)向量(2,3)

6、与向量(-4,-6)同向.()【提示】(1).对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.(2).根据向量的坐标表示,当始点在原点时,终点与始点坐标之差等于终点坐标.(3).根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.(4).因为(-4,-6)=-2(2,3),所以向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.2.已知a=(2,1),b=(3,-2),则3a-2b的坐标是()A.(0,-7)B.(0,7)C.(-1,3)D.(12,-1)【解析】选B.3a-2b=3(2,1)-2(3,-2)=(6,3)-(6,-4)=(0,7).3.(教材二次开发:例题改编)已知向量a= ,b=(x,1)

7、,其中x0,若(a-2b)(2a+b),则x的值为()A.4 B.8C.0D.2【解析】选A.a-2b= 2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)(2a+b),则(8-2x)(x+1)=(16+x) ,解得x2=16,因为x0,所以x=4.关键能力合作学习类型一向量的坐标表示(直观想象)【题组训练】 1.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为()A.(4e1,3e2)B.(4e1,-3e2)C.(4,3)D.(4,-3)2.已知O是坐标原点,点A在第二象限,| |=6,xOA=150,向量 的坐标为_.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,

8、OA=4,AB=3,AOx=45,OAB=105, =a, =b.四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标;(2)求向量 的坐标;(3)求点B的坐标.【解析】1.选D.由向量坐标的定义可知,向量a的坐标为(4,-3).2.设点A(x,y),则x=| |cos 150=6cos 150=-3 ,y=| |sin 150=6sin 150=3,即A(-3 ,3),所以 =(-3 ,3).答案:(-3 ,3)3.(1)作AMx轴于点M,则OM=OAcos 45=4 =2 ,AM=OAsin 45=4 =2 ,所以A(2 ,2 ),故a=(2 ,2 ).因为AOC=180-105=75,

9、AOy=45, 所以COy=30.又OC=AB=3,所以 【解题策略】求向量坐标的方法(1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来.(2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(3)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.类型二向量的坐标运算(数学运算)【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且求M,N及 的坐标.【思路导引】方法一:先求 , ,设出M,N的坐标,根据 列方程求解.方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算 , 的坐标.【解析】方法一:(待定系数法)由A(-2,

10、4),B(3,-1),C(-3,-4),可得 =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), =(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以 =3 =3(1,8)=(3,24), =2 =2(6,3)=(12,6).设M(x1,y1),N(x2,y2),则 =(x1+3,y1+4)=(3,24),所以x1=0,y1=20; =(x2+3,y2+4)=(12,6),所以x2=9,y2=2,所以M(0,20),N(9,2), =(9,2)-(0,20)=(9,-18).方法二:(几何意义法)设点O为坐标原点,所以 =3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), =2(3,-1)-(-3,-4)

11、=(9,2),即点M(0,20),N(9,2),故 =(9,2)-(0,20)=(9,-18).【解题策略】平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行计算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.【跟踪训练】若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐标.【解析】因为 =(-2,10), =(-8,4), =(-10,14),所以 +2 =(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),

12、 - =(-8,4)- (-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).类型三向量坐标运算的综合应用(数学运算、逻辑推理) 角度1向量共线的判定【典例】已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量 共线的单位向量是() A.(3,-4)B. C.(-6,8)D. 【思路导引】利用向量共线的坐标表示判断.【解析】选B.因为 =(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知,A,B,C选项中的向量均与 共线,但A,C中向量不是单位向量.【变式探究】本例选项中有哪些向量与 共线,其中有反向的向量吗?提示:因为 =(7,-3)-(4,1)=(3,-4),故A.(3,-4)

13、,B. ,C.(-6,8)均与 共线,且B,C选项的向量与 反向.角度2利用向量共线的坐标表示求参数【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 【思路导引】方法一:根据共线向量定理知存在唯一实数,使ka+b=(a-3b)列方程求解.方法二:写出ka+b和a-3b的坐标,利用平行向量的坐标关系求解.【解析】方法一:(共线向量定理法)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b).由(k-3,2k+

14、2)=(10,-4),所以 解得k=- .当k=- 时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=- a+b=- (a-3b),因为=- 0,所以ka+b与a-3b反向.方法二:(坐标法)由题意得ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行,所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=- .这时ka+b= =- (a-3b),所以当k=- 时,ka+b与a-3b平行,并且反向.角度3三点共线问题【典例】已知A(1,-3),B ,且A,B,C三点共线,则C的坐标可以是()A.(-9,1)B.(9,-1)C.(9,1)D.(-9,-1)【思路导引】设出

15、点C的坐标,因为A,B,C三点共线,写出向量 (或 ),由向量共线的条件结合选项求解.【解析】选C.设点C的坐标是(x,y),因为A,B,C三点共线,所以 因为 =(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),所以7(y+3)- (x-1)=0,整理得x-2y=7,经检验可知点(9,1)符合要求.【解题策略】1.利用向量共线的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.2.由共线的坐标条件求参数的解题步骤(1)分别写出共线的两个向量的坐标.(2)通过共线条件列出方程(组).(3)解方程(组)求出参数.3.

16、三点共线问题的实质是向量共线问题,只要利用三点构造出两个向量,再使用向量共线的条件解决即可.【题组训练】1.(2020宜昌高一检测)已知点A(3,7),B(0,11),单位向量e= ,(0),则e=()【解析】选B.由已知 =（3,4）=-5 ,故e= 2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=()A.13B.-13C.9D.-9【解析】选D.因为A,B,C三点共线,所以(-5-3)(y+6)-(6-3)(2+6)=0,所以y=-9.3.若向量a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b.(1)若u=3v,求x.(2)若uv,求x,并判断u与v是同向还是反

17、向.【解析】因为a=(1,1),b=(x,1),所以u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3);v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1).(1)u=3v(2x+1,3)=3(2-x,1)(2x+1,3)=(6-3x,3)2x+1=6-3x.解得x=1.(2)uv(2x+1)1-3(2-x)=0.解得x=1.所以u=(3,3),v=(1,1).所以u与v同向.【补偿训练】已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 (R),试求为何值时,(1)点P在一、三象限的角平分线上;(2)点P在第三象限内.【解析】设点P的坐标为(x,y),则 =(x,y)-(2,

18、3)=(x-2,y-3), =(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).因为 ,所以(1)若P在一、三象限的角平分线上,则5+5=4+7,所以= ,所以当= 时,点P在一、三象限的角平分线上.(2)若P在第三象限内,则 所以-1,所以当-1时,点P在第三象限内.【方法总结】1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,这是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参

19、数的值. 备选类型向量的模(逻辑推理、数学运算)【典例】(2020鄂尔多斯高一检测)设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上, 则点P的坐标为()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,-1)或(-1,1)D.(3,1)或(1,-1)【解析】选D.因为A(2,0),B(4,2),所以 =(2,2),因为点P在直线AB上,且| |=2| |,故P点坐标为(3,1)或(1,-1).【解题策略】求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(后续学习向量的数量积运算后会有此种类型的题目).(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= .【跟踪训练】(2020宿州高一检测)已知向量a=(x,2)，b=(-1,1)，若|a-b|=|a+b|，则x的值为_.【解析】因为a=(x,2)，b=(-1,1)，所以a+b=（x-1,3）,a-b=x+1,1.因为|a-b|=|a+b