9.2.4总体离散程度的估计

1、9.2.4总体离散程度的估计课标要求素养要求.结合实例，能用样本估计总体的离 散程度参数（标准差、方差、极差）.理解离散程度参数的统计含义.在学习和应用标准差、方差和极差的过程 中，要进行运算，对数据进行分析，发展 学生的数学运算素养和数据分析素养.课前顼习知识探究教材知识探究B情境心甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10次，每次命中的环数分别是:甲：8,6,7, 8, 6,5,9,10, 4, 7;乙：6,7,7, 8, 6,7,8,7, 9, 5.经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是 7环.问题 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？提示 不能.平均数只能说

2、明二人的平均水平相同， 还要用方差来判断谁的射击水 平更稳定.一新知梳理.组.数据 xi, xz, ，xn白勺方差和标准差若数据xi, x2,，xn的平均数为x,方差为s2,则数据mxi + a, mxz+a,，mxn+a的平均数为mx + a,方差为m2s2x2,标准差为也-Lxzix 1J.数据xi, X2 ,，xn的方差为X1(xi-x = 1/二.总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1, 丫2,，YN,总N N体的平均数为丫，则称S2= NW (Yi 丫)2为总体方差，S=卮为总体标准差.(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共

3、有k(kWN)个，不妨记为丫1, 丫2,，Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1, 2,，k),则总体方差k _为 S2=Nf =五.样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为 y1，y2,，yn,样本平均数为y,则称s2 =1 n - _n皂_(yi -y为样本方差，s=坦为样本标准差.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大,数据的离散程度越大； 标准差越小，数据的离散程度越小_.分层随机抽样的方差设样本容量为n,平均数为x,其中两层的个体数量分别为 m, n2,两层的平均数分别为x1, x2,方差分别为s2, s2,则这个样本的方差为s2 = =nls2xx1

4、 x)2 +彳s2 TOC o 1-5 h z ，2_+ (x2 x).教材拓展补遗微判断.计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.(，).若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(，).标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(X) 提示3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小, 表明各个样本数据在样本平均数周围越集中微训练.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平 均分都是75分，S1, S2, S3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,B.

5、S2S1 S3D.S3S2S1则有（）A.S3S1 S2C.S1S2S3解析 所给图是成绩分布图，平均分是 75,在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近, 图2介于两者之间.由标准差的意义可得S3S2S1.答案 D.某学员在一次射击测试中射靶 10次，命中环数如下：7, 8, 7, 9, 5, 4, 9,10, 7, 4则：（1）平均命中环数为;（2）命中环数的标准差为.7+ 8+ 7+ 9+ 5+ 4+9+10+7 + 4解析(1)x = 7.212222222(2)s2 = (7 7)2 + (8 7)2+ (7 7)2 +

6、 (9 7)2 + (5 7)2 + (4 7)2 + (9 7)2 + (107)2+(77)2+(4 7)2 =4, .s= 2.答案(1)7 (2)2微思考.甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均分为 80,方差为2,乙班的数学成绩的平均分为82,方差为4,那么甲班和乙班这60人的数学成绩的平均分是巧丝=81吗？方差是3吗？为什么?提示 不是，因为甲班和乙班在这60人中的权重是不同的.如何理解方差与标准差的概念？提示(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.标准差、方差的取值范围：0,

7、 + ).标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离 散性.(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然 方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一 般多米用标准差. i：n ；in制 mi isstwiiiiiiNMIIIHIIIMI题型一 标准差、方差的计算与应用【例U 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位： cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：(1)哪种玉米苗长得高？(2)哪种玉米苗

8、长得齐?方差是体现一组数据波动大小的特征数_. -11 一一解(1)x甲=而(25+ 41+ 40+ 37+ 22+ 14+ 19+ 39 + 21 + 42) =讪X 300 =30(cm),一 1，“八- 八八、 1、，x乙=(27 +16 + 44+ 27+44+16+ 40+ 40+ 16+40) = X 310=31(cm).一 一所以乂甲乂乙.即乙种玉米苗长得高.(2)s2 =去侬-30)2+ (4130)2+ (40-30)2 + (37-30)2+ (22 30)2+ (14 30)2 + (19 30)2 + (39 30)2 +(21 30)2 + (42 30)2 = ,

9、(25+ 121+ 100+ 49+64 + 25612+ 121 + 81 + 81 + 144)= 10 X1 042= 104.2(cm2),s!:= 102 X (27 31)2 + 3X(16-31)2+ 2X (44 31)2 + 3X (40 31)2 =：10X 1 288= 128.8(cm2).所以s2S2S3.答案 S1S2S3核心素养 Ilii 全面提升 III I i |l i一、素养落地.通过学习方差、标准差的计算与应用，重点培养数学运算素养及数据分析素养.标准差的平方s2称为方差，两者都可以测量样本数据的离散程度.方差与标准差 的测量效果是一致的，在实际应用中一般

10、多采用标准差 .二、素养训练1.在某次测量中得到的A样本数据如下：42, 43, 46, 52, 42, 50,若B样本数 据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A, B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A.平均数B.标准差C.众数D.中位数解析 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5,即与A样本不相同，标准差不变，故选 B.答案 B2.已知一个样本中的数据为1,2, 3, 4, 5,则该样本的标准差为（）A.1B. 2C. 3D.2解析B式1 + 2 + 3+4+5）=3, 5.样本容量n= 5,A.3B.2C.2.6D.2.51

11、.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:班级人数平均分数、.、.广. 力左甲20X甲2乙30X乙3其中乂甲=乂乙，则两个班数学成绩的方差为（）解析 由题意可知两个班的数学成绩平均数为 X = 乂甲=X乙，则两个班数学成绩的方差为 TOC o 1-5 h z 220 230 2S=20T3?2+（XLX） + 2073?3 +（X 乙-x）20-30 .一=X 2+X 3=2.6.20+3020+30答案 C.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中各抽取 6件测 量，数据为甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100

12、100(1)分别计算两组数据的平均数及方差； TOC o 1-5 h z (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.1解 (1)x 甲=6(99 +100+ 98+100+ 100+103)=100, 1x 乙=6(99+ 100+102+99+100+ 100) = 100.S2 = 6(99 100)2 +(100-100)2 +(98-100)2+ (100-100)2+ (100-100)2 + (103 27100)2=3，si = 6(99 100)2 +(100-100)2 +(102-100)2 +(99-100)2+ (100-100)2 + (100 100)2

13、= 1.两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2 s2 ,所以乙机床加工零件的质量更稳定.基础达标一、选择题1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为X1, x2,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳 定程度的是()A.x1, x2,，xn的平均数B.x1, x2,，xn的标准差C.x1,x2,，xn的最大值D.x1,x2,，xn的中位数解析平均数能反映一组数据的平均水平；中位数是把一组数据从小到大或从大 到小排列，若该组数据的个数为奇数，则取中间的数据，若该组数据的个数为偶 数，则取中间两个数据的平均数.平均数和中位数都能反映

14、一组数据的集中趋势,标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度 答案 B2.若样本数据x2,，xi0的标准差为8,则数据2xi1, 2x21,，2x101的标准差为(A.8B.15C.16D.32解析 令 yi = 2xi1(i = 1, 2, 3,10),则所求的标准差为s= 2X8=16.答案 C.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以 x表示，个分数分别为87, 87, 94, 90, 91, 90, 9x, 99, 91.则7个剩余分数的方差为11636B.7C.36D*x甲、乙，标准差分别为o甲

15、B.x甲乂乙,。甲 0乙A.x甲乂乙 ,。甲 0乙C.x甲x乙,。甲 o乙D.x甲x乙,。甲 o乙解析由题意知去掉的两个数是87, 99,所以 87+90X2 + 91X2+94+90 + x=91X7,解得 x = 4.故 s2=1(87-91)2+(90- 91)2X2+(91 91)2X 2+(9491)2X2=亭.答案 B.甲、乙两名同学6次考试的成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为解析 由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都一 一远高于乙同学，可知乂甲乂乙，观察题图发现甲同学的成绩比乙同学稳定，故甲 0乙,故选C.答案 C.某班有48名学生，在一次考试中

16、统计出平均分为 70分，方差为75,后来发现 有2名同学的分数录错了，甲实得 80分，却记了 50分，乙实得70分，却记了 100分，更正后平均分和方差分别是()A.70, 75B.70, 50C.75, 1.04D.65, 2.35解析 因甲少记了 30分，乙多记了 30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2, 则由题意可得 s2 = 48(xi 70)2 + (X2 70)2 +-+(80-70)2+ (70 70)2+ +(X48 -70)2,而更正前有 75= -1(xi 70)2+ (x2 70)2+ + (50 70)2 +(100 70)2 + (x48 4870)2,化简整理得

17、s2 = 50.答案 B二、填空题.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如 下表所示：甲乙丙1r平均环数x8.38.88.88.72 力左s3.53.62.25.4若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是(填 “甲” “乙” “丙” “丁”中的一个).解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙.答案 内.已知一组数据4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5,则该组数据的方差是 .11解析这组数据的平均数 x = 5(4.7+4.8+5.1 + 5.4+5.5) = 5.1

18、,故 s2 = 5(4.7 5.1)2+(4.8 5.1)2+(5.1 5.1)2+ (5.4 5.1)2+(5.5 5.1)2 = 0.1.答案 0.1.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取 的所有员工的平均体重为60 kg,标准差为60,男员工的平均体重为70 kg,标准 差为50,女员工的平均体重为50 kg,标准差为60,若样本中有20名男员工，则 女员工的人数为.解析 设男、女员工的权重分别为 男，女，由题意可知 TOC o 1-5 h z CC一一 CC一一 Cs2=男Sh+(x男一x)2+ 女s委+(x女一x)2,即111,1110男502+(70

19、 60)2+(1男)602+ (50 60)2 =602,解得男=而，女=不，因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.答案 200三、解答题.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为 50,其平均年龄为38岁, 方差是2,高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级 职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.解由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为3X58+5X40+ 2X38讣=3757=45(岁)年龄的方差为s1=去2 X (58 45)2 + 5X(40-45)2+ 2X(38-45)2= 73,所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为-5010

20、山x =X38 +X 45= 39.2(岁)，50+1050+ 10该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是答案 0.95050+102+(3839.2)2 +1050+ 1073+(45- 39.2)2= 20.64.10.已知母鸡产蛋的最佳温度在10 C左右，下面是在甲、乙两地六个时刻测得的 温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？时刻(时)4812162024温度(C)甲地-571514一 4-3乙地14107201解 x甲= 6*(5+ 7+ 15+14 4 3) = 4(C),1x 乙= 6*(1+4+10+7+2+0) = 4( C).标准差：s 甲=、16乂 (5 4) 2

21、+ (4 4) 2+ (3 4) 2 = 8.4,s乙(1 4)2+ (2 4) 2+ (0 4) 2 = 3.5,显然两地的平均温度相等，乙地温度的标准差较小，说明乙地温度波动较小 因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋能力提升 TOC o 1-5 h z 人,、211.若40个数据的平方和是56,平均数是与2，则这组数据的方差是. 一解析 设这40个数据为xi(i = 1, 2,，40),平均数为x.一 .21一。2.2_点x2则 s =4oX (x1 x) +(x2x) + - +(x40 x),2 ,2,2 c=，, x,+ x2+ +x40+40 x 2x (x1+x2+x40)2 22 _

22、2= 40 56+ 40X 旨 -2X X40X 211=丁 56-40 x2 = 0.9.12.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情 况进行了调查 通过抽样，获得了某年100户居民的月均用水量(单位：吨).将数据 按照0, 0.5), 0.5, 1),，4, 4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方 图.用每组区间的中点的横坐标作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3,后5组的方差都为0.4,求这100户居民月均用水 量的方差.解 由频率分布直方图可知，月均用水量在0,0.5)内的频率为0.08X0.5 = 0.04,同理，

23、在0.5, 1), 1.5, 2), 2, 2.5), 3, 3.5), 3.5, 4), 4, 4.5内的频率分别为 0.08, 0.21, 0.25, 0.06, 0.04, 0.02.由 1 (0.04+0.08+ 0.21 + 0.25+ 0.06+0.04+ 0.02)= 2aX 0.5,解得 a = 0.30.(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是一一一一一一一一x1 = 0.25,x2=0.75,x3=1.25,x4= 1.75,x5 = 2.25,x6=2.75,x7=3.25,X8= 3.75, x9=4.25,一这 100 户居民的月均用水量为 x = 0.04X0.25+ 0.08X 0.75+ 0.15X 1.25 + 0.21X 1.75+ 0.25X2.25+ 0.15X2.75+ 0.06X3.25+ 0.04X 3.75+ 0.02X4.25 =2.03,则这100户居民月均用水量的方差为s2 = 0.04X 0.3+ (0.25- 2.03)2 + 0.08X 0.3+ (0.75 2.03)2 + 0.15X 0.3+ (1.25 2.03)2 + 0.21 X 0.3+(1.75 2.03)2 + 0.25X 0.4 + (2.25 2.03)2 + 0.15X 0.4 +(2.75 2.03)2