江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末调研数学(理科)试题

1、南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高二数学（理科）一、填空题。请把答案填写在答题卡相应位置上.已知命题,写出命题p的否定：_.【答案】北J。，卜K【解析】【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题.【详解】解：二“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题 p ： ? x0, ex ex,的否定是：？x0, exvex.故答案为：弟爪卜/【点睛】本小题主要考查命题的否定.属于基础题.命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命

2、题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.本小题主要考查命题的否定.属于基础题.命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.在平面直角坐标系 出可中，抛物线 卜=2k的准线方程为_.1【答案】x-【解析】【分析】利用抛物线方程求出 p,即可得到结果.【详解】解：抛物线 y2 = 2x的焦点到其准线的距离为：p = 1 .抛物线的准线方程为：x -11故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算

3、能力.3.已知13=nx,则的值为 .【答案】1【解析】因为耳）等inx + cosx）,所以卜（。）=1点睛：（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点 P处的切线”的差异，过点 P的切线中，点P不一定是切点，点 P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点 P为切点.（2）利用导数的几何意义解题， 主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数 联系起来求解.4.已知复数/满足 值一年=|+| （为虚数单位），则/的实部为_.【答案】3【解析】【分析】利用复数的除法运算法则得到

4、z,结合实部定义得到答案.l+l-1+1【详解】解：由（z2）i = 1+i得，z ,卜2-+ 2 - 3 - i,产-1所以复数的实部为：3.故答案为：3 .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题.*.在平面直角坐标系.xOv中，是椭圆匕：2+/ = 1上一点.若点F到椭圆d的右焦点的距离为 2,则它 4到椭圆C的右准线的距离为_.【答案】【解析】【分析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可.【详解】椭圆C：y2=1 ,可得e = ,由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d,故答案为：口.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二

5、定义，考查转化思想以及计算能力.已知实数W【答案】1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标 代入目标函数得答案. TOC o 1-5 h z / y 0”与的关系【详解】解：由椭圆的性质有： “方程x2+my2 = 1表示椭圆”的充要条件为：,又“m 0”是“的必要不充分条件，r nri 干 所以，“m0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题.I 2.在平面直角坐标系xCK中，双曲线工炉- |的顶点到它的渐近线的距离为 一. 4【答案】5【解

6、析】【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】解：双曲线 ,y2=i的一个顶点为 A (2, 0), 4双曲线的一条渐近线为 y-x,即x-2y = 0,则点到直线的距离公式 d- 工,一心45故答案为：当.【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础.在平面直角坐标系xOy中，点46,点802,平面内点F满足而-，则P0的最大值是 .【答案】好【解析】【分析】设P (x, y),由p?pB15 ,得点P的轨迹是以C (2,1)为圆心，2垂为半径的圆，得 PO的最大值为| OC|+半径.【详解】解：设 P (x, y),则/(4 x, y),

7、( x, 2 y)PA?PB .15,x(x-4) +y(y-2) =15,即(x-2) 2+ (y-1) 2 = 20,.点P的轨迹是以C (2, 1)为圆心，2%父为半径的圆， PO的最大值为：| OC|+半径=3；故答案为：3技【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题.10.在平面直角坐标系x6中，点，卜分别是椭圆一匕=1的左、右焦点，过点口且与x轴a2 b2垂直的直线与椭圆交于 A, B两点.若乙AFW为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是 【答案】【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 由题设知 Fi

8、 ( - c, 0), F2 (c, 0), A ( - c)，B ( - c, .2),由APR是锐角三角形，知 tan aaZAFi F2VI ,所以；1 ,由此能求出椭圆的离心率 e的取值范围.一b0)的左、右焦点，F b2过Fi且垂直于x轴的直线与椭圆交于 A、B两点，十k* .Fi (-c 0), F2(c 0), A(c), B (c -),aa是锐角三角形， ./AFi F2V45, tan ZAFi F2VI ,整理，得b20,解得e)Ei ,或e 7i ,(舍)，0 v ev i ,，椭圆的离心率 e的取值范围是(i , i).故答案为：(5-i, D.【点睛】本题考查椭圆的

9、离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.在平面直角坐标系X。)中，圆I与圆/一-2x7 =。有公共点，则实数曲的取值范围是.【答案】【解析】【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得 2 - 1 w | C1C2I 2+1 , 即1w (a-1) 2+ (a+2) 2W9,解可得a的取值范围，即可得答案.【详解】解：根据题意，圆 Ci： (x-a) 2+ (y-a-2) 2=1,其圆心Ci为(a, a+2),半径为ri = 1,圆 C2： x2+y2 - 2x- 3 = 0,即(x-1) 2+y2=4,其圆心 C2 (1, 0),半径2

10、=2,若两圆有公共点，则 2 - 1 | C1C2I 2+1 ,即 1w (a-1) 2+ (a+2) 20 且 a2+a-20,解可得：-2waw1,即a的取值范围为-2,1；故答案为：-2,1.【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系.(2)切线法：根据公切线条数确定.如图，在正四棱锥P-ABCD中,PA-AB,点M为M的中点，曲一此时.若,AD|,则实数小【答案】4【解析】【分析】连结AC,交BD于O,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出实数入.【详解】解：连结 AC,交BD于O,以O为原点，OA

11、为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空 间直角坐标系，设 PA=AB = 2,贝U A 0, 0), D (0,芯,0), P (0, 0,应)，M (1，0g), B (0, 收，0),BD-(0， 2 巨 0),设 N (0, b, 0),则(0, b-志，0),|bd- %n， 一 2色地-理:，b_版,3,二NO包产0),1当毕，与2 y Y，0),4MNSD，琳.4.1.丁 s得实数入=4 .故答案为：4 .【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.在平面直角坐标系X。)中，圆+,点a(3.)|, P为抛物线二2x上任意一点(

12、异于原 点)，过点P作圆A1的切线PB|, B为切点，则|PA+PU的最小值是 .【答案】3【解析】【分析】设P (x, y),可得y2 = 2x,求得圆M的圆心和半径，求得切线长 | PB| ,化简可得| PB|为P到y 轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.【详解】解：设P (x, y),可得y2 = 2x,圆 M： (x 1 ) 2+y2=1 的圆心 M (1 , 0),半径为 1 ,| PB| = 4PMiL =4k-I 十/_ X = | x| ,即| PB|为P至ij y轴的距离,1抛物线的焦点F (-,0),准线方程为可得 | PA|+| PB|

13、 =| PA|+| PK| - - | PA|+| PF| .1, 22过A作准线的垂线，垂足为 K,可得A, P, K共线时，|PA|+| PK|取得最小值|AK|故答案为：3 .即有| PA|+| PB|的最小值为3.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题.已知函数卜小+领a :,0)只有一个零点，且这个零点为正数，则实数j的取值范围是【答案】【解析】【分析】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围.【详解】解：令 f(x)=3x2 - 3a2= 3 (x a) (x+a)

14、 =0,解得 x1= a, X2=a,其中a0,所以函数的单调性和单调区间如下：x (-巴a), f (x)递增；x (-a, a), f (x)递减；xe (a, +8), f (x)递增.因此，f (x)在x=- a处取得极大值，在 x= a处取得极小值，结合函数图象，要使 f (x)只有一个零点x0,且xo0,只需满足：f (x)极大值=f ( - a) 0 ,即-a3+3a3 6a2+4 a 0 ,整理得 a (a-1) (a-2) AMCD；的底面边长为 g 侧棱长为1,求:(1)直线|AC与直线(AD1所成角的余弦值；(2)平面AC与平面ARRA所成二面角的正弦值.力石事【答案】(

15、1 )匚(2)工152【解析】【分析】(1)以口入，d； DD.为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz,利用向量法能求出直线 AC与直线AD1所成角的余弦值；(2)求出平面D1AC的一个法向量和平面 ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面 D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值.【详解】(1)如图，正四棱柱1ABe的底面边长为曲，侧棱长为1,故以DD&Di5j为正交基底建立空间直角坐标系|D-xyz|.则仄。6, AG区0.。），.1（总。，|c（oa50, d/o,oj）.（1）因为 八;。35。）-（.也01）| 也仁川， 心1=。0卜（内10）-（-60）, 所以耳5疝1?

16、（扬H扬（】八1二1,M；c =声7 u =业疝p点4 0卜13从而cos(ACAf) -A. . g |AjC| lADJ又异面直线所成的角的范围是（。*口,所以直线卜与直线AD1所成角的余弦值为(2) AC-(-v5,.i）l，61 =（-点0中,设平面pjA的一个法向量为n=（x.y,E）,取，1,可得y :,上 黄，即n = （LL）.在正四棱柱ABB-A/iCR中，DA，平面口内, 又DA （也00诲（1,0，所以R -（1。）为平面ABB】的一个法向量.广Id因为。网几nJ -二-= , -,且 Q 0Vd W-Il / + I + 2 - I ?所以因此平面DjAC与平面所成二面

17、角的正弦值为【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.17.在平面直角坐标系X。)中，已知圆C经过抛物线(1)求圆C的方程；(2)经过点帆.25)的直线I与圆C相交于|A, B两点，若圆C在.k B两点处的切线互相垂直，求直线|1的 方程.【答案】(1)十/一x + 5y 6-0 (2) X ，二和4乂4力-7 0.【解析】【分析】(1)方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D, E, F,即可得到所求圆方程； 方法二、由抛物线方程与圆的一

18、般式方程，可令y = 0,可得D,F,再由抛物线与y轴的交点，可得 E,即可得到所求圆方程；兀(2)求圆C的圆心和半径，圆 C在A, B两点处的切线互相垂直，可得/ ACB -,求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程.【详解】(1 )方法一：抛物线6与坐标轴的三个交点坐标为I - 2.0) , (3.0) , (0.设圆C的方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = (,( 4 - 2D + F - 0T fD- -1,则9+ND-F = 0,解得，H 工(J6-6E + F-0, If - -6,所以圆C的方程为k，+ - x +

19、 5y - 6 * U .方法二：设圆C的方程为小+/I DK + Ey + F = U.令卜0,得、工+Dx + F . Q .因为圆C经过抛物线yi-x-6与*轴的交点，所以?+ DxF与方程工、= 0同解，所以D-I, F- -6.因此圆Cx。# Ey0.因为抛物线y -n =6与轴的交点坐标为(0垃, 又所以点也在圆上，所以366E-6-0,解得E-5|.所以圆。的方程为工。-x 4 ” . 6 U .（2）由（1）可得，圆:1 ,5 , 25C：(x-z) + + -)3 -故圆心,半径T =. 湛因为圆。在A, B两点处的切线互相垂直，所以士ACB-一所以C到直线h的距离d五;当直

20、线1的斜率不存在时,1,x -2 ,符合题意;卬5 k(x SPkx-y + (2k5) 0, 当直线I的斜率存在时，设4所以直线l;y-5-仆2 ,即4“3” 7 0.综上，所求直线1的方程为乂 -二和4* 3y = 7 0.方法三：当直线I的斜率存在时，设直线的方程为 3爪4 2）,网必），将直线1的方程代入圆C的方程得:Q + (kx + 2k * 5广 x + 51kx + + 5)- 6 -1,即 U I k%* I (4k2 + 15k )x + (41? + 30k + 44) = 04k- - 30k - 4A,f11 +k*因为圆。在点|A, B两点处的切线互相垂直，所以 C

21、A1CB,所以匕v cis = 0,即巴1+1/ 一(j5 - 7 TOC o 1-5 h z 1 I1515所以-沁-)4-(kx1 + 2k + 彳)(3+ 2k -)-0, 21,113即！1 + kx. + (2k_ +-Xxj 4x,) + 北-。30k40,15 z2,、21 j-lk2+ 15k- l 、113即把f 30k4 44 I (2k-+ - k 1 4 4k I 30k 4一-0,I、 +k; I?（1 %】6k。ROkOI）Fk。ISk-】9”44即 150k+ 200 0,解得 k-所以直线：y-5-即我+ 3-7 u.当直线1的斜率不存在时，1： x- -2,符

22、合题意；综上，所求直线1的方程为X -”和代*3丫 . 70.【点睛】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题.如图，从一个面积为15孔的半圆形铁皮上截取两个高度均为 X的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分 别以|AR,八Fi为母线卷成两个高均为工的圆柱(无底面，连接部分材料损失忽略不计).记这两个圆柱的体积之和为V.(1)将卜表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围;(2)求两个圆柱体积之和 V的最大值.【答案】(1) V fg -E Q等)(2)”【解析】(1)设半圆形铁皮的半径为r,自

23、下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为ri,2,写出y关于x的函数关系，并写出 x的取值范围;(2)利用导数判断 V (x)的单调性，得出 V (x)的最大值.【详解】(1 )设半圆形铁皮的半径为,自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为因为半圆形铁皮的面积为|15兀，所以-in工15,即二 30.所以卷成的两个圆柱的体积之和弋 * f(x) _ (加4 juJ x - T60 x - I.阿所以K的取值范围是。岑).(2)由 l(x)-60 x - 5xi,得 f (x) 60 - 15xt)JI令因为故K 2当XE 川口时，当KE(2.g)时，fgvO ,所以心0在(Oji上为增函数，

24、在(工,&上为减函数，Z-所以当X3时，Rk取得极大值，也是最大值.gd因此R中的最大值为兀答：两个圆柱体积之和 V的最大值为 曾.7t【点睛】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题.如图，在平面直角坐标系 中X中，Fj, R分别为椭圆。士 +乙=1的左、右焦点.动直线1过点门，4 3且与椭圆c相交于，B两点(直线1与Y轴不重合).(i)若点山的坐标为&跖 求点B坐标;(2)点卜K4.S，设直线|AM, Bm的斜率分别为&，J 求证：上卜4一口；(3)求AAFB面积最大时的直线I的方程.【答案】(1)比士-犯)(2)见证明；(3) x s s【解析】【分析

25、】(1)由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；(2)设直线l的方程为x = ty+1 ,与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明ki + k2=0； (3) AFiB的面积S-n| F1F2I ?| yi -y2| = | yi - y2| =4 J力)工打色.把(2)中的根与系数 1 _的关系代入，可得 S-12 21.设函数f (x) =9x+- (x1),利用导数可得f (x)J t +122= 9x +也1 , +8)上单倜递增，得到当 t2+1 =1 ,即t=0时，9 (t2+1 ) * r取最小值10 .由Xf 1 I此可得直线l的方程为x=1.【详

26、解】(1)因为直线I经过点取0巴1对， 所以直线|的方程为V-.瓜-I).(2)因为直线】与三轴不重合，故可设直线I的方程为k 1y+l.x=ty + Ly2得 77/# = Q,4 36t所以力1 y2-4 f?因为闾，B在直线上，所以1 ,1】?y1 A小邑3仇十y J从而弧*3 %* % 的厂 3)(ty3)9&因为怨必-?仇+；)，(。,4 F 3r 4 I 3F所以II七 0.(3)方法-由(2)知,.AAFF，的面积S6t4 + 3L2Vi 1 Y1故t2+l(3t2+ 4)1蜡+1。+6(1? + 1)+1*t +D +万丁 8 设函数附斗弋二 ).x,1I因为凶9-;0,所以刈

27、-舞+在I上单调递增, XK所以当= L即l。时，用.a ,取最小值io.r 1 1即当时，叫声的面积取最大值，此时直线I的方程为k-1.方法二：AAFS的面积s-dyryj = |)| -y2| - 辰-可。工6t9由(2)知，孔+ y-山 、4门广4 1-前1 1 T好+才1 1 ,所以，即LU时，AFiB的面积取最大值.酿十4 4因此，|&AFB的面积取最大值时，直线|的方程为工【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求 函数的最值，考查计算能力，属难题.120.已知函数 f(xL alnx * -,注 E R .X(1)若a 2|,且直线是曲

28、线y Rx)的一条切线，求实数m的值；(2)若不等式出)户】对任意ne(L-恒成立，求口的取值范围；(3)若函数h(x) - 有两个极值点& ,0 ,记g (x) = alnx +1 ,通过讨论a的范围，求出函数的单调区xx间，从而确定a的范围即可；T1(3)法一：求出 h(X2) - h(X1)的解析式，记 m (x) =2 (x 卜)lnx + - - x, x 1,根据函XX数的单调性求出a的范围即可；T法二：由 h (x) = f (x) - x= alnx +-x, x0,以及 h (x)有两个极值点 x1，x2 (x1vx2),得到 Xi + X2 = a,XlX2= 1 ,(t 1),从而 h (X2)- h (Xi)等价于h (t) = (t+ )2Int : _-t三I t 1 ,记m （x） = （x 4 -） lnX + x, x 1 ,根据函