自动控制原理_习题解答-

1、第5章频率特性法教材习题同步解析一放大器的传递函数为:K%产TT1测得其频率响应，当=1rad/s时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/ 42 ,稳态输出与输入信的相位差为一兀/4。求放大系数K及时间常数To解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为K12日口jT，即-.1T22% 2K272T2 2稳态输出与输入信号的相位差arctan T45当 =1rad/s时，联立以上方程得T=1, K=12放大器的传递函数为:12Qs)=s 1已知单位负反馈系统的开环传递函数为5Q(s) s 1根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。r (t) =sin (t +30 );

2、r (t) =2cos (2t45 );r (t) = sin (t+15 ) 2cos (2t -45 );解：该系统的闭环传递函数为(s)闭环系统的幅频特性为闭环系统的相频特性为(1)输入信号的频率为因此有A(系统的稳态输出(2)输入信号的频率为2,系统的稳态输出(3)由题(1)和题(2)对于输入分量1: sin(t+15A()Css(t)因此有A()Css(t)36arctan65 3737巨 sin(t3710丁 (),10cos(2t 2()9.4620.54 )18.4363.43 ),系统的稳态输出如下5.37c1ss(t)-37sin(t5.54 )对于输入分量2: 2cos

3、(2t45 ),系统的稳态输出为C2ss(t)10 cos(2t 63.43 )25.37css(t)sin(t37根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为105.537 )cos(2t 63.4363 )2绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。10G(s)0.1s 1G(s)=10 1)、4G(s)- s(s 2)(4)G(s)s 0.2(6)G(s)解:(1)G(s)幅相频率特性(s 1)(s 2)102-(s 1)(s100.1s 1开环系统G1(s)10TH0.1s 11)(5) G(s)s(s 0.02)G(s)0.2 e个不稳定的惯性环节,频率特性为G(j )-10

4、j0.1(a)幅相频率特性(b)对数频率特性图题(1)系统频率特性相频特性为1()(180arctan 0.1 ) arctan 0.1180相频特性从-180连续变化至-90可以判断开环奈氏曲线起点为( 10, j0)点，随 的增加，A()逐渐减小至0,而1()逐渐增加至-90 ,绘制出系统开环频率特性G(j )的轨迹，如图(a)虚线所示，是一个直径为10的半圆。10而开环系统G2(s)0.1s 1则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G2(j )如图(a)实线所示。对数频率特性10 ,10开环系统GMs) 一史一与G2(s) 一史一的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图(b)0.

5、1s 10.1s 1所示。(2)/s)=i0 i)幅相频率特性开环系统G(s)=101)的频率特性为G1( j ) 10( j0.11),其相频特性为相频特性从180连续变化至90Im-10Gi(j )1( ) 180arctan0.1。其开环频率特性G(jG2(j )Re10(a)幅相频率特性)的轨迹，如图(a)虚线所示。(b)对数频率特性图题(2)系统频率特性而开环系统 G(s)=10+1)则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G(j )如图(a)实线所示。(b)所示。对数频率特性同题(1),二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图，、4(3) G(s)s(s 2)系统开环

6、传递函数的时间常数表达式为幅相频率特性1)系统为I型系统，A(0) =8,(0)= 90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定:将频率特性表达式分母有理化为G(j )j (j0.51)1j2(1 j0.5 )(1 j0.5 )(1 j0.5 )2j2(1 0.25 2)21 0.25 2j(1 0.25 2)则低频渐近线为-1x lim ReG(j ) lim R( ) lim z1000 1 0.25 2同时可知，频率特性实部与虚部均0,故曲线只在第三象限。2) n-n=2,则()=-180 ,幅相特性沿负实轴进入坐标原点。3)此系统无开环零点，因此在 由0增大到 过程中

7、，特性的相位单调连续减小，从- 90o连续变化到-180 。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统的幅相频率特性Gj)见图(a)。(a)幅相频率特性图题(3)系统频率特性对数频率特性1)可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节，转折频率为t =2 rad s-。低频段斜率为20dB/dec,低频段表达式为L()=20lg2 20lg co,并通过点 L(2)= 0dB 。经过转折频率 t后斜率为40dB/dec。2)系统的相频特性为积分环节(90。)与惯性环节(0o90o )相频特性的叠加，为()90 arctan 0.5转折频率处相位为(2)=

8、- 135 ,对数相频特性曲线对应于该点斜对称。绘制开环伯德图L()、()，如图(b)所示。(4) G(s)(s 1)(s 2)系统开环传递函数的时间常数表达式为G(s)(s 1)(0.5s 1)幅相频率特性1)系统为0型系统，A(0) =2,(0)=0o ,开环奈氏曲线起点为(2 , j0)点；n- n=2,则(尸一180随 的增加，A()逐渐单调连续减小至0,而()滞后逐渐增加至180。，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。2)将频率特性表达式分母有理化为G(j )2(j1)(1 j0.5 )2(1 0.5 2)2Z 2(1)(1 0.25)2(1 j )(1 j0.5 )(1j (12)(1

9、0.25 2)32Z2-)(1 0.25 )频率特性虚部均0,故曲线在第三、第四象限。3)相位有 ()=-90 ，因此与虚轴的交点为此系统无开环零点，因此在ReG(j )-2rad由0增大到2(10.5 2)2_2(1)(1 0.25 )/s, ImG(j )0.94过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，Gj )见图(a)。对数频率特性(a)幅相频率特性(b)对数频率特性图题(4)系统频率特性1)可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为i =1 rad s t、 2 =2 rad - s 系统为0型，低频段斜率为 0dB/dec ,低频段表达式为 L()=20lg2=6dB。经过转折频率八

10、 2后斜率分别为20、 40dB/dec。2)系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为() arctan arctan 0.5两个转折频率处相位分别为(1)= -72 ,(2)= 109绘制开环伯德图L()、(),如图(b)所示。(5) G(s)s 0.2s(s 0.02)10(5s 1)s(50s 1)系统开环传递函数的时间常数表达式为0.2(5s 1)G(s) 0.02s(50s 1)幅相频率特性1)系统为I型系统，A(0) =8,(0)= 90o，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如j j10(250 2 1)1 2500 2(1 2500 2)下确定:G(j )j10

11、(j51)(1 j50)j (j501)(1 j50 )(1 j50 )(a)幅相频率特性(b)对数频率特性图题(5)系统频率特性450450低频渐近线为x lim ReG（ j ） lim R（ ）lim 200 0 1 2500 2同时可知，频率特性实部、虚部均 m高频渐近线斜率为一20（n-nj） dB/dec的斜线，（）|O因此，本开环系统相频特性有,(0)=0 ,(8)= -270 。最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L()的斜率减小(或增大)，则()的相位也相应地减小(或增大)；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L()的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也

12、几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处(如转折频率)的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关 转折频率处特性曲线出现凹凸。图题系统开环对数相频特性转折频率处相位为：(1)= 一 ,(10)= 131 ,(300)= - 223本系统近似的对数相频特性见图(a)。解：(b)1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数 K低频段的余率为20dB/dec,该系统为I型系统，v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0，代入低频渐近线的表达式 L( )=20lg K- 20lg,可以求出 K=100。2)确定串联的

13、各典型环节_ 1,一111 100第一个转折频率1=1rad - s 1,且斜率减小 20dB/dec,有一个惯性环节 一s第二个转折频率2=100rad - s 1,且斜率减小20dB/dec ,有一个惯性环节3)综上所述，该系统的开环传递函数为Gk(s)一 s(s10011)( s 1)1004)绘出近似的对数相频特性与题(a)的分析相同，本开环系统相频特性满足,(0)= -90 ,(oo)=-270 o转折频率处相位为：(1)= 135 ,(10)= 180 ,(100)= -225 o系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图(b)。解：(c)1

14、)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数 K低频段的斜率为0dB/dec,该系统为0型系统。由201g K 20 ,求出K=10o2)确定串联的各典型环节第一个转折频率i=5rad - s 1,且斜率减小40dB/dec ,有一个二阶振荡环节，其时间常数为 TOC o 1-5 h z _11,- 11Ti , 由 10.2,止匕振汤环卫为 一2155s 2s25 25第二个转折频率1=80rad s 一二且斜率增加 40dB/dec ,所以有一个二阶微分环节，其时间常数为11,1八八，八， ssT2由2 0.1 ，此二阶微分为1。280106400 4003)综上所述，该系统的开环传递

15、函数为Gk(s)4)绘出近似的对数相频特性10(系s2击-1s2 2s 125251)同上，本开环系统相频特性满足，(0)=0 ,(8)= 0。，转折频率处相位为(5)=(80)= 91系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图(c)。(c(d图题系统开环对数相频特性解：(d)1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数 K由于低频段的斜率为+20dB/dec,该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L( )=20lg K+20lg,将点L(10)=0代入，可求出 K=o2)确定串联的各典型环节转折频率 =100rad s 一1且斜率减小20

16、dB/dec ,有一个惯性环节s100Gk(s)0.1s1003)综上所述，该系统的开环传递函数为4)绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足,(0)= 90，() = 0O系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为(100)=45 。本系统近似的对数相频特性见图(d)。系统开环传递函数如下，求系统的相角裕量，并判断闭环稳定性。(1)Gk(s)10Z 2s(s s 1)(0.25s0.4s 1) Gk(s)100s(s 1)(10s 1)解：(1)可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节，二阶振荡环节的参数为 :T 1, n T 1,0.5s s 11 2: T 0.5, n T 2,

17、0.40.25s0.4s 1因此，转折频率分别为1=1rad s1、2=2 rad - s 绘制开环伯德图如图所示。低频段斜率为20dB/dec,并通过点L(1)=20dB。经过转折频率1后斜率为60dB/dec ,经过转折频率 2后最终斜率为100dB/dec。并有L(2)= L(1) 60lg2=2dB开环传递函数中两个振荡环节的阻尼比分别为t；1=,乙2=。由教材表可知，对数幅频特性的修正值分别为0dB和2dB,误差很小，可不必修正，对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取，也可根据渐近线求取，方法如下：L( c)L(2)100, L

18、( c) 0lg c lg 2求得系统的幅值穿越频率c= rad 5T,代入系统的相频特性有GK(j )10j (12 j )(1 0.25 2 j0.4 )90arctan - 1arctan 41 0.25180( c)1680直接求解三角函数()180 ,可以求出系统的相角穿越频率g,但计算十分复杂。实际上 g也可以从半对数坐标系上读取，有g= rad s t。将g代入低频渐近线表达式，可求得L( g)=20 20lg g =,系统的幅值裕量为Lh= L( g)= 一 0因此，闭环系统不稳定。1= rad - s 1、2=1 rad - s 1。解：(2)可知系统包含有放大、积分、两个惯

19、性环节，转折频率分别为绘制开环伯德图如图所示。低频段斜率为-20dB/dec ,并通过点 L=20lg K =60dB。经过转折频率1后斜率为40dB/dec,经过转折频率2后最终斜率为60dB/dec。可以求得 L(1)= L 40lg1/=20dB ,并有L()60, ig c igiL( c)0一) .-1一 系统的幅值穿越频率c= rad - S，代入系统的相频特性有()90 arctan arctan10180( c)61.80相角穿越频率g= (rad/s )。将系统的幅值裕量为g代入中频渐近线表达式，可求得L( g)= L -40lg g /=40dBLh=-L( g)= 40d

20、B0因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。(2)当K=10时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a),开环传递系数增加10倍，L()曲线上升20dB,相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率c= rad - s 1,也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有180( c) 0系统的幅值裕量为Lh=- L( g)= L( c)=0dB因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。(3)分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L()曲线上升，导致幅值穿越频率c右移，从而使得

21、相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。某延迟系统的开环传递函数为Gk(s)ses(s 1)试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间解：max。一一一 ,、一1 绘制最小相位系统 一1一的对数幅频特性，如图所不，系统的幅值穿越频率c=1 rad - ss(s 1)延迟环节e s不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随3增加而滞后无限增加，延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利。考虑到延迟环节e s的滞后作用，系统在c=1 rad - s 1处的相位裕量为180(c) 180 90 arctan1803.1445 57.3当系统临界稳定时，有4557.30因此，系统稳定时所允许的最大延迟时

22、间max为max0.79s注：在MATLABK 可建立滞后系统的数学模型sys ,并直接利用bode(sys)和nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：sys=tf(num,den,inputdelay,a)其中，num定义为系统连续部分的分子多项式，den为系统连续部分的分母多项式，a定义为延迟环节e as的滞后时间。也可建立系统的零极点模型:sys=zpk(z,p,k, inputdelay ,a)z 、p、k分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。某系统结构如图所示，试按照开环频域指标丫和c之值估算闭环系统的时域指标b%口 tso图题图系统开环传递函数为C

23、小 40(s 1)Gk (s)s(0.05s 1)(8s 1)绘制开环伯德图如图所示。低频段斜率为20dB/dec ,并通过点 L=52dB。经过转折频率 产rad - s 1后斜率为40dB/dec ,经过转折频率 2=1rad s T后斜率为20dB/dec ,经过转折频率 3=20rad s T后斜 率为40dB/dec。并有L()20, L( c) 0lg c lg1可求得系统的幅值穿越频率c=4 rad s T ,代入系统的相频特性有()arctan 90 arctan8 arctan 0.05180( c) 66.40高阶系统的开环频域指标(丫、c)与时域指标(b%, ts)之间的

24、对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。1 )高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算：“1”%0.16 0.4 1100% 19.8%sin2)高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算2 HYPERLINK l bookmark292 o Current Document 11ts 2 1.5 12.5 11.7scsinsinc5%以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过MATLA昉真可得，此系统准确的动态性能指标为：% 12%, ts 1.53s5%。可见，利用开环频域指标丫和c估算闭环高阶系统的时域指标 b%Dts,是完全满足工程实

25、际的。已知单位负反馈系统的开环传递函数,试绘制系统的闭环频率特性， 计算系统的谐振频率及谐振峰值,并估算闭环系统的时域指标b方口 tso(1) G(s)16s(s 2)性。 G(s)60(0.5s 1)s(5s 1)解：(1) G(s)16s(s 2)方法一：可以先画出开环对数频率特性L()及()，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。1)系统的闭环传递函数为16s(s 2)161 s(s 2)T 0.25, n162s2 2s 164,1s21s 116 80.25根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图(1

26、)。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果在范围内，误差不大；而当很小时，要有一个尖峰纠正。对于w=,查教材表修正表，可得转折频率T=4rad - s 1处最大误差为6dBo在转折频率附近的修正曲线见图虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且越小，谐振峰值M越大，谐振角频率 3 r越接近于转折频率 T (无阻尼自然振荡频率n)。已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值M(r)与系统特征量之间的关系为n 1 2 2 3.74rad /sM2.0720lg M6dB2)闭环系统的时域指标 (1方口 ts计算如下二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据% e

27、 1100%或由教材图二阶系统 6。% M、丫与的关系曲线，可直接查得% 44%图题控制系统的开环伯德图刖 /、60(0.5s 1)解：(2) G(s) s(5s 1)同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。系统的闭环传递函数为0.5s 10.083s2 0.517s 160(0.5s 1)s(5s 1)1 60(0.5 s 1)s(5s 1)60(0.5s 1)25 s2 31s 60一阶微分环节的转折频率i=2rad - s二阶振荡环节的参数为TnJ0.0830.29s20dB/dec。1T T 0.51713.45rad s0.89根据伯德图的绘制规律，求出

28、系统的闭环频率特性，如图 （2）所示。对于振荡环节，由于=,系统不产生谐振，并在转折频率2= s T处有约-5dB的修正量。由教材图，当=时，系统过渡时间约为ts 4T 1.16s5%= ,系统无振荡。但系统有闭环零点一z= - 2,而闭环零点的作用将使系统响应加快，并有超调，且闭环零点离闭环极点越近，影响就越大。本系统的闭环极点为S1,2=,因此闭环零点对系统响应的影响较大。通过MATLAB!,系统的单位阶跃响应的动态性能指标为：（r%=14% ts=o某单位负反馈的二阶I型系统，其最大超调量为峰值时间为。试求其开环传递函数，并求出闭环谐振峰值 M和谐振频率 ro解二阶系统的开环传递函数为2

29、Gk（s）s s 2 n对于二阶系统，开环频域指标与时域指标之间有着准确的数学关系。1）二阶系统丫与系统平稳性之间的关系系统超调量（7%和系统阻尼比之间的关系为% e 1 2 100%开环频域指标相位裕量丫与阻尼比之间的对应关系为,2丫 = arctan.2 2.4 4 1将已知的最大超调量 代入，可求得0.552也可由教材图直接查曲线求得。2）二阶系统 c、丫与系统快速性之间的关系在时域分析中，已知二阶系统峰值时间t s为tp0.1146s(误差A = 5%)因此，有3.14n31.6二阶系统的开环传递函数为3）谐振峰值M（ r）与之间的关系已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值Gk (s)100

30、0s s 31.6M与系统特征量之间的关系为n 1 2 2 22.3rad s 11Mr 1.15r 2 .12MATLA改验指导某系统开环传递函数为Gk(s)100(s 4)s(s 0.5)( s 50)2试绘制出系统的 Bode图与nyquist图，并判断闭环系统的稳定性。求分母（多项式相乘）建立开环系统传递函数模型定义频率范围求开环伯德图解：MATLA朗序如下num=100 400;den=conv(conv(conv(1 0,1 ),1 50),1 50) %sys=tf(num,den);%w=:10;%mag,phase,w=bode(sys);gm,pm,wcp,wcg=marg

31、in(sys);figure(1)margin(sys)figure(2)nyquist(sys)求系统的开环频域指标将系统开环伯德图绘制在第一张图片在图片上标注所求的开环频域指标建立第二张图片在第二张图片上绘制开环奈氏图所求得的系统Bode图与Nyquist图见图。-27010-210-110010 1Frequency (rad/sec)Bode DiagramGm = 66.6 dB (at 46.4 rad/sec) , P m = 64.1 deg (at 0.28 rad/sec)23-101010-1-0.8-0.6-0.4-0.2Real Axis00.20.4Nyquist

32、Diagram(a)开环Bode图(b)开环Nyquist图图 实验系统Bode图与Nyquist图开环系统为最小相位系统，并由开环奈氏图可得:v1,P 0,N0,z2NP故闭环系统稳定。设控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性O解：MATLAB序如下num=100*conv(1 5,1 5);den=conv(1 1,1 -1 9);Gk(s)sys=tf(num,den);2100(s 5)2(s 1)(s s 9)求分子(多项式相乘)求分母(多项式相乘)nyquist(sys)所求得的系统Bode图与Nyquist图见图。400PVA wtfrapaxa ml-400工

33、I .JI1-Lr -1I1 1 rt- irr-150-100-50050100150200250Real AxisNyquist Diagram300200100-wo皿o300图头验系统开环Nyquist图开环系统为非最小相位系统，并由开环奈氏图可得：v 0, P 2, N 1, z 2N P 0故闭环系统稳定。单位负反馈系统开环传递函数为Gk(s)5(s 2)s(s 1)(0.05s 1)(1)试绘制系统开环对数频率特性，并求取相关频域指标 3 c、3 g、丫、L；(2)求取闭环系统的单位阶跃响应曲线。解：MATLAB序如下num=5 10;den=conv(conv(1 0,1 1), 1);%求