实验三z变换及分析、DTFT实验

1、 实验三z变换及分析、DTFT实验实验目的学会运用 MATLAB学会运用 MATLAB学会运用 MATLAB学会运用 MATLAB求离散时间信号的 z变换和z反变换； 分析离散时间系统 的系统函数的零极点；分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系; 进行离散时间系统的频率特性分析。、实验原理及实例分析z正反变换序列x n的z变换定义为XzZxn x n z n(1)n其中，符号 Z表示取z变换，z是复变量。相应地，单边z变换定义为XzZxn xnzn(2)n 0MATLAB 符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z变换的函数ztrans和z反变换函数iztrans ,其语句格式分别为Z=z

2、trans(x) x=iztrans(z) 上式中的 x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表示，可通过 sym :函数来定义。【实例1】试用ztrans函数求下列函数的 z变换。x(n)ancos( n)u(n)；(2)x(n) 2n1 (2)n1u(n)。解：(1 ) z变换 MATLAB 源程序为x=sym(aAn*cos(pi*n);Z=ztrans(x);simplify(Z)ans= z/(z+a)z变换 MATLAB源程序为x=sym(2A(n-1)-(-2)A(n-1);Z=ztrans(x);simplify(Z) ans=zA2/(z-2)/(z+2)z反变换。2z(2z

3、2 11z 12)(z 1)(z 2)3【实例2】试用iztrans函数求下列函 数的X(z)28z 19(2) X(z)z2 5z 6解：(1) z反变换 MATLAB源程序为Z=sym(8*z-19)/(zA2-5*z+6);x=iztrans(Z);simplify(x) ans=-19/6*charfcn0(n)+5*3A(n-1)+3*2A(n-1)其中，charfcn0(n)是(n)函数在 MATLAB符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为19n 1n 1x(n) (n) (5 33 2 )u(n)。6z反变换MATLAB 源程序为Z=sym(z*(2*zA2-11*z+12)/

4、(z-1)/(z-2)A3);x=iztrans(Z);simplify(x) ans=-3+3*2An-1/4*2An*n-1/4*2An*nA21.1c.其函数形式为x(n) ( 3 3 2n -n2nn22n)u(n)。44如果信号的z域表示式 X(z)是有理函数，进行 z反变换的另一个方法是对X(z)进行部分分式展开，然后求各简单分式的z反变换。设 X(z)的有理分式表示为X(z)b0叱b2z：1 a1z 1a2 z 2bmz m B(z)anz n A(z)(3)其中，的系数向量; 零。R,P,K=residuez(B,A)B, A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量;P为极

5、点向量； K为多项式的系数。若【实例3】试用MATLAB 命令对函数 X(z)R为部分分式X(z)为有理真分式，则 K为J8-进行部分18 3z 1 4z 2 z 3MATLAB 信号处理工具箱提供了 一个对X(z)进行部分分式展开的函数 residuez ,其语句格式为分式展开，并求出其z反变换。解：MATLAB 源程序为B=18;A=18,3,-4,-1;R,P,K=residuez(B,A)R=0.3600 0.2400 0.4000P=0.5000-0.3333 -0.3333K=从运行结果可知,P2 P3,表示系统有一个二重极点。所以,X(z)的部分分式展开为X(z)0.361 0.

6、5z 10.241 0.3333z 10.4(1 0.3333z1)2因此，其 z反变换为x(n) 0.36(0.5)n 0.24 ( 0.3333)n0.4(n 1)( 0.3333)nu(n)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的比，即H(z)Y(z)z变换与激励的z变换之(4)如果系统函数H (z)的有理函数表示式为H(z)b1zmb2zm 1a1zna2zn 1bmzbm ianzan 1(5)那么，在 MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为Z,P,K=tf2zp(B,A)其中，B与A分别

7、表示 H (z)的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是 将H (z)的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即(2-6)(z Zi)(Z z2) (z zm)H (Z) k 一,；-；:(z Pi)(Z P2)(z Pn)【实例4】已知一离散因果LTI系统的系统函数为试用MATLABH(z)命令求该系统的零极点。z 0.32z2z 0.16解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为B=1,0.32;A=1,1,0.16;Z,P,K=tf2zp(B,A)Z=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=1因此，零点为 z 0.32,极点为 p10.8与p20.2。zplane

8、函数，其语句若要获得系统函数H (z)的零极点分布图，可直接应用格式为zplane(B,A)其中，B与A分别表示 H (z)的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是 在Z平面上画出单位圆、零点与极点。【实例5】已知一离散因果LTI系统的系统函数为H(z) 0.36z2 1.52z 0.68试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为B=1,0,-0.36;A=1,-1.52,0.68;zplane(B,A),grid onlegend(零点,极点)title(零极点分布图 )程序运行结果如图1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆

9、内，故系统是稳定的。图1 零极点分布图系统函数的零极点分布与其时域特性的关系与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，|z变换建立了时域函数h(n)与z域函数 H(z)之间的对应关系。因此，z变换的函数H(z)从形式可以反映h(n)的部分内在性质。我们 仍旧通过讨论H (z)的一阶极 点情况，来说明 系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。【实例6】试用MATLAB 命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及 对应的时域单位取样响应h(n)的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。(1)Hi(z)zz 0.8(2) H2(z)zz 0.8(3)也z1.2z 0.72(4)也(5)

10、H5(z)zz2 1.6z 1(6)H6 H7(z)zz2 2z 1.36解：MATLAB 源程序为b1=1,0;a1=1,-0.8;subplot(121)zplane(b1,a1)title(极点在单位圆内的正实数)subplot(122)impz(b1,a1,30);grid on;figureb2=1,0;a2=1,0.8;subplot(121)zplane(b2,a2)title(极点在单位圆内的负实数)subplot(122)impz(b2,a2,30);grid on;figureb3=1,0;a3=1,-1.2,0.72;subplot(121)zplane(b3,a3)ti

11、tle(极点在单位圆内的共轲复数)subplot(122)impz(b3,a3,30);grid on;figureb4=1,0;a4=1,-1;subplot(121)zplane(b4,a4)title(极点在单位圆上为实数subplot(122)impz(b4,a4);grid on;figureb5=1,0;a5=1,-1.6,1;subplot(121)zplane(b5,a5)title(极点在单位圆上的共轲复数subplot(122)impz(b5,a5,30);grid on;figureb6=1,0;a6=1,-1.2;subplot(121)zplane(b6,a6)tit

12、le(极点在单位圆外的正实数subplot(122)impz(b6,a6,30);grid on;figureb7=1,0;a7=1,-2,1.36;subplot(121)zplane(b7,a7)title(极点在单位圆外的共轲复数subplot(122)impz(b7,a7,30);grid on;程序运行结果分别如图2-2的(a)、1)（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。1*JE *I C5 0 J5 1Real Partn (samples)极点在单位国内的负实物I C5 0351RhI Part15035illprE:d- aCJ日 b02-0 2-0 J-0G51

13、01= 2D 25n (samples)极点在单位圆为的共旎复冢 (c)III 050351匚Peal r极点在里也画上为实数1DE3d(d)极点在单位圆上的共航复冢11, 上oVII9it-1 *b=1 -0.96 0.9028;a=1 -1.56 0.8109;H,w=freqz(b,a,400,whole);Hm=abs(H);Hp=angle(H);subplot(211)plot(w,Hm),grid onxlabel(omega(rad/s),ylabel(Magnitude)title(离散系统幅频特性曲线)subplot(212)plot(w,Hp),grid onxlabel

14、(omega(rad/s),ylabel(Phase)title(离散系统相频特性曲线)程序运行结果如图3所示。起戮再疏崎优将生由统G 4 2-2离联系统相演将性的战o0123日5a(racis)图3离散系统频响特性曲线三、实验任务1、试用 MATLAB 的residuez 函数，求出 X（z）分分式展开和，并求出x（ n）。4322z 16z 44z56z 324323z3z15z18z 12的部b=2 16 44 56 32;a=3 3 -15 18 -12;R,P,K=residuez(b,a)2、试用 MATLAB 定性。(1) H(z)b=2 ;画出下列因果系统的系统函数零极点分布图

15、，并判断系统的稳2z2 1.6z 0.932z 2.5z1.96 z 0.48a=1 ;zplane(b,a),grid onlegend（零点，极点）title（零极点分布图）(2)H(z)z 1432z4 0.9z3 0.65z2 0.873zb=1 -1;a=1 0;zplane(b,a),grid onlegend（零点，极点）title（零极点分布图）23、试用 MATLAB 绘制系统 H （z） z的频率响应曲线。231z z 48b=1 0 0;a=1 -3/4 1/8;H,w=freqz(b,a,400, whole);Hm=abs(H);Hp=angle(H);subplot

16、(211)plot(w,Hm),grid onxlabel( omega(rad/s) ),ylabel( Magnitude ) title(离散系统幅频特性曲线) subplot(212) plot(w,Hp),grid onxlabel( omega(rad/s) ),ylabel( Phase)title(离散系统相频特性曲线)4、求x(n) 2123,7,5,2,4的DTFT ,并画出它的幅频特性及相频特性(分别用DTFT的定义式freqz函数求解)。clc;clear alln = 0:7; x= 2,1,2,3,7,5,2,4;k = 0:1400; w= (pi/700) *

17、k;X = x* (exp(-j * pi/700)A(n * k);magX = abs(X);angX = angle(X); TOC o 1-5 h z subplot(221) ;stem(n,x,.);title(序列图)ylabel( x(n);axis(0,7,0,8); gridonsubplot(222); plot(w/pi, magX) ; gridontitle( 幅频特性);ylabel( 模值)subplot(224);plot(w/pi, angX); gridonxlabel(以pi为单位 的频率);title( 相 频特性);ylabel( 弧度)n = 0：

18、7;a=1; b= 2,1,2,3,7,5,2,4;N=1400;X,w=freqz(b,a,N);magX = abs(X);angX = angle(X);subplot(221) ;stem(n,b,.);title(序列图)ylabel( x(n);axis(0,7,0,8); gridsubplot(222); plot(w/pi, magX) ; gridtitle( 幅频特性);ylabel( 模值)subplot(224); plot(w/pi, angX) ; gridxlabel(以pi为单位 的频率);title( 相 频特性);ylabel( 弧度)5、求x(n) 1,n N的频谱。(已知该序列的DTFT为X(ej ) Sin(0.5M )0, n Nsin(0.5 )其中M 2N 1)(也可以直接用DTFT的定义式来求)N=5;M=2*N+1;n=-20:20;x=zero