江苏省镇江市高一下学期期中数学试题(解析版)

1、2018-2019 学年江苏省镇江市高一下学期期中数学试题、单选题1. 在平行四边形uurA AC【答案】 Auur uuLr 心.ABCD 中，AB AD等于（ uurB-CAuuurC BDuuuD. DB【解析】根据平面向量的平行四边形法则求解即可uur uuu uuir因为ABCDJ平仃四边形，故ab AD AC .故选： A【点睛】 TOC o 1-5 h z 本题主要考查了向量的平行四边形法则 . 属于基础题. 复数 z 3 2i （ i 是虚数单位）的虚部是（ ）A. 2iB. 2iC. -2D. 3【答案】 C【解析】根据虚部的定义直接判定即可.【详解】根据虚部的概念可知复数z

2、 3 2i 的虚部是 2 .故选： C【点睛】 TOC o 1-5 h z 本题主要考查了虚部的概念，属于基础题.在 ABC 中， AC 3, AB 1, A 120 , 则 BC 的长度为（ ）A. ,7B. ,10C. ,13D. 4【答案】 C【解析】根据余弦定理求解即可.【详解】根据余弦定理有BC2 AC2 AB2 2AC AB cos A 9 12 3-13.2故选： C本题主要考查了余弦定理的运用，属于基础题4 . 下列四个命题中，错误的是（A. 若 a b,cd, 贝 Ua c b d;B. 若 ab 0, cd 0, 则ac bd;C.若a b，则 % a诬;D.若 a b，贝

3、U a【解析】根据不等式的性质逐个判定或举反例即可【详解】对A,因为ab,cd,故c d ,故acbd成立.故A正确.对B,因为a b 0 , c d 0 ,故c d 0 , 故 ac bd , 故 ac bd 成立 . 故 B 正确 .对 C, 因为 y 沃 为增函数，故若a b,则指汴成立.故C正确.对D,举出反例，当a 1,b2 时满足 a b ,b 不成立 . 故 D 错误 .故选： D本题主要考查了不等式的性质, 属于基础题5. 已知的最小值是（A. 1B.C.D. 5配凑出基本不等式求解即可1,故x 1 0，故 x 4x 11 2. x1 x 411 3.当且仅当3.故选： B本题

4、主要考查了基本不等式的运用, 属于基础题 .uuu6. 已知向量 ABuur2,0 , ACi,J3 , 则向量uuu. uurBC 与 AC的夹角为（A. 一6B. 一3【解析】根据向量的夹角公式求解即可【详解】uuir uuur因为BC uuu3, 73uuu j uur 工、.故向重BC与AC的夹角满足cosuur uurACBC AC,9 3 J 3故选:本题主要考查了利用向量坐标求解向量夹角的问题,属于基础题.-27.不等式x6的解集为（A. RB. 2,3C.3,2D. 1,6根据绝对值的几何意义求解即可6 x22.3故选:本题主要考查了绝对值不等式与二次不等式的求解.属于基础题A

5、 相距 120km ,8.如图，有四座城市 A B、C D,其中B在A的正东方向，且与D在A的北偏东30o方向，且与 A相距60kn C在B的北偏东30。方向，且与B相距C飞行，飞行了15min ,60而km , 一架飞机从城市 D出发以360km/ h的速度向城市接到命令改变航向，飞向城市B ,此时飞机距离城市B有（ABA. 120kmB. 60.6kmC. 60、5kmD. 60.3km【解析】 先判断三角形DAB为直角三角形，求出 BD然后推出 CBD?直角，可得CD,进一步可得cos BDF ,最后在三角形ED并用余弦定理可得 BF .【详解】取AB的中点E，连DE设飞机飞行了 15分

6、钟到达F点，连BE如图所示：则BF即 为所求.因为E为AB的中点，且AB 120kmi所以AE 60km又DAE 60,AD 60km所以三角形DAa等边三角形，所以DE 60km ADE 6。，在等腰三角形EDEfr, DEB 120 ,所以EDB EBD 30 ,所以 ADB 90 ,由勾股定理得 BD A甘AD21202 60210800BD 60、，3km90 ,CBE 90 30 120 , EBD 30 ,所以 CBDCDBD BC 10800 60 2 13 240BD 60 3.3所以c s BDCCD 240因为 DF 360 90km, 4所以在三角形BDF中,BP BD2

7、 DF2 2 BDgDF c s BDF (60 3) 2 902 2609010800,所以 BF 60 J3 km故一架飞机从城市 D出发以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了 15min ,接到命令改变航向，飞向城市 B,此时飞机距离城市 B有60j3km.故选 D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形 ，属于中档题 .、填空题9. 已知 A 6,2 , B2，4 ， 若 AC CB， 则点 C 的坐标为2, 1设 C x,y 再根据 uur uuuAC CB计算即可.设 C x, yuuurACuurx 6,y 22 x, 4 yCBC 2, 1故答案为： 2, 1本题主要考

8、查了利用向量求解点的坐标 ，属于基础题. 命题“ x R, x 3 2 0” 的否定是【答案】 x R,x 3 2 0【解析】根据特称命题的否定为全称命题写出即可.【详解】命题“ x R , x3 2 0 ” 的否定是“ x R, x 3 2 0故答案为： x R,x 3 2 0【点睛】本题主要考查了特称命题的否定 ，属于基础题. 已知复数 3m 2 m 1 i （ i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限, 则实数m的取值范围是.【答案】 2,13【解析】 根据复数的几何意义以及对应的点的坐标列式求解即可2 m 1 i 在复平面内对应的点位于第四象限因为复数 3m2故答案为： 2,13

9、本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题12. 在 ABC 中， A12, 则a+b+c _ sinA+sin B +sin C8x3 【解析】根据正弦定理求解即可【详解】设ABC7卜接圆半径为R则根据正弦定理有a +b+c2R( sin A+sin B+sinC )sin A+sin B + sinC ( ) =2Rsin A+sin B + sinCa 122= =12? 一 8 3sinA33故答案为 ： 8,3【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用 ，属于基础题.r13. 与向量 a 6,8 方向相同的单位向量的坐标是3 4 【答案】 3, 45 5 r【解析】先求解向量a 6,8 的模

10、长，再根据同向单位向量的公式求解即可因为 a J62 8 2 10 , 故与向量 a 6,8 方向相同的单位向量坐标是r a 3 4十 一，一 .a 5 5【详解】.3 4故答案为：3,25 5【点睛】本题主要考查了同向单位向量的求解，属于基础题.214 .已知f X x tx 9,若对任意x 1,5 ,不等式f X 。恒成立，则实数t的最大值为.【答案】6 TOC o 1-5 h z 99一【解析】参变分离可得t x 一,再根据基本不等式求 x 一在区间x 1,5上的最小xx值即可.【详解】29因为f x 0恒成立，即x tx 9 0 t x-,又x 1,5 ,故x9 I9x - 2. x

11、- 6X V X、，一一，.9.当且仅当x 一,即x 3时等号成立.故t 6 ,所以实数t的最大值为6. x故答案为：6【点睛】本题主要考查了函数恒成立中求解参数最值的问题,需要参变分离用基本不等式求解属于基础题.r1r广r.已知向量a ,湎足a,bJ3,1 Mb【解析】将娓两边平方,再求 r r .一，、1的平万，消去a b的项再代入1即可.r因为a一,r2所以a +2 a回所以a2r2a2),32 +r2r b 3, 1b6，又ar 2+有2a222b 10r2 b1 4,故 b 2 .【点睛】本题主要考查了平面向量数量积与模长的计算等.在遇到有和差等的模长时，经常平方模长进行运算，属于基

12、础题.已知向量a表示“向正东方向走10米”，向量b表示“向东偏南45方向走5米”， rr rr向量c表示向正北方向走 20米，用向量a , b表示向量c . r -r【答案】2a 4.2 b【解析】画图根据向量的运算法则求解即可.【详解】如图，过C的终点A作a的平行线AB交b的反向延长线OB于B,易得OAB?直角二角形.且0A ABr unr uuu20, OB2072 .故 c OB BAr l 皿 uur r l rl /c -uur r又 b 5,故 084x/2b, a 10,故 8 人 2a.r uuu uur r故 c OB BA 2a故答案为：2a 4.2b本题主要考查了平面向量

13、的线性运算方法，需要画图利用几何知识构造三角形进行求解属于基础题三、解答题17 .已知复数z满足1 2i z 4 3i （i是虚数单位）求：（1） z ;【解析】(1)易得z4 3i,再利用复数的除法运算即可(2)由(1)分别求得z2,Z再计算z2 Z求模长即可.由题Z4 3i 4 3i 1 2i1 2i 1 2i 12i10 5i由z 2 i ,故z2 z1 2i125 2.26.1 5i ,故,26本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题B 4,1 ,点C在直线x 1上.18.如图，在直角坐标系 xOy中， A 1,4(1)求向量AB的坐标;C点的坐标；C点和D点的坐标.若A

14、, B , C 三点共线，求(3)若四边形ABCDS矩形，求【答案】(1)3, 3 ; (2) C 1,6C 1,4 , D 4, 1【解析】(1)根据向量坐标的计算求解即可(2)设C 1,C再根据三点共线列式求解即可(3)根据四边形 ABCO矩形可知ABBC即可求得C再设D x,y根据uuii uuurBA CD求解即可.41 ,1 43, 3uuu因为A 1,4 , B 4,1 ,故ABuur uuur设C 1,c ，因为A B, C三点共线，故AB AC, R,即3, 32,c 432, 故 C 1,6c 61,c,因为四边形ABCD矩形，故ABuurBC, 即3, 3 5,c 10,解

15、得 c 4 , 故 C 1, 4设 D x, y , 则因为 BA uuD ,所以 3,3x 1,y 4 ，解得 x 4, y 1 . 故D 4, 1所以 C 1, 4 , D 4, 1本题主要考查了向量的坐标运算 ，属于基础题19. (1) 已知 x, y R , 证明： 2 x4 y4(2) 已知正实数 x , y 满足 x y【答案】 (1) 证明见解析； (2)198, 口的最小值y利用作差法证明即可化简x-2 y 8利用x yx y1 构造基本不等式证明即可2证明：因为2 x4 y 42 2故 2 x4 y42442 2 22x y x y 2x y x y 0因为 x y 1, 所

16、以 x2y 8xx y118x2y 8x1 2 J19, 当且仅当 一. x yx y12y 2x,x -, y 一时等号成立. HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 33故 x 2 或 8 的最小值为 19.【点睛】1的变换”方法.属于中档本题主要考查了利用作差法证明不等式以及基本不等式中题.20.在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD5, AC 5 J3(1)若ACD 30,求AD的长;(2)若BCA 120，且ABC勺面积是曳3,求ACD勺大小；4(3)若 CD BC , BD 2AD,求 AB 的长.【答案】(1) AD 5 ； (2

17、) ACD 90 或 30。； (3) AB 15【解析】(1)在ADC中利用余弦定理求解即可.(2)根据ABC的面积是75叵即可求得BC50 ,可得ABC为等腰三角形，故4CD BC可知52x,x即可.A 30，再在AD8利用正弦定理求解ADC,再求ACE可.设BD 2AD 2x再根据一 5 一cos CDB , cos CDA 2x再在ADC利用余弦定理求解(1)在 ADC 中，AD CACD 2cA CDaCD 2CA CD cos275 25 50 .3 -3即 AD2 25,解得 AD 5 .ABC勺面积是应3,(2)因为，4一 175,3故一 AC BC sin BCA24又 AC

18、 BC 5 囱，BCA 120 .故 ABC180 詈 3075 , 3 ,解得BC53.在 ADC有一 AC sin cd .AC sin CADsin CAD又 ADC 0,180,故 ADC 60 或 ADC 120ADC 60 时，ACD 18030 60ADC 120 时， ACD 1803012030ACD 90 或 ACD 30 .设 BD 2AD 2x,因为 CDBC 故 cos5CDB,所以cos CDA2x在AD8有AC2aDCD2DA CDcos ADC,_2即 75 x 25 10 x52x2X 25,即 X 5.故 AB= 3x= 15本题主要考查了正余弦定理在解三角

19、形中的运用 公式进行求解.属于中档题.,需要根据题意分析边角关系，进而利 用ABCm, AB与 DC不平彳 T, E,F分别是边AD , BC21 .如图，在平面四边形 的中点.（1）已知uu ir EFuuirDCuuuAB ,求实数的值;已知 AB 4, CDuuir uuir6 , EF DC 24,求线段EF的长度.【答案】（1）12,2；19【解析】（1）根据E , F分别是边AD , BC的中点有ED uuruur卜两个四边形的向量关系表达 EFr相加即可uur heiFB再用上uur 1 um 1 uuu 11r(2)由(1)有 EF -DC AB,再将 EFuuiruur uu

20、rDC 24利用DC, AB表达，进而得出22uur uiruuir1 uuir 1 uiuuuirAB DC 12,再平万 即可.EF-DC = AB代入uurDC 12 与 ABAB4, CD 6求解【详解】(1)因为E, F分别是边ADBC的中点,故EDuuruurEA FCuurFBuur又EFuur uur uuuuurED DC CF EFuuu uuuEA ABuuuBF-,uur+可得2EFuuir uuu uuir DC AB 故EF1 uuir 1-DCuurAB .故uur(2)由(1)有 EF1 iur -DC 2uuu12AB故uUUirUUU r1 uurEF DC

21、 24 有 2dcuur UUTDC 24,1 UUT 故,DC2uuuur 2 iuruur又EFuur1 AB1DCirir24irnr48,又CDuur uuir6,故 AB DC 12uuu-uur-AB,故 EF1 UJITDC4uuu2 AB1 UJIT2 一 DC 4uur uur2DC ABuuur2uuur2即EF-3642 12 16 =19 ,故EF长为J19 .【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算 用，属于中档题.,包括基底向量的用法以及向量数量积与模长的综合运22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC其中余位1 BC的长度为400米为迎接“五一”观光游，欲在边界 BC上选择一点P ,修建观赏小径PM , PN，其中M ,N分别在边界 AB, AC上，小径PM , PN与边界BC的夹角都为60 .区域PMB 和区域PN8种植郁金香，区域 AMPNJ种植月季花.(1)探究：观赏小径 PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径PM,PN,MM勺长度和最小？（3）求郁金香区域面积和的最小值【答案】（1） PMI与PN的长度之和为定值400 73 1 ;（2）当P点MNM中点位置时，三条小径PM,PN,MN勺长度和最小为600 33 1 ; 20000 3 .3【解析】（