第九章拉普拉斯变换教案

1、Laplace变换的概念课时2(项目)课地占 八、阶东1-2授课 时间20XX年4月9日，第9周，周一第1-2节学标法段 教目方手教学目标：1、理解Laplace变换的定义，掌握常用函数的拉氏变换表，会 利用拉氏变换定义求解简单函数的拉氏变换，能较为熟练地运用常用函数的 拉氏变换表求解函数的拉氏变换。2、理解并掌握单位阶梯函数及其性质， 掌握自动控制系统中常用的两个函数的拉氏变换 教学方法：课堂讲授，讨论与练习相结合教学手段：讲授 板书，多媒体重点 难点教学重点：掌握部分分式法求 Laplace逆发换。教学难点：F(s)分解成分式之和，用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace 逆义换

2、。教学 过程 与 内容拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程 中的应用.一、引入在代数中，直接计算. 3N 6.28 避 202(1,164)5是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为3lgN lg 6.28 -(lg 5781 lg 9.8 2lg 20) -lg1.1645,然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N.这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简

3、的做法。二、新课讲授9.1.1 拉氏变换的基本概念“f(t)eptdt定义 设函数f (t)当t 0时有定义，若广义积分0在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F (P),即F(P)f(t)eptdt0(9-1 )称(7-1)式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号Lf(t) F(P)表示.函数F(P)称为 f的拉氏变换(Laplace)(或称为f的象函数).函数f称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数)，记作L1F(P) f(t),即 f(t) L1F(P)。关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求 f(t)在t 0时有定义.为了研究拉氏变换

4、性质的方便，以 后总假定在t 0时，f 0。(2)在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数 P是在复数范围内取值.为了方便起见，本章我们把 P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。它是一种积分变(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,换.一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例9-1求一次函数f(t) atLat 解ate Ptdt0(t a0，a为常数)的拉氏变换。e Ptdt例9-2求指数函数f (t)a-2 ePatepttd (ePt)(P为常数)解Leatate0Ptdtat Q Pt eP0)。的拉氏变换.(p a)te dtP

5、a)e Ptdt0at .Le a)Lsin t2 (P0)Lcos t0)o类似可得:L cos(p 0)常用函数的拉氏变换表问题：计算函数f (t)Le2tsin 4t的拉氏变换。知道，如果还是用拉氏的定义来计算，整个计算会比较复杂，而且有些还比较困难。为 了运算的方便，我们给出常用函数的拉氏变换表。通过PPT展示常用函数的拉氏变换表。三、应用举例例9.4 求(1) f (t) 3e 4t , f (t)t4的拉氏变换。例 9.5 求 L e 2te3t 0例9.6 求f (t) L e2t sin4t的拉氏变换。自动控制系统中常用的两个函数1、单位阶梯函数(单位阶跃函数)1)单位阶梯函数

6、的定义函数u0, t 0工t ,称为单位阶梯函数(单位阶跃函数)。把u(t)分别平移忖和|b个单位，则有u(t a)0, t1, t两式相减得u(t a) u(t b)2)单位阶梯函数的性质a, u(t b) a1, a t b0, t a或t b.Q1,b b当a b时，将这一 一 .b单位阶梯函数具有：u(at b) u(t )(a 0, b 0) a3)单位阶梯函数的拉氏变换：例9.7解u(t)单位阶梯函数Lu(t) u(t)e0Q t 01t 0的拉氏变换。ptdt 1 e ptdt 1 e pt00P1P , (P 0)2、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产

7、生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t 0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i(t),以Q(t)表示上述电路中的电量，则0, Q(t), 1,0,0.由于电流强度是电量对时间的变化率，即dQ(t) Q(t i(t)limdt t 0t) Q(t) t所以，当t 0时，i0 ；当t 0时，Q(0 t) Q(0). .1 .i(0) lim lim ( 一)t 0tt 0 t上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度.为此，引进一个新的函数，这个函数称为1)定义狄拉克函数。称为狄拉克(Dirac当t 0时，(t

8、)0, 10,(t)当lim00时， (t)的极限(t)函数，简称为 函数.的值为0 ;当t0时，的值为无穷大，即0,t 0，t 0.和 的图形如图9-1和图9-2所示(图略)。1(t)dt-dt 1(t)dt 1显然，对任何0,有0，所以工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示(如图7-2所示)，这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度.2)狄拉克函数拉氏变换.例9-2 求(t)的拉氏变换.解根据拉氏变换的定义，有Z1ZZ1ZL (t)(t)e ptdt(lim )e ptdt lim0 e ptdt lim e pt000oo 01 e

9、 pt11 e p 1(1 e p )1pe plim 0lim - lim - lim 10pp 0p 0( )p 01即1 (t) 1。三、课堂小结并布置作业作业P.1343、(1) (2) (5)教学 小结理解拉氏变换的概念，熟记常用函数的拉氏变换表dt(器)Laplace变换的性质课时2课地占 八、将课.阶东1-2”向20XX年4月11日，第9周，周三，第5-6节时间)标法SJ 教目方手教学目标：掌握Laplace变换的性质，重点掌握Laplace变换的线性性质， 微分性质，位移性质。利用Laplace变换的性质求逆变换。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点 难点教学重点：重点

10、掌握Laplace变换的线性性质，微分性质，位移性质。 教学难点：微分性质，位移性质，求逆变换。教学 过程 与 内容. Laplace变换的线性性质，相似性质，微分性质，位移性质，积分性质。.利用常用函数Laplace变换及性质求逆变换。.利用微分性质推导 Ltm, Lcoskt, Lsin kt4.例 1：解微分万程：y (t)y(t) 0,y(0) 0, y (0)例 2：求 f (t) tsin t 的 Laplace 变换例 3：求 f (t) t2 cos21 的 Laplace 变换例4：求f (t)； 的Laplace变换例 5：求 f (t) te2t, e3t cos2t 的

11、 Laplace 变换1例6：求 F(s) 4的Laplace 班交换(s 2)作业P.136 1. (1) (3) , 2. (1) (2)教学 小结课题(项目)Laplace逆变换课时课地占八、阶东1-2授课时间20XX年4月16日，第10周，周一第1-2节学标法段教目方手教学目标：掌握Laplace逆变换的求法教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体教学重点：掌握部分分式法求 Laplace逆变换。7少 教学难点：F(s)分解成分式之和，用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace 难点逆变换。. Laplace逆变换的定义。.查表求Laplace逆变换。.利用部分分式求Lapla

12、ce逆变换。ss. 例 1：求 f(s) 力,fLaplace 逆变换教学过程与内容s 16 s 4s 13s2：求 F(s) -的Laplace 逆变换s2 s 21例3：求 F(s) =的Laplace 逆变换s2(s 1)5.练习求F(s)11s(s 1)，s(s2 2s的Laplace逆变换 2)作业6.用卷积求Laplace逆变换P.138 (3) (4)教学 小结(器)Laplace变换的应用课时2课地占 八、阶东1-2之20XX年4月18日，第10周，周三第56节时间学标法段 教目方手教学目标：掌握用Laplace变换解微分方程，了解线性系统中的传递函数。教学方法：课堂讲授教学手

13、段：板书，多媒体重点 难点教学重点：用 Laplace变换解微分方程。教学难点：用Laplace变换解微分方程。教学 过程 与 内容掌握利用微分性质把微分方程通过Laplace变换，转化为Y(s)的线性方程。.求出 Y(s)。. y(t) L 1Y(s)。. , 十 例 1.求解微分万程：x (t) 2x(t) 2x(t) 2et cost, x(0) x (0) 0 x (t) x(t) y(t) et ,x(0) y(0) 1例2:求解微分方程组： 一八， ty(t) 3x(t) 2y(t) 2et.线性系统的传递函数作业P.141 1.(1) (2)教学 小结课题（项目）10.1行列式的

14、概念课时授课地点东阶1授课时间20XX年4月23日，第11周，第56节学标法段教目方手重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值行列式的计算教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简 单行列式的方法。会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的 数值。4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体

15、、板书演示。（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法:考虑二元一次线性方程组利用消元法，当a11a22b1a22a12b2X1a11a22a12 a21aiixia21x1a12a21X2a12x2a22X20时,a11b2 b2得到上述方程组的解为a11a22a12a21可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积.但这个公式教学过程与内容很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示（2）这个结果，这就是行列式的起源。（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号a11%a21a22aa22a21a22为二阶行列式。其中的数aj（i, j 1,2）称

16、为该行列式的第i行、第j列元素。（横排称为行列式的行，竖排列称为行列式的列）。为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式:=0口厘期一摩广门为说明几个问题 1）它含有两行，两列。横的叫行，纵的叫列。行列式中的数叫做行列式的元素。2）从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线（又叫行列式的主对角线）上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的 对角线（又叫次对角线）上两个元素的乘积，取负号。练习：3 24 -1(-3)-8 -11根据定义，容易得知上述方程组解（2）中的两个分子可分别写成b1a22a12b2b1b2a12a22a11b2b1 a21a11

17、a21b1b2如果记:a11a12D1a 21a 22b1b2a 12a22D2a 11a 21b1b2则当A 0时,方程组（1）的解（2）可以表示成D1 Db1a12b2a22x2 HYPERLINK l bookmark317 o Current Document a11a12a 21a 22D2 D HYPERLINK l bookmark253 o Current Document anb1 HYPERLINK l bookmark319 o Current Document a21b2a11a12a 21a 22象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆。 定义7.2由9个数组成

18、的记号a11a12a13a21a22a23a31a32a33称为三阶行列式，其中aj（i, j1,2,3）称为三阶行列式的元素。它表示的代数和为:01a12a13a21a22a23a31a32a33a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a21a31a11a23 a32a12a21a33用对角线法则表示为:这里的实线是主对角线，记正号，虚线是次对角线，记负号；而且在形式上，只是 在原行列式的右边重新加上了第一列和第二列，且顺序不变。三阶行列式的特点：1、共有6项，三项正，三项负；2、每项由三个元素相乘，每个元素取自不同行，不同列；如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，

19、则每一项元素的列标排列分别为 123, 231,312 以及321,213,132, 恰好是1、2、3这三个数 的所有可能的排列，即有 3! =6种排法。设有三元一次线性方程组anXa12X2a13X3b1a21X1a22X2a23X3b2(1)a31X1a32X2a33X3b3a11a12a13bia12a13a11bia13记Da21a22a23,D1b2a22a23,D2a21b2a23a31a32a33b3a32a33a31b3a33a11a12biD3a21a22b2,则当D 0时，可以证明方程（1）的唯一解为a31 a32b3D1D2D3X1-, X2 - , X3 DDD练习2

20、:利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组2X1 3x2 3x3 0X1 4x2 6x3 13x1 x2 x3 22系数行列式D 133346 ,按照对角线法则得110332 0323 0同理可得D11466, D21 1619, D314115.2113 2131 2于是方程组的解为xD1D2D3, X2, x3，即X13,x2空，X3受DDD488o2、余子式、代数余子式 (1)余子式定义10.1在三阶行列式中，删去元素aj(i,j余下的二阶行列式称为例如在三阶行列式中aia2ia3i(2)定义1,2,3)所在的第i行,第j列后,a12a13a22a23a32a33代数余子式10.2 aj(

21、i, j元素aj(i, j 1,2,3)的余子式,中元素a23的余子式是 M2,3记为a31Mja (i, j1,2,3)。1,2,3)的余子式乘以(-1)ij所得的积称为aj的代数余子式，记为 Aj,即Aj( 1)i jMj(i,j 1,2,3).如a23的代数余子式A32( 1)3 2 M32a13a21a23,a2I的代数余子式是A21( 1)2电1a31a33特别地：二阶行列式的各余子式都是一阶行列式,即只有个元素。例10.3证明三阶行列式等于任一行各元素与其代数余子式乘积之和。a11a12a21a22a31a32a13证明：设 Da23a33为任意的三阶行列式，则三阶行列式的定义得:

22、D(a11a22 a33a11a23 a32 )(a12a21a33a12a23a31)(a13a21a32a13a32a31)=刖a22 a23a32a33a21a23a31 a33nDajAij(i1,2,3)j 1a13a21a31a22a32=a11A11a12 A12a13 A3按照第一行展开。事实上，可以证明，行列式可以按照任一行或列展开。介绍。）3、n阶行列式定义10.3 将n n个数（也称为元素）左右两侧各加一条竖线得到的记号（后面内容再耳j (i, j1,2,1|,n)排成 n 行n 歹U,a11a12a1na21a22a2nnnaij ( 1)aijAjj 1j 1an1a

23、n2ann,它表不nDnMj称为n阶行列式（简称行列式）例10.4 计算四阶行列式解：由行列式定义（1 1D 2 (-1)并在(10.9 )n个元素按一定的规则构成的乘积和。-4-1-1(-1) (-1)11=-843-2-3-510.9)式得-1(-4)（-1）1-2-3-5-3-3-55 (-1)1 34、几种特殊的行列式（1）对角行列式在n阶行列式中，若有aij0,ia1107 (-1)114 -3-2-3j(i，j0 ni1,2,|,n）,则称为对角行列式，即ann该行列式的主要特征是：主对角线以外的元素全为零.（2）三角行列式1）上三角行列式在n阶行列式中，若有aj 0（i j,i,

24、j 1,2j|,n）,则称为上三角行列式，即aiia12II ain0a221霓111ii1j.00 1ann该行列式的主要特征是:主对角线下方的元素全为零. 2)下三角行列式在n阶行列式中，若有a。0(i j,i, j 1,2,HI，n),则称为下三角行列式，即all0ill0a211a22 iHl01an1an2niann主对角线上方的兀素全为零.该行列式的主要特征是:an0 I 0例10.5证明卜二角行列式a2111a22|41 0a11a22ann1an1an2|ann证行 列 式 定 义 10.9由a11a22a320a3300a11 a22a33a430a44000a11a22an

25、n.an1an2annan1an2ann说明：下三角行列式的值等于其主对角线上的元素之积。同理，可证：上三角行列式的值也等于其主对角线上的元素之积。 即：三角行列式的值也等于其主对角线上的元素之积。（二）小结并布宜作业。作业习题 10.11.(4) (5)2.(1) 3.(1).教学 小结1、本节课涉及到的概念比较多，课后要多多看书，加以理解。2、关于行列式的计算：一般地，利用对角线法计算行列式的值一般仅限于二阶或二阶， 其他高阶的通常利用行列式定义10.9,反复利用“行列式等于任一行各元素与其代数余子式乘积之和”，将高阶的行列式逐渐降阶，直至二阶后再计算。课题（项目）授课地点10.2行列式的

26、性质和克拉默法则阶东1-2授课时间课时 220XX年4月28日，第12周，周一，第1-2节教学目标：1、理解转置行列式的定义，掌握行列式的性质，能较为熟练地运用这些性教学 目标 方法 手段质化简并计算行列式的值，并掌握计算行列式值常用的两种方法：降阶法和化三角行列式法。2、理解行列式按行（列）展开定理，掌握行列式降阶思想，会利用行列式按行（列）展开定理将任意一高阶行列式降阶。3、掌握Cramer法则，会用Cramer法则求解线性方程组的解，会判断齐次线性方程组有无零解。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示相结合。重点教学重点：行列式的性质行列式按行（列）展开定理

27、及其应用 Cramer法则的应用难点 教学难点：行列式按行（列）展开定理行列式的计算（一）复习回顾1、前次作业讲评。0 0 0 5 50 0 4 1 02、计算行列式0 3 2 0 02 3 0 0 04 0 0 0 1（二）新课讲授由刚才的计算，大家都已经感觉到当行列式的阶数较高时，仅靠利用行列式的定义往往会相当困难，为了简化计算，下面学习行列式的性质和公式化求解含有n个未知量n个方程的线性方程组的公式化解法。教学过程与内容1、行列式的性质定义7.5 将行列式D的行与对应的列互换后（第 i行（列）对应地换为第i列（行），（i 1,2,., n）得到的新行列式，称为原行列式 D的转置行列式，记

28、作DT。即：&1a12anana21am若Da211，Hla2 n，则DTai2 1a22lb an21p11.11*P1an1an2IIIannaina2nIII ann性质1行列式与它的转置行列式的值相等，即 D DT。这个性质说明了：行列式中行与列的地位是等同的.因而，凡是对行成立的性质, 对列也成立；反之亦然。性质2互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。引入记号：ri rj（cicj）表示交换行列式的1/两行（列）。aia12a1, ja1n.ai 1,1.ai 1,2.ai 1,j.ai 1,nai,1a ,2.a. f, j .a. f, n.an1.an2.a.Jn,

29、j.ann例如:a11a12.a1,j.al n.ai ,1.ai,2.a ai ,j.ai ,nai 1,1ai 1,2.a. i 1,j.ai 1,n.an1.an2.a. n,j .ann推论1如果行列式有两行（列）的对应元素相同，则该行列式的值为零。1 0 01 0 01 0 01 2 3,对换第二、三行有D1 2 31 2 3D D1 2 31 2 31 2 3例如，D0。性质3 行列式的某一行（列）的所有元素乘上同一数k ,等于用数k乘此行列式。k)。引入记号：行列式的第i行（列）乘以数k ,记作ri k （或c推论1行列式的任意一行（列）的各元素的公因子，可以提到行列式符号的外面

30、。SI12a1J2Mn2a a.Jn nkauan1 1ma I=aaa =ainnaa引入记号：行列i行（列）式的第i行（列）提出公因子k可记作ri k （或g k）。推论2 如果行列式的某一行（列）的元素都是零，则该行列式的值为零。性质4如果行列式的某两行（列）的对应元素成比例，则该行列式的值为零。性质5如果行列式某两行（列）的元素为两个元素的和，则该行列式可以拆分成两个行列式之和。即若1 a 1ai2 LH aII/ In naaa2u unnana122i2n2 a UH a UH an n n M a1%nain am 3n2 2 2 aaa2 a 2an则 DD1D2性质6行列式某

31、一行（列）的各元素的 对应元素上，行列式的值不变。k倍（k为常数），加到另一行（列）的kc j) o引入记号：以数k乘第j行（列）加到第i行（列）上去，记作ri krj （ciDa1 j A1 ja2j A2janj Anjak1 Ailak2 Ai2aknAn 0 (i k,1 i, k n)2、（性质7）行列式按行（列）展开重要定理：设n阶行列式Da11a2a1na21a22a2n则（1） D等于它的行（列）an1an 2ann的各元素与其对应的代数余子式乘积之积。即Da.A1ai2A2ain Ain(i 1,2,3, ,n)注意：ri krj不能写作krj ri|,它们含义不同;或(j

32、1,2,3, ,n);（2） D中任一行（列）的各元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于零。或aikAj a2kA2jankAnj 0 （i k,1 i,k n）。此定理说明，行列式可以按任意一行（列）展开。指出：在计算行列式值时利用这些性质可以简化行列式的计算。3、行列式的计算（1）行列式的计算方法1）降阶法：用性质将某行（列）的元素尽可能多地化为零；按此行（列）展开行列式，即降一阶； 反复、步，直至所有行列式降至三、或二阶，最后算出值。解：按第二列展开(-2)4 6 -34 2-77 9 1-7 2-65 5 55 0 03 2(-1)406 -37091计算四阶行列式D-8-271

33、05055例120按第三行展开 2 5(-1)3 12 7 10 (-12 14) 2 -60abaa0abba0aaba0例2计算行列式D分析：该行列式的特点：每行（列）的元素之和都为2a b;因此将各元素都加b）,再利用性质尽量将第一列中的元素化为零，按2ababa2ab0abD2aba0a2abba0到第1列上，再提取公因子（2a 第一列展开。解：aba0aba0aba011(2a b)111aba0aa bb a00b00b aa baa(2 a b) 0 b aabbab 0a b aa(2a b)( b)b a-22(2a b)( b)a (b a)222b (b 4a )2）化三

34、角形行列式法用性质将行列式化为上（下）三角形行列式;行列式的值即为主对角线上所有元素之积。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark291 o Current Document 31-12例3计算行列式D-5 13 -4201-413-120-84-6021-1016-2713-121-53 -4021-1-513 -31-5 3 -331-12解：D-5 13 -4201-41-53-313-120-21-10-84-60 16 -2 713-120 21-10 0 8 -100 0 10 1513-120 2 1-10 0 8 -100 0 052512 8 4

35、02 TOC o 1-5 h z 31-12练习：计算行列式 D(D 40)-543 -4201-11-53-3卜面用行列式来解线性方程组4、克拉默法则 1）克拉默法则定理10.2 （克拉默法则）设含有n个方程的线性方程组为a11X1a12X2b1a21X1a22X2a2n Xnb2(10.10 ),an1X1an2X2ann Xnbn11&2a1n如果系数行列式 Da21a22a2n0,则方程组有唯一解an1 an2annID1D2Dn|X1, X2, Xn1 DDD其中 Dj(j 1,2,素用方程组的常数项 b1,b2, bn代替后所得到的,n）是把D中是第j列元2X1X25X3X48X1

36、3x26x492x2X32x45X14x27X36x40n阶行列式。例4解线性方程组211527解：因为系数行列式 D所以,又D1D3由克拉默法则得方程组有唯一解,所以得方程组的唯一解为D1D2X13,x2DD2）齐次线性方程组的定义4,81, D227,D410827X3D3 D1,X4D4D1.anX1a12X2a1 n Xn0a21X1a22X2a2nXn0若线性方程组（10.10）的常数项均为零，即(10.11 )anlXi an2X2annXn0则称为齐次线性方程组。显然线性方程组（10.11 ）的行列式Dj 0（j 1,2, n）,于是当方程组（10.11 ）的系数行列式D0时，由

37、克拉默法则得它有唯一解：xj 0（ j 1,2, ,n）特别地：由全部零解组成的解称为零解。由此得到下面推论推论如果齐次线性方程组（10.11 ）的系数行列式 D 0,则该方程组只有零解（即没有非零解）。也就是说：若齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式D 0。系数行列式D 0 0齐次线性方程组（10.11 ）有非零解。例5判断齐次线性方程2X1X3X3X300 ,是否有非零解。03X1X12x22x2解：因为系数行列式D230 12 120321211212 -1-2 0-2 -2-2-4 0,所以方程组没有非零解，只有零解，即X1X2Xn 0。X1X2X30练习： 当为何值时，方程组X1

38、X2X3 0有非零解?X1X22X3 0（三）课堂小结并布置作业作业P159 习题 10.21、（1）（4）3、（1）5 、（1）教学 小结本节课的内容较多，与实例结合学生更易理解，课后还应加强练习，已达熟练和 巩固之目的。课题（项目）矩阵的概念及其运算课时2授课 地点东即12授课 时间20XX年5月7日，第12周，第56节学标法段 教目方手教学目标：1、了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。2、理解矩阵的概念及其相关的行、歹h元素、等知识，理解特殊矩阵如方阵、行（列）矩阵、零 矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、相等矩阵及负矩阵的概念。3、掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，理

39、解矩阵数乘时，满足的交换律和结合律，明确矩阵乘法 运算时，满足的条件，理解矩阵乘法不满足交换律。4、理解矩阵的转置、方阵的行列式的定义，会求矩阵的转置、方阵的行列式。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示。重点 难点重点：矩阵的概念及其相关定义的理解与运用矩阵运算法则难点：矩阵乘法、引入1.表一一矩阵:1、表一一矩阵例1某地区计划建筑甲、乙、丙三种不同标准的房屋，预计每1000平方米需用水泥、教学过程与内容房屋标准水泥钢筋木材甲19219乙18214丙120.327钢筋、木材的数量如表所示:我们把表中的数据按照原来的位置排列出来，就把材料表简写成一个形式：即192

40、1918214120.327O同样的，对于一个几何图形“矩形数表”的2.图一一矩阵2、图矩阵CA B C D01 1 0101011 010 01 0-011 01 01 011 010 010说明：一个几何图形或表格都可以用一个n个数排成的m行n列，并用方括弧（圆括弧）构成的一个数值表来表示，这样原来的图形或表格就可以用数来研究了。二、矩阵的概念 1、矩阵的定义定义10.5 设有m n个数aj (i 1,2, |U，m； j 1,2|n)排成 m 行 n 歹U,并用方括弧（圆括弧）表示的矩形阵表 就称为一个m n矩阵，其中aj 称为第i行第j列元素，横的各排称为矩阵的行, 纵的各排称为矩阵的

41、列。a11a?2am 1元素aaa12a1 nam1行标列标矩阵通常用大写字母 A,B,C表示，也可用其元素(aj ),(bj)表示。为表明矩阵的行数和列数，矩阵也可简记为：aij几点说明若A(aij)mn,B(bj)st,且ms,n t,则称两矩阵同型；即两矩阵的行数和列数相同，但各对应元素均不相等的两个矩阵叫做同型矩阵。若A(aij)m n ,B(bj )m n ,且aij bj ,则称两矩阵相等。即两矩阵的行数和列数相同，且各对应元素都相等的两个矩阵叫做相等矩阵，记作A Bo1131132 0 2与2 0 2相等即有 TOC o 1-5 h z 201 HYPERLINK l bookm

42、ark287 o Current Document 123如：与同型； HYPERLINK l bookmark154 o Current Document 122113113202= 202 HYPERLINK l bookmark138 o Current Document 110练习1：设矩阵A abb5, B201a b 1 05 b 5 ,且 A B ,求：a,b201a b 1 05 b 5，由定义得:20 1 HYPERLINK l bookmark173 o Current Document 110解：因为A B,即有 abb5201a b 1,a b 5,解得 a 3,b2。

43、练习2P.168 习题10.3 12、几种特殊的矩阵 设有矩阵A (aj)mn.(1)方阵 当m n.即矩阵的行数等于列数时,称此矩阵为方阵。方阵的行数(列数)(2)(3)(4)(5)单位矩阵(6)对角矩阵作：En ,简记:阶单位矩阵，即:称为矩阵的阶数。aii,a22,|,ann的直线称为n阶方阵的主对角线，从右上角到左下角的对角线称为 次对角线。零矩阵一一m n个元素全为零的矩阵，称为不同的零矩阵未必相等的!行矩阵一一只有一行的矩阵,列矩阵一一只有一列的矩阵,零矩阵。记作:0m n称为(&称为hb2行矩阵，记作:a2 an )1 n列矩阵，记作:主对角线上的所有元素全为1,其余00不相等。

44、儿素全为零的备 1(i 12111, n),且：aij0(i j;i, j主对角线下方(上方)的各元素均为零的方阵，称为矩阵。上三角矩阵和下三角矩阵同称为三角矩阵。即n阶方阵称为n1,2,| ,n),记a11a12a13a1n0a22a23a2n00a33a3n或000ann上ai000a2ia2200a3ia32a330anian2an3ann负矩阵在矩阵A(aj )m n中各元素的前面都添加一个负号所得到的矩阵称为A的负矩阵,记作:A ( aj)mn。练习:城市伦敦墨西哥 城纽约巴黎北与东京伦敦05 5583 4692145 0745 959墨西哥城5 55802 0905 7257 75

45、37 035纽约3 4692 09003 6366 8446 757巴黎2145 7253 63605 1206 053北京5 0747 7536 8445 12001 307东京5 9597 0356 7576 0531 3070-(3)某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下，用矩阵表示。初赛复赛甲8090乙8688用矩阵表示线性方程组2x 3y(4)3x 2y80 9086 88mz 1中未知数x,y,z的系数。4z 2(5)观察下图，这是一个有三个点 形的结构。A、B、C连接构成的图形，请用矩阵表示这一图(6)某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市 A,B,C送

46、煤的量分别是200万吨、240万吨160万吨；从乙矿区向城市 A,B,C送煤的量分别是 400万吨、360 万吨、820万吨。请设计一个矩阵来表示这些数据。指出：矩阵和行列式是两个不同的概念，行列式表示的是一个算式，一个有数字组成的行列式通过计算可以求得其值；而矩阵表示的仅仅是一个数表，它的行数和列数可以相同，也可以不同，它不可以计算，因此它没有值的概念。注意不要混淆。3、矩阵的运算(1)矩阵的加、减法1)定义10. 7设有两个m n矩阵，A (aj)mn, B (bj )m n,将它们的对应位置上的元素相加 (减)，所得到的m n矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和(差)，记作:A B (A B),

47、A B (abj)mn TOC o 1-5 h z ,2 44 o例已知A=, B=2，求A+B与A B1 3263注意：(1)矩阵的加减法运算要求两个矩阵必须行数和列数相等。(2)必须是对应位置上元素相加减。(3)矩阵加减法运算的结果仍旧是矩阵，而且与原来的矩阵行数和列数相等。2)矩阵加法满足的运算律:A B B A (交换律)；(A B) C A (B C)(结合律)； A 0 A；AA_0例i (调运方案)设某种物资由3个产地运往4个销地，两次调运方案分别见表1和表2.第一次调运方案(单位：t)表1产地 S2S3S4甲3752乙0214丙1306第2次调运方案(单位：t)表2产地-S1S

48、2S3S4甲1012乙3243丙01523 7 5 2若用A, B两个矩阵表示各次调运量A 0 2 1413 0 610 12B 3 2 4 10 15 23 7 5 2A B 0 21413 0 610 123 2 4 10 15 24 7 6 43 4 5 514 5 8则两次从各产地调运该物资到各销地的运量之和为例2 (库存清单)矩阵S给出了某家具商店二月份各种沙发、椅子和餐桌的订货量，从生产车间运到商店的家具有三种款式：古式、普通、现代，矩阵T给出了一月末仓库中家具数量的清单：解(1) S中的10表示二月份古式椅子的订货量为(2) 因为10(2) T S 3015古式普通现代 TOC

49、o 1-5 h z 沙发201S椅子1024餐桌246(1)矩B$ S中10代表什么意思？(2)计算T-S,并解释其实际意义？古式普通现代沙发12 10 15T 椅子 40 15 17 餐桌17 42 1810张;10 1413 1338 1212例3已知：31它表示二月末仓库中各种家具的库存量。x22 z,求：x, y,乙w的值。7 yw2解：由已知条件，有:1x2(2)3 71 71 x 2,则：2 ( 2) z,1 y(2)数与矩阵的乘法w,2.解得：y z1, 1, 4,4.1)定义10.8 用实数k乘矩阵(aj )m n的每一个元素所得的矩阵,称为婺k与矩阵A的积，记作:kA,即kA

50、 k(aj)mnka11ka21Ikai2ka22kanka21(k2j )m n2)数乘矩阵满足的运算律1A A；kam1kam2 I kamn m nk, p为任意实数k(pA) (kp)A；k(A B) kA kB；(4)(k p) A kA pA；3)举例应用(1)已知3A解： 3A101A。 21210122418302A(2)房屋开发计划10一房屋开发商在开发一小区时设计了A、B、C、D共4种不同类型的房屋.每种类型的车库又有三种设计：没有车库，一个车库，两个车库.各种户型的数量如下:A B C D无车库8600一间车库5 4 3 0两间车库0356如果开发商另有两个与之同样的开发

51、计划，请用矩阵的运算给出开发商将开发的 各种户型的总量.解 房屋开发商正要开发的一个小区的户型可用矩阵表示为8 6 0 0、力二 5 4 3 0（0 3 5 6）因为该开发商还有两个与之一样的开发计划，所以该开发商将开发的各种房屋的总 量可用矩阵表示为6 0 024 1800B = 3A = 35 4 3 0 = 15 12 900 3 5 6J 109 15 18J练习i解甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和由矩阵F表示为F 3A 2B 31510121524211016171314302714211617说明：以上矩阵的 加法与数乘矩阵合称为矩阵的(3)矩阵与矩阵的乘法10.9设

52、A (A)mB (aij)sncijanbi jai2b2jUI aisbsjsak bkj(ik 1(Cij )m nak bkj(ik 11,2,|,m;j 1,2,|,n).称为矩阵 A与矩阵 BAB.2）几点说明相乘条件:左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数；相乘方法:乘积C矩阵的元素Cij等于左A的第i行与右B的第j列的对应元素乘积的和）相乘结果：一乘积C矩阵的行列数，分别取自 左A的行数,右B的列数。3）应用举例已知解:AB同理:BA此例说明：ABBA；Cm nAm s Bs n ,求:ABBA。2)0, B(2)(2)2) 34 30,但2)2)2 (2) 22) 14 1BA 0。即：两个非零矩阵的乘积可能等于零矩阵!（此不同于数字乘积的规律）已知解:AB求:AB,BA。BA无法计算!因为矩阵 在。此例说明:B的列数为两个矩阵2,矩阵A的行数为3,所以不符合矩阵乘法的条件，故BA不存设矩阵A解:ACBC此例说明:AC例4设矩阵A证：A