必修五一元二次不等式及其解法题型归纳学生版

1、必修5 一元二次不等式及其解法【知识导图】T基地知识卜:-元二次不等式的觑叶裁巴上)一元二次不等金的胡罪的尉念及 三个“二次(之间的关系pT -元二次不等式及量就法H 一元三因不再看的策去HT基本愚空”三个一出”为系的应用1匚一元二欠不等式的实际芯冢司里的昌次不器式的解法H含卷触一元二窗不等式的京口H%号砂的元二至不再森病分式不等式的第去背平高次不等之福主T不等式梢成匚施【目标导航】.了解一元二次不等式的概念；.掌握一元二次不等式的解集，会解一元二次不等式；.会解能化为一元二次不等式的分式不等式；.理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系 .会求解方程根的存在性问题和不等式包成立问

2、题；.会解含参数的一元二次不等式.【重难点精讲】重点一、一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2)形式：ax2+ bx+ c0(aw 0)；ax2+ bx+ c0(a0)；ax2+ bx+ c0(aw0)或 ax2+bx+ c0或f(x)0),方程 ax2+bx+ c=0 的判别式 A= b24ac判别式A= b24ac20A= 0&0解/、等式f(x)0 或 f(x)0 x|xx2b x2aRf(x)0 x|xix0 与(x+ 1)(x+ 3)0 等价吗？-0 与(2x 1)(x+ 2)0? f(x)g(x)0,

3、f70? f(x) g(x)0? g x g xf x g xg x W0.0,f x =0f(x) g(x)0 或g x W00?f x g xg x W0f x =0f(x) g(x)2,1x2, x1不同情形下，y值的符号变化情况.(2)考查函数y=(x1)2(x+ 3),当x-3, 3x1时，y的取值正负情形.你发现了什 么规律？高次不等式：不等式最高次项的次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法将f(x)最高次项系数化为正数；将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方

4、根穿而不过，奇次方根穿过)；观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集.【典题精练】考点1、一元二次不等式的解法例1 .求下列不等式的解集.2_81 一(1) 3x 5x 2 0;(2) 4x 18x 0；42,、1 2(3)2x 3x 2 0;(4) 2x 3x 5 0.解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为 0的形式(习惯上二次项系数大于0).第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根.第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中.第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集考点2、 三个二

5、次”关系的应用例2.已知不等式收二一3七+6 A 4的解集为(工僮 1或r Ab.(1)求见S; (2)解关于篁的不等式n/-(ue +加 0归纳：1.一元二次不等式ax2+bx+ c0(aw0)解集的端点值是一元二次方程 ax2+bx+ c=0的 根，也是函数y= ax2+bx+ c的图象与x轴交点的横坐标.2.注意灵活运用根与系数的关系解决问题.考点3、一元二次不等式的实际应用例3.某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求 14500 60 x 120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 x 100 升. 5x(1)欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值

6、范围；(2)求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数，并求y的最小值.考点4、含参数的一元二次不等式的解法例4.【广西贺州市2018-2019学年高二上学期期末】解关于x的不等式2_ax (a 1)x 1 0(a R).解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论;若求对应一元二次方程的根，需对判别式A进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.考点5、分式不等式的解法例4.解关于x的不等式咄 0 x 2考点点睛：.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解， 但要注意分母

7、不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分 (一般不要去分母)，使之转 化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.考点6、简单高次不等式解法例6 .【上海市华东师范大学第二附属中学 2016-2017年高一上学期第一次月考】 关于x的不等9992,x 3 x 2 x 1式而5而L 0的解集为.x 1 x 4穿根法求高次不等式的解集：(1)求解过程概括为：I化正I? I求根I? I标根I? I穿根I? I写集I(注意端点值能否取到).(2)化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值.奇(奇次根)过，偶(偶次根)返回.考点7、不等式包成立问题例7.已知函数ym2 4m 5x2 4

8、(1 m)x 3 0对任意实数x包成立，则实数m的取值范围是.a0 水0a0A0a0 水0a0(a*0恒成立(或解集为R)时，满足(2)ax2+bx+ c0a*0恒成立(或解集为R)时，满足(3)ax2+bx+ c0(a*0恒成立(或解集为R)时，满足(4)ax2+bx+ cWOawO恒成立(或解集为R)时，满足2.含参数的一元二次不等式包成立.若能够分离参数成kf(x)形式.则可以转化为函数值域求解.设f(x)的最大值为M,最小值为m.(1)kf(x)恒成立？ kf(x)恒成立？ kM, k耳(x)恒成立？ kW.课后训练(2019年兴庆区校级月考)不等式 6x2+x 200的解集为.(2019年北京模拟)设a-1,则关于x的不等式a(x-a) x-1 0的解集为.a(2019年合肥期中)已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是x x，,贝U ax2 bx+ c0的解集为.若集合 A=x|102x+1&3 , B= x x0,则 APB 等于（）xA. x|-1x0B,