简明微积分教案0201导数的概念

1、教案一一0201课程机电数学课题导数的概念授课对象机电类专业二年制高职生课时2教材简明微积分 主编：李亚杰，高等教育出版社教学 目标认知 目标1、理解导数概念；2、掌握导数的几何意义3、熟练掌握基本初等函数的导数公式。能力 目标1、学会求专业课中涉及质量非均匀分布的金属棒任意点的线密度的 方法。2、会求基本初等函数的导数；3、逐步提高数学思维能力，分析问题和解决问题的能力。素质 目标提高数学文化修养，培养数学思维、数学应用意识教学 重点1.理解导数的概念2、函数求导公式的正确运用；教学 难点导数的概念理解教学 思路通过实例引入和说明导数的概念； 结合图形讲解导数的意义； 利用导数的 概念解决应

2、用问题； 典型例题结合练习巩固和记忆所学求导公式， 从中渗透素 质教育。学习效果 评价方式作业反馈与提问教学过程步骤01教/学活动教师介绍 使学生对 所学略有 认识02教师板书教师举例 师生结合 图形共同 分析解决PPT教学内容导数和微分是微积分学中的关键概念.导数反映了函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率，它使得人们 能够用数学工具描述事物变化的快慢及解决一系列与之相关的 问题，所以在科学、工程技术及经济等各领域有着极其广泛的应 用.而微分则阐明当自变量有微小改变时，函数大体上改变了多 少.本章主要介绍这两个概念及简单的运算问题一、导数的概念引例1非均匀细棒的线密度均匀细棒的

3、线密度有计算公式： -时间(分)对非均匀细棒，如何计算其某一点 x0处的线密度呢?分析：取棒的一端为原点，另一端的坐标为棒长L,棒所在的直线为x轴。对于棒上的任意一点 x , 0,x上的质量是x的函数,记为mm(x)。棒长从x0变化到x0 x一段，棒长x的质量为棒在m(x0 x) m(x0),比值一m xm(x0 x) m(x0)x0,x0 x上的平均密度。显然,越小，用平均密度越能表不在x0处质量密度。令xm lim 一 x 0 xlim。m(x x) m(x0)存在则称为函数 m(x)在m m(x0 x) m(x0)x0处的线密度。即(x)limlim Lx 0 xx 0 x引例2曲线在某

4、一点切线的斜率设M (x, y)是曲线y f(x)上一定点，P(x,y)是M附近一动点，过 MP作一条割线，则一y是割线MP的斜率.当点P沿着曲线越来越趋近于点M0304学生思考师生共同 归纳，教 师总结， 给出导数 定义PPT时，x越来越小，而当x 0时，割线的极限位置就是曲线上 一点M处的切线MT ;而割线斜率的极限就是切线 MT的斜率, 即tan lim y .x 0上面两个问题体现的共同的思想?定义 设函数y f (x)在点X0及其左右近旁有定义，当自 变量在点x0处有增量 x时，函数相应地有增量yf(x0 x) f(x0).如果当 x 0时，比值一y的极限存在，这个极限值就叫做函数y

5、 f(x)在点xxo处的导数，记为y/ |x x0,即、，/ 1y.f (Xox)f(xo)y | x xolimlim x 0 xx 0 x函数y f(x)在点x0处的导数也可记为 f/(x0),或0506学生记忆 书写符号教师指出dydx函数f(x)在点x0处有导数，简称函数f(x)在点x0可导，否则称函数f(x)在点x0不可导.如果函数f (x)在区间(a,b)内 每一点处都可导，那么对于每一个x (a, b),都有一个导数值f/(x)与之对应，所以f/(x)也是x的函数，称其为函数 y f(x)的导函数，通常导函数也称为导数.记为 y1或f/(x),或dy .在自变量明确的情形下，y；

6、也可写作/dxy .07教师启发 学生得出引例1用导数表示为：函数 m(x)在x0处的线密度为质量m(x)在Xo处的导数m/(x0)；引例2用导数表示为：曲线 y f (x)在M处切线的斜率为 函数y f (x)在Xo处的导数f / (x0),这就是导数的几何意义08091011教师介绍 导数的概 念在其他 学科的应 用PPT教师板书启发学生 思考总结 步骤教师讲解 并举例说 明导数的概念广泛地应用于各门学科之中，在科学技术中常常 把导数叫做变化率，函数y f(x)在点x0处的变化率即导数f/(Xo),反映的是函数在点Xo处变化的快慢程度.在实际问题中，变化率的含义要由函数的实际意义来确定.问

7、题1电流强度电流的大小是用单位时间内通过导线横截面的电量的多少 来描述的.若电量Q与时间t之间的关系为 Q Q(t),则在 (t,t t)时间内，导线的平均电流为QQ(t t) Q(t)tt在某日刻t的电流为一、c/一、rQr Q(tt)Q(t)iQ(t)litmotltmot上述导数值越大，说明在 t时刻通过导线横截面的电量越多，此 时导线的电流越大.问题2化学反应速度化学反应速度是用单位时间内生成物浓度变化的多少来描 述的.若某物质的浓度 N与时间t的关系为 N N(t),则在 (t,t t)时间内，浓度的平均变化率为NN(t t) N(t)tt那么，该物质在t时刻的瞬时反应速度为Z/.、

8、1-N N(tt)N(t)N 61tm0tltmot上述导数值越大，说明物质在t时刻的反应速度越快.二、基本初等函数的导数公式根据导数的定义，求函数y f(x)的导数可分为以卜二个步 骤：(1) 求函数的增量：y f(x x) f(x)；(2)算比值：/ f(x x) f(x)； xx(3)取极PM： y lim ylim()( ) .x o xx ox例1求函数y C ( C是常数)的导数.解(1)求函数的增量：因为y C ,即不论x取何值，y的1213学生思考教师PPT展示求导 公式值总是C ,所以 y 0 ；(2)算比值：_y0 ；x(3)取极PM：y/lim ylim 00. 即(C)

9、/0.xx 0 xx 0 例2求函数y 4rx的导数.解(1)求函数的增量：y Jx x xx ；(2)算比值：yJx xJx (Jxx Jx)(Jx xJx)xxx(Jx x八)1V x x xTx /y11(3)取极限：y lim lim .-=.x 0 xx 0Jxx Mx2x 1,得5c 3c/7 2x/5 25厂y(x2) x2xvx.22例4 求卜列函数在给定点处的导数._.1 .y cosx,在 x 一处； (2) y In x,在 x 一处.62解(1 ) y/ (cos x)/ sin x y/sin xx _x _6612/1/1y (Inx)/y/1-12.xzxxz x

10、x2x2.对卜列函数求y的值.x3y x 2 ,当 x 2, x 0.1 时；1(2) y ,当 x 2, x 0.1 时. x2.一物体作直线运动，其运动方程为S 3t25t (单位：时间s;长度m).计算：(1)物体从2s到(2+ t)s的平均速度；(2)物体在2s时的瞬时速度.3.求卜列函数的导数.(1) y 工；(2) y x3 杼 X ；Vx_ x _ x(3) y log 3 x ；(4) y 23； TOC o 1-5 h z 2 321，x x(5) y 2- ；(6)y ：=：-. HYPERLINK l bookmark6 o Current Document xx54.求下列函数在给定点处的导数.-5y sinx, x 0; (2) y cosx, x ；6 f (t) arct