高中数学奥林匹克竞赛讲座33三角函数.doc

1、一 一一 一竞赛讲座33一三角函数几何中的两个基本量是：线段的长度和角的大小.三角函数的本质就是用线段长度之比来表示角的 大小，从而将两个基本量联系在一起，使我们可以借助三角变换或三角计算来解决一些较难的几何问题.三角函数不仅是一门有趣的学问，而且是解决几何问题的有力工具角函数的计算和证明问题在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：（1）三角函数的单调性 当a为锐角时，sha与1ga的值随a的值增大而增大； cosa与ctga 随a的值增大而减小；当 a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论注意至lj sh45 =cos45 =2 ，由（1）可知，当时a sha

2、;当 45。 a90时,cosa sha.2）三角函数的有界性|sha|l,|cosa、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.2例1 （ 1986年全国初中数学竞赛备用题）在a ABC中，如果等式shA+cosA=12成立，那么角A是（）（A ）锐角（B ）钝角（C ）直角分析 对A分类，结合shA和cosA的单调性用枚举法讨论.解当 A=90 时，shA 和 cosA = l；当 45。 A 2 , cosA 0,/ shA + cosA shA + cosA =当A=45。时,当 OVA 0,cosA 2AshA+cosA 2,2v 72, i, T都大于 12.，淘

3、汰(A)、(C),选(B).例2 ( 1982年上海初中数学竞赛题)ctg-67 30,也(A) J2 -1(B) 2- J2(C ) 222(D) 2( E) 5分析构造一个有一锐角恰为 67。30，的RtA解 如图36T ,作等腰RtAABC,设N B=90 , AD=AC, ND =22.5 ,NDCB=67.5 .这时，ctg67。30=cig NDCB= DB J2 +1,选(A).一DAB|11 36 1的值是（）-1,再用余切定义求之.AB 二 BC = 1.延长BA 到D 使 AD = AC,连 DC,则L例3 （1990年南昌市初中数学竞赛题）如图，在 ABC中，NA所对的B

4、C边的边长等于a,旁切圆。0 的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D, E, F.求证：+ sm 2Acos TOC o 1-5 h z R 2证明 作 ABC的内切圆0 ,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF加图36y）.设GB=a, BE=x, KC =y,CF=b.则x+a = y+b,且 BH 二 a,BD 二 x,HC 二 y,DC = b.于是，x-a=y-b.+得，x=y.从而知a二b. G E B C a.设。0 半径为r.显然R+W0 0 （当AB=AC ）时取等号.A 作0 M E0 于 M,则 0 M 二GE = a,N0 0 a _ A-小 R-r =

5、A2cos R +r2h.证明 如图 36-6,AB=AD+BD=h(ctgA + ctgB) NC 是钝角一.N A + NBV 90。，.ctgB ctg( 90 一人)= tgA.由、和代数基本不等式，得 43巾h(ctgA + fgA) 2hJcigAigA = 2h.图 36-6例9(第18届国际数学竞赛题)已知面积为 32cm 2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度如图 36守，设四边形 ABCD 面积 S 为 32cm 2,并设 AD =y,AC二x,BC=z.贝lj x+y+z=16(cm )由但 S二32,仍施 6|L s

6、in %1有 4砂+ 2u-j11=-64 - (工-8)2 32.a =1,且 x-8=o.故 a =二且 x=8,y+隼=8.1XZ = 一、 +z) = x(16 - X)2冗这时易知另一条对角线 BD的长为 超+ 8 - 872(cw),此处无图一 一一 一例10（1964年福建中学数学竞赛题）设,、b、c是直角三角形的三边，c为斜边,整数n23,求证:a n+bn 0,b=ccos a 0,可将不等式转化为三角 不等式sii n a +cosn a 1来讨论. a bsin a = ,cosz =一证明设直角三角形一锐角N BAC=a （如图），则,2a + cos a兀1.故a +8卸c