二章极限与连续-PPT课件

1、第二章 极限与连续 1.定义2.1: 按一定顺序排列的一列数 a1,a2,an, 叫做一个数列, 数列中的每一个数叫数列的项, 第 n项 an 叫数列的一般项或通项.简记为 an .数列也可称作整标函数. 因为数列 an= f (n) 可看成是定义在正整数集合上的函数. 当自变量 n 按正整数 1,2,3, 依次增大的顺序取值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数:称为一个无穷数列, 简称数列.例(一).数列的有关知识一. 数列的极限第一讲 极限的概念 从以上几例可以看出, 随着 n 逐渐增大时, 数列有着各自的变化趋势. 当 n 无限增大时 , 数列(1)、(5) “无限接近”数 0; 数列(

2、2)、(6)、(7) “无限接近” 数1; 数列(3) “无限增大”; 数列(4) 在数 0和 1间摆动.在几何上, an 表示数轴上一列点,也可以把(n ,an ) 看成平面上的点. o1数列on1no11数 列on112 11oo 结论 当 n 无限增大时 ,数列的变化趋势有三种情形： an 无限增大; an 的变化趋势不定; an“无限接近”某个常数 A . 此时我们说数列 an 当 n 无限增大时, 以常数 A 为极限.这便是数列极限的直观描述.on11数列0 1(二)、数列极限的直观描述1.直观描述:对于数列，如果当n 无限增大时,无限接近于一个确定的常数，则称数列收敛于，或称当趋于

3、无穷大时，数列以为极限。记作 否则，称数列发散。2. 上面数列(1), (5)和 (6) 收敛于 0; 数列(2), (7)收敛于1; 数列(3), (4)发散.3、举例例1 判断下列数列极限 2、 3、 4、解：1、 2、 3、不存在 不存在4 、注意: (1)关于”n”无限增大”，所谓无限增大当然是想要多大就有多大，因此有限数列没有极限；另外，无限增大我们还很在乎“增大”，例如1，2，100000，1/100000，2/100000，3/100000，.1，1，1，1，.1001，1002，1003，1004，不管前面的有限项如何，只看后面的无穷项。即不管给一个多么大的N或多么小的N，只要

4、nN后，有f(n)与A无限接近就行了 (2)关于“无限接近”：当然是指an 与的距离是越来越小，都成立要有多小就有多小，换句话说，随便给一个多么小的正数，(3) “一个确定的常数” 表明数列的极限是唯一的.(三)、数列极限的N定义 通过上面的讨论，我们可以用数学语言把它叙述出来：，如果任意给定的正数，时， 恒成立，则称数列当趋于无穷大时，以常数为极限。定义2.2: 对于数列也称数列收敛于A.记 否则，称数列发散。总存在一个正整数N，当因不等式 |an-A| N)可改写成 A-an N), 则几何意义若把 an 看成数轴上的点, 在数轴上任意取定A的 邻域, aN 以后的所有点都落在 A 的 邻

5、域内. A+AA(2) 若把 (n,an) 看成平面上的点, 在平面上取两直线y=A 和 y=A+; 当n N时, 所有点 (n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如图AA+ANno例2 利用定义证明 证明：要使，只须 故：任给，总存在，当时，恒成立，因此 得证。例3 证明 事实上： 任给 恒成立得证。(C为常数)故 数列极限是考察数列在n 这一过程中的变化总趋势(即有无极限). 而对于函数y=(x), 当考察它的变化总趋势时, 因自变量的连续变化过程有许多情况, 如x, x -, x 0, x x0+, x x0- 等.二.函数的极限如图ooxxyyooxxy 由以上几例可看得出, 同一

6、个函数的自变量在不同的变化过程中, 相应的函数变化趋势不一样, 因而有必要分情况考察.(一). x 时函数(x)的极限 1.直观描述：对函数(x), 当x取正值无限增大时(即x ), 如果(x)无限接近某常数A, 则称A是函数(x)当 x 时的极限.注：函数y =(x)当 x+ 时有极限与数列极限的不同点在于自变量一个是连续递增的, 一个是取自然数递增的(是函数极限的特殊情形). 2.函数(“M”)定义仿数列“N”定义有如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，当时恒成立，则称当时，函数的极限为。 例如记作 不存在及y =A+.则总存在区(M,+) ,可作两条直线y=A几何意义oxyA+AAMy

7、=(x)当 时，对应的函数曲线介于这两条直线之间(二)、时f(x)的极限1.直观描述: 对函数 (x), 当x取负值而绝对值无限增大时(即x),如果(x)无限接近某常数A, 则称A是函数(x)当x 时的极限.2.函数 (“M”)定义 设函数(x), 当xa时有定义. 使得当xM时,|(x)A|a时有定义. 对 当|x|M 时, |(x)A| 恒成立. 则称函数(x)当 x 时以A为极限. 记为又有是否有呢？ (三). x 时函数(x)的极限 几何意义如右图.oxyA+AAMMy=(x)(四). xx0 时函数(x)的极限当x从大于1和小于1的方向趋于1即当x 1时,函数(x)无限接近于1.ox

8、y11 y = x(1,1)首先,考察 函数 y =(x) = x (如右图)1、直观描述：设函数在的附近有定义，如果当无限接近于但不等于时，无限接近于一个确定的常数，则称当时函数以为极限. 记作2、分析定义： 无限接近于一个确定的常数,与前面的无限接近于时”，即当与的距离很小当有一个很小的正数，时. 又不等于，即 亦即当有一个正数,时. 2). “当1).意义一样.很小时,亦即当很小很小时，换句话说，3.精确定义(“”) 函数(x)在x0 的某邻域内(可去心)有定义. 恒有| (x) A | 成立.则称函数(x)当 xx0 时以A为极限.记为几何意义即在该去心邻域内对应的函数曲线一步y=f(

9、x)介于这两条直线之间, 如下图.oxyA+AAy=(x)可作两条直线 y = A及 y=A+. 则在x轴上总存在以 x为心, 为半径的去心邻域中所讨论的xx0 即x可从 x0 的左右如4. 函数(x)的左、右极限(1).左极限的直观描述及精确定义(“”) 当x 从 x0 左侧(小于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x0处的左极限. 记为“”定义则只能考察 x 从 0 的右侧趋于0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念.两侧趋于x0 . 但有时可考察 x 仅从x0 的左侧或右侧趋近时函数(特别是分段函数在分段点处)的极限. 或当时，恒成立.(2).右极限的直观描述及精确定义(“”) 当x从 x0 右侧(大于)趋于x0 时 , (x)以A为极限. 则 A是(x)在 x0 处的右极限. 记为“”定义(3).左极限和右极限统称为