第2.2讲四边形的综合题-备战中考数学热点难点突破(解析版)

1、 【备战2019年中考数学热点、难点突破】专题02四边形的徐含题考纲要求：. 了解四边形的不稳定性；理解平行四边形、矩形、 菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.能利用平行四边形、矩形、 菱形、正方形的性质定理与判定定理解决有关简单问题.运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关内容解决有关问题.基础知识回顾：.平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等.平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补.平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形.平行四边形的周长：一组邻边之和的倍.平行四边形的面积：底乘以高.平行四边形的判定

2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，？还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且相等.角的性质：四个角都是直角.对角线性质：对角线互相平分且相等.对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半.矩形的判定判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.判定：对角线相等的平行四边形是矩形.判定：有三个角是直角的四边形

3、是矩形.菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，？还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且四边相等.角的性质：邻角互补，对角相等.一对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形.菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半.菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定：四边相等的四边形是菱形.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半.应用举例：招数一、特殊四边形的性质、判定的综合应用【例1】请阅读下列材料：二是线段DF的中点,连接PG , PC

4、 .构造全等三角形，经过推理可以探索出问问题：如图，在正方形力口和平行四边形FFG中，点2&E在同一条直线上, 探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形日EFC是正方形？小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点 题的答案.请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题.（1）求证：四边形 。济G是矩形；（2）PG与P0的夹角为 度时，四边形BEFG是正方形.说明理由:【答案】（1）详见解析；（2） 90.【解析】（1） :正方形ABCD中，/ABC = 90 ,ZEBG = 90 ;.? BEFG是矩形；（2） 90。；理由：延长GP交DC于点H,7正方形A

5、BCD和平行四边形BEFG中，AB/ DC； BE/GF./.DC/GF,I，/HDP=/GFP, ZDHP=ZFGP.,；P是线段DF的卬点j，DP=FP,.0HP丝FGP,，HP=GP,当日CPG=9时/CPH=/CPG,/CPnaSJACP 晔CPG,J,CH n CG,7 正方形 ABCD 中，DC=BCj .DH=BG?/ADHPAFGP？，DH=GF,，EG=GFj .,尸BEFG 是英形：由（l）知四边形BEFG是J因心，四边形REFG是正方形.招数二、四边形与函数的综合【例2】长方形ABCD位于平面直角坐标系中平行移动.（1）如图1,若ABx轴且点A的坐标（-4, 4）,点C的

6、坐标为（-1, - 2）,在边AB上有动点P,过点P作直线PQ 交BC边于点Q,并使得BP=2BQ.1当SZBPQ= S长方形ABCD时，求P点的坐标.在直线CD上是否存在一点 M ,使得4MPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 M点坐标：若不存在，请 说明理由.（2）如图2,若ABx轴且A、B关于x轴对称，连接 BD、OB、OD ,且OB平分/CBD ,求证：BOXDO. TOC o 1-5 h z 以4 I讨1flA口图2(-1, - 1) ; (2)见解析.【解析】（1）：四边形AES是矩形，且轴，点、A的坐标（-磊4）,.二点C的坐标为t-b -2）点B的坐标（-4-21

7、点D（-14）.AD3BC 单 aBCD（5 ,：SiEPq=SABCD； . BPxBQ=xABxBC=p 且 BP=2BQ,，EQ= BP = 3; ,P（与 1）如图，若/ MPQ=90 ；过点M作MN AB于点N ,. MN AB , /ABC =/BCD = 90 :四边形BCMN是矩形.MN =BC=3, BN =CM ,.MN AB, /MPQ =90 ;：ZBPQ+/BQP=90 ； /NPM+/BPQ=90 ,JBQP=ZMPN ,且 PQ=PM, /ABC =/PNM = 90 ,ZPMNzQPB (AAS) ：PB = MN = 3, BQ = PN,. PB= 2BQ

8、. BQ =屋 PN ：MC = BN = BP+PN = 士:点M坐标（-1,二）如图，若/ PQM = 90 ；T/PQM=/ABC;如。.ZPQBZMQC=90S ZBPQ-/PQE=g%.ZBPQ=ZMQC,且 PQ=QL ZaBC=ZBCD=505, .二BPgACQM (AAS) ，BQ=GI* QC-BP?.BQ-QC=BQ-BP=BC=3JBP = 2BQ,-.BQ=MC=1；，点 M坐标(-1 F - 1) f综上所述：点M坐标为(-1)或-1尹-D 5(2)设BD与x轴的交点为E,连接AE,:A、B关于x轴对称，：AE = BE, . ZABE =ZBAE ,. ZBAD=

9、90 ； ZABE+ ZADB = 90 , /BAE+/EAD =90 ；：ZADB=/EAD, ：AE = DE,.AE = DE = BE,. ABx 轴,AB BC , ：BC/x 轴,ZEOB = ZOBC,YBO 平分/CBD,，/DBO=/CB6.ZDBO=/EOBj/.BE=EO, /.BE=EO=DEj,NEDO= NEOD,/ ZDBO-ZEOE-ZEDO-ZEOD= 180，/BOE-NDOE=领、，/0DD=9胪,即 BO_LDO.招数三、四边形的动点问题【例3】如图，在四边形 ABCD中，AD / BC, / B=90 ； AB=8cm , AD=24cm , BC=

10、26cm ,点P从A点出发，以1cm/s的速 度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。(1)从运动开始，经过多少时间点 P、Q、C、D为边得四边形是平行四边形?(2)从运动开始，经过多少时间点 A、B、Q、P为边得四边形是矩形？S* C【解析】【试题分析】(1)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形求解;(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形(1)当pxm时J四边形嗓3?，为平行四边整,即注13t, 解得，即当仁随时，四边形皂g叫书亍螂协 (2)根据题意得；AP=khlj- AB=8cm； AD=24cm, BC=26cm?.DP=AD-AP=24-t (cm) ,

11、 BQ=26*3t (cm) ?-：ADn /曲明当AP=EQ时？四边形ABQP是矩形.06-犯解得：t=6 Sf即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形。&网 招数四、四边形中的分类讨论【例4】如图，矩形ABCD的边BC与x轴重合，B、C对应的横坐标是一元二次方程 x 一勿一？二口的两根，E是AD与y 轴的交点，其纵坐标为 2,过A、C作直线交y轴于F.(1)求直线AF的解析式.(2) M是BC上一点，其横坐标为2,在坐标轴上，你能否找到一点P,使53产由M = 了 ?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.1 1(3)点Q是x轴上一动点，连接AQ,Q在运动过程中AQ+上 是否存在最小值？

12、若存在，请求出 AQ+* 最小彳！及Q的坐 标；若不存在，请说明理由.1 1【答案】(1)22一(2)点1的坐标为(90政-反0)或；010：或。-网心)扉十1工42.0),【解析】(1)解一元二次方程式- 2-1-3 = 0, 4 = -L%=3.则点30),%1.0).E是HD与J轴的交点，其纵坐标为3二*32)设直线以严的解析式为y = 瓦；把点&c的坐标代入，.f-k + b = o f = f“3k + & = 2,解将：V _i即直线闻严的解析财y旌三 q.(2)当点p在峰由上时：设点P(m,0)，解得：m=9或m=-5j:此时点,的坐标为RO：或-5g, 当点P在乎轴正半轴上时：

13、点()$ = W=S 梯形 ABOP-, & 和M-5 , =7 =7R(2 + m) X 3 - x 1 x2-x2xm - 7.解得：此时点 的坐标为:旧S.当点P在乎轴负半轴上时：点:A ET-SfllM AKDE-5i DJtf=工/.-(2 - m) k3-x(2 + 3)x2-x2x (-m) - 7. 山 反 解得：m = -IS.此时点p的坐标为S，-IB) 一(3作点A关于I轴的对称点/过点工作M_L”于点M,交轴于点Q,点即为所求.点坐标为3,-2),直田与直线垂直，直线河川的斜率=-2,直名新K的方程为；y = -2a+4,当丁 = 0时，x =乙即点Q的坐标为Q).此时

14、 * AQ = Vl2 + 21 v5.3 = 3,= 15“-笆Q的最小值为、E+ls,招数五、四边形中的几何变换问题OD、【例5】如图1 ,放置的一副三角尺，将含45角的三角尺斜边中点 O为旋转中心，逆时针旋转30得到如图2,连接OB、 AD .(1)求证：AOB/zAOD;(2)试判定四边形 ABOD是什么四边形，并说明理由.【解析】(1)证明：根据题意得：/ BAC=60 : /ABC=/EDF=90 ； EF=AC.。为 AC 的中点，.OB=AC=OA, OD = EF=AC=OB, ODXEF, . AOB 是等边三角形，：/ AOB=60, AB=OB=OA,222由旋转的性质

15、得：/ AOE=30 ； ：OD=90 30 =60 :在 4AOB 和 4AOD 中，.OA=OA, ZAOB=ZAOD=60 , OB=OD, .AOB 心 AOD (SAS);(2)解：四边形ABOD是菱形.理由如下：. AOB AOD, .-.AB=AD, ：AB=AD = OB=OD ,:四边形 ABOD 是菱形.【例6】在菱形ABCD中，/BAD=a, E为对角线AC上的一点(不与A, C重合)，将射线EB绕点E顺时针旋转0角之后，所得射线与直线 AD交于F点.试探究线段EB与EF的数量关系.(1)如图1,当a=0= 90, EB与EF的数量关系为 .(2)如图 2,当 a =60

16、 3 =12(0f.依题意补全图形；探究(1)的结论是否成立.若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；(3)在此基础上对一般的图形进行了探究，设/ ABE= T,若旋转后所得的线段 EF与EB的数量关系满足(1)中的结论，请直接写出角 % & 丫满足的关系：.a (iw 7 i RQ【答案】EB=EF; (2)见解析；结论依然成立 EB=EF,证明见解析；(3) a + 0 =处0 2)【解析】(1) EE=EF.理由如下；过 E 作 EM1AD 于 M, EN_LAB 于 N.当口-pg。：时菱形 ABCD 是正方将一二/D.M/CAB=45%， 是正方形，NNEMTT./ZFEB=9

17、0DJ /.ZMEF=ZMEB./ZEMF=ZENE90fi,.EB=EF.DC 1故答案为：EB = EF;FA 图3bN过点E作EM_lAT于hl, EX1AB于N.1四边形ABCD为菱形，NCqJ=/CAB.ENI AB,，/Fi4E=NN=901 EM=EN,NBAD=601 NBEF= 120) ,ZF-Z.4BE=360t- ZBAD-ZBEF=180fl.ZABEZEBN=18CO? ；,ZF=ZEBN,NF 二N在爪EfRI 与aEBN 中,上FME = 匕N, . .AEFXIAEBX, J.EF=EBj .EM = EM证法2:如图4,连接ED.解决平行四边形的判定和性质综

18、合应用问题时.熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.在判定一个四边形是平行四边形时，可通过已知条件选择合适的判定定理进行证明，若有对角线时，通常考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明，而没有对角线时，通常不利用此判定定理，注意，定义也是判定平行四边形的常用定理.解决和平行四边形有关的计算和说理问题，关键是根据图形的特点结合平行四边形的性质以及平行线的有关性质进行分 析.有的问题还需要将平行四边形问题转化为特殊三角形的问题，借助勾股定理解决.运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角 函数求线段的长是常用的思路，又因

19、为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形.矩形的两条对 角线把矩形分成四个等腰三角形，可据此建立能够得到线段或角度的等量关系.与菱形有关的计算常涉及下面几种：(1)求长度(线段长或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶角为60。，则菱形被另外两点连接的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；(2)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算.动点运动探索问题，需要根据点的运动找出不变量或变化规律

20、，再结合诸如全等或四边形的判定方法解决问题.实战演练：.如图，RtAABC中，/C=90, AC=2, BC=5 ,点D是BC边上一点且 CD=1 ,点P是线段DB上一动点，连接 AP,以AP 为斜边在AP的下方作等腰RtAAOP.当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长为 .解：过。点作OELCA于E, OFLBC于F,连接CO,如图,:具OF为等股直角三角形,，OA=OP . /AOP=900易得四边形OEGF为矩形,ZEOT=90% CE=CF；,NAOE=NP0E/,AOAEAOPF,，A=PF, OE=OF;:8 平分/ACP,，当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径

21、为一条线段,. AE=PF ,即 AC-CE=CF-CP ,而 CE=CF, ：CE=I (AC+CP),0CP=CD=1 时，OC=怛CP=CB=5 时，OC= 2：OC=、%E= 2 (AC+CP),当 AC=2 ,当 AC=2 ,=-=2:当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长 故答案为2 .Z.如图，菱形abcd的对角线AC, BD相交于点O, AC 8cm, BD 6cm, AC上一动点p从点c出发，沿caP运动时间为ts.当t等于（方向以1cm/s的速度向a运动，设点）时，VPCD是直角三角形.A. 9 s B. 4s4【答案】D9s或 25s444s 或-s【解析】试题

22、解析：当点芦与。重合吐4那玲9T,也比是直角三角形此时Mi.3.如图，在4ABC中，AB=6, AC=8 , BC=10, P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PELAB于E,F, M为EF中点.设AM的长为x,则x的取值范围是（）PFXAC 于A . 4)A 2.4 B. 4x2.4 C. 4x2.4 D. 4x2.4【答案】D【解析】AB=6, AC=S, BC=W,/.AB-ACz-Si-W-lOO, BC-100. .AB2-AC-BC：,;TE1AB, PFACj，/AEP=/ATP=/BAC=gT,，四边形AEPF是柜形，AP=EF,1 1 ZBAC=90 , M 为 E

23、F 中点，：AM=，EF=AP, 当AP:BC时，AP值最小，1 1止匕时 Sabac =X6 8=2x10 淤P ,AP=4.8 ,即AP的范围是 AP 4.82AM 4.8AM 的范围是 AM 2.4(即 x 2)4. P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4 ,P和B、C不重合， . .x 4,综上所述，x的取值范围是：2.4 -4.故选：D. &网4.如图，4ABC中，点。是AC边上的一个动点， 过点O作直线MN?/BC, ? MN?ZBCA的平分线于点 E,交/ BCA 的外角平分线于点 F.(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由？(2)当点O运动何处时，四边形 AECF是矩

24、形？并说出你的理由.【解析】试题分析:先判断4CF出口，再利用角平分线平行线，等腰三角形的关系得到OE4C, OfFTJG(4结合中的结论，利用对角线才触茁啊薄蘸叵形说明.试题解析；越(1)OE=OF?理由如下:CEj CF分别是/ACB和/ACB外角的平分线,ZACG工 ACEj BCE=q/ACBf ZACF=ZGCT=i 上 ECF-工 ACE-x ACF- : /*CB- : ZACG= : (ACB-ZACGy : ZBCG=90 MNn EC, 上 FEC-. ECE? 上 FEC-. ACE, OE-OC同理OF=OC,所以OE=OF.(2)由(1)得，OC=OE=OF,所以当O

25、A=OC时，对角线 AC与EF互相平分且相等，而对角线相等的平行四边形是矩形，则当 点O运动到AC的中点时，四边形 AECF?是矩形.如图，已知僦=把力80绕/点沿顺时针方向旋转得到同，连接M,交于点孔（1）求证,（2）若再口二2, OAC二45,当四边形HDFA是菱形时，求RF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）F = 22-2.【解析】I由旋转的性质得：I小比三占力加，且=川：二攸加二叫七曲八）八,NWC + lBAI： =*:十 士想,即“/1E =以M 公在1 /!现和&ADB中,AE = ADjlCAE jlDAU人。“?,Q）,四边形ADFC是菱形，且匚B虹=45，士DBA 二

26、zBAC - 451由（1 居:AB = AD?；,DBA = ZBDA= 45，.A ABD为直角边为2的等腰直角三角形，；,BD- = 2AB2,即ED = 2、Z，AD = DF =?C = AC = AB = 2,；,BF = BD- DF= Z卷-Z.在矩形纸片ABCD中，AD=8, AB=6, E是边BC上的点，将纸片沿 AE折叠，使点B落在点F处，连接FC ,当AEFC为 直角三角形时，BE的长为.【答案】3或6.【解析】试题解祈：,4吨 四边形4co力矩形，.Z5-90% . 1。%郴，记-10.a XFC为直角三角形分两种情况:当NEF仍时，如图1所示. 工旦夕A/8=gO)

27、/EFC=m1 点尸在对用线月C上？二.4E平分/E4G,即1U- 8FEBE=七算当NFEU=90%寸，如图2所示-/上FEC=9d /.上ES浴=9% /.上上E：尸二N肛1=4%.-.四边形工B产为正万物1. SE=B=6.综上所述：君E的长为4或6.故答案为:3或6.如图所示，在。中，直彳仝MN =10,正方形ABCD的四个顶点分别在 PM以及。的半径OM , OP上，并且/POM=45,则AB的长为箱斤J芨|皿/,京卷解，/质豆:/ POM=45 ,：/CDO=45, . CD=CO, ：BO=BC+CO=BC+CD, ： BO=2AB- MN=10, . AO=5.在 RgABO

28、中，AB2+BO2=AO2,即，AB2+(2AB)2=52,：AB= 5.在HRBCD|中，点E为CD边上一点，点为中点，连接E,交于点，且=；(1)如图1,若处口二乩E=川仃二6一上，八 1 C”,求,6的值；如图2,若?胡平分质北，且EM”口凡过点6作GN，即交“于点N且仃N=GE,求证：IE_U：D图1S 9【答案】（1） |144 -722（2）证明见解析【解析】33解；过A点作AKLBE于点K在曰ABOTp, AB/CQAE 1 CDBAD = MED = 90- AB = AEaABE为等腰直角三角形贝EE = VAB2 +AE= = 6 x 2 = 12, GE= BE -BG

29、= 12- 6也v AB = AEAK 1 KE:a AK= BK= KE =tBE= 6r在|取MKG中，尿/二（心的=限2 = 1*如I二由勾股定理得：松=2 + 2=+侬人2=1仇- 72C2)证明：延长AB.DF交于点忙在nABCD中，AB/；CD,AB = CD,则二1 二 zK.明EC中点BP = CF在aDCF与aKBF中(n=K：ZKFB = 4DFC =自口” =lKBF(BF 二 CF则 BK = DC = ABv EM平分eBEC,且EM/DF-2 = z3 q4 = zl = zK,/- BK = EG = BAf.-.BAG =2BGA,在 附中 “十 lack +

30、上口加=2“ + BG* = 2LAGK =】。0 .ZOK = 901则用 rm = iso- = q(r = f；Y + 功金 G3E且 GN = G,上DGE +上NGD=qO|AlAGN 二 DG同在R/V6与G中(AG = DGlAGN =DGI NG = EG三:必1 = jlGAN|v “AN + LAGD + z5= 18Cc = zl + lAED + 6|！；： = /.： =一即a (0 V a.如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6, 6）,将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度 90 ）,得到正方形 CDEF, ED交线段AB于点G, ED的延长线

31、交线段 OA于点H,连结CH、CG .(1)求证：CG平分/DCB;(2)在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段 HG、OH、BG之间的数量关系；(3)连结BD、DA、AE、EB ,在旋转的过程中，四边形 AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直 线DE的解析式；若不能，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) HG=OH+BG; (3)能成矩形，y 4 2.Oi:正方形ABCO绕点C旅转得到正方形CDEF,：.CD-CBf NCDG=/CBG=乳，在 RtiCDG 和 RtdCBG 卬 )广汽一口 P .RiaCDGRuCBG (HL) ?J = I .H f/.ZDCG-ZBCG,即 CG 平分NDCB.(2)由(1)证得：RtACDGRtACBG, ：BG = DG.(C1I = CH在 RtACHO 和 RtACHD 中，二 CD ,RtACHORtACHD (HL) , ：OH=HD, ：HG= H D+DG = OH+BG .3)假设四边形AEBD可为矩形.当G息为AB中点时,四边形AEBD为矩形,如图所示.TG点为AB中点,，BG=GA=由(2)证得：EG二DG,则 BG二GA二DG=:AB=三DE=GE,又 AB二D