广东省湛江市2021届高三一模数学试题(含答案解析)

1、湛江市2021年普通高考测试（一）学 2021.3注意事项：L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上.写在本试卷上无效。.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知（jA）nB=0,则下面选项中一定成立的是A.AAB=A KAnB=B C.AUB=B D,AJB=R.中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生

2、级别最高、规模最大、最具影响力的数学 竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备,对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得 分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为A. 85.757123445578345556B. 85,76C. 74,76D. 75,77.已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是A. 647rB. 48kC. 32ttD. 16n.将函数/（工）=sin1的图象上所有点的横坐标变为原来的Q0）,纵坐标不变，得到函数 g（z）的图象，若函数g（z）的最小正周期为6k,则A.卬=B.s=6C.D. u）3OO,已知等比数列4）的前项和为S.

3、,则“SI1SJ是“储单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充要条件D.既不充分也不必要条件.已知抛物线C：工Zn-zrySAO）的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线y = 2。的距寓 是M到C的准线距离的2倍，且| MF| = 6,则p=A.4B.6C.8D. 10.已知 a=3. 203 ,6=log25,c=log32,则A acB. c4aC. c。D, abc.已知椭圆C常+ = 1（心0）的左、右焦点分别为B，Fz,过B的直线交椭圆C于A,8（；MI市2021 洛通扁尤测）数学笫I页（共I负）【潮江市2021年普通高考测试（一）数学 第3页（共4页）】【泡江市2O

4、21年鬻池高匕川溪（）数学 第2而（K i贞）两点，若丽硝=0,且IBFJ , I AB|, |AFz|成等差数列，则C的离心率为人孝C.D.yC4J/二、选择电本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小时给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.若发数器=6-1,则A. |n|=2B, LI =4C z 的共粗要数=+iD.? = 4-273i.已知（1-2上严 1=。+。工+。27+W？+，” +。21产”喇A.展开式中所有项的二项式系数和为R展开式中所有奇次项系数和为二二1C展开式中所有偶次项系数和为哼二1 4r.号+翁+翁+.+舞=_.

5、已知函数/（工）=13-31nh一 1,则儿/Cr）的极大值为0R曲线y=/（z）在CL/（D）处的切线为工轴C./G）的最小值为0D./G）在定义域内单调.在梯膨ABCD中，人B=2AD=2DC=2CBBQC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不敢合）,E,尸分别为线段AB,AC的中点,“在克线DCJt,那么在翻折的过程中A. DC与平面A加所成角的此大值为半R F在以E为圆心的一个定圆上C,若BH_L平面八DC则用=3 C77D.当AD_L平面BDC时,四面体CABD的体积取得最大值三填空题;本题共4小脱，每小题5分，共2。分.一条与直线工一2y+3=0平行且距离大于西的直线方程为_A_.M

6、.若向员 a,b 满足 |a|=4,|b|=24,（a+b） a = 8,则 a,b 的夹角为,|a+b| =.（第一空3分,第二空2分）15.若某商品的广告费支出”（单位:万元）与销仰额y（单位:万元）之间有如下对应数据：X24S68y2040607080根据上表,利用最小二乘法求得y关于工的回归直线方程为5=段+1.5,据此预测,当投人 10万元时，销押领的估计值为 万元.16,已知丁=/（幻的图象关于坐标原点对称，且对任意的工6R,/（1+2）=/（一工）恒成立，当 一】0时，/（6=2,则 ”2021）=.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步琳.（1

7、0 分）如图,在平面四边形ABCD中,AD_LCD，NBAD=,2AB=BD=4.求 cos/ADB；若BC=v，求CD. （12 分）巳知数列满足2a. = 3a.+i 一=L . （D证明:数列。小一4是等比数列，（2）若小=4，求数列&）的通项公式.（12 分）如图，平面 ABCDL平面 ABE,AQBC,BULAB,AB=BC=2AE=2,F为CE 上一点，且BF_L 平面 ACE.证明:AE_L平面BCE,（2）若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60二求AD.【湛江市2021年普通高考冽试(一)数学 第4页(共4页)20. (12 分)某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天

8、安排一项活动，活动安排表如下3时间周一周二周三周四周五活动项目篮球国画排球声乐书法要求每位学生选择其中的三项,学生甲决定选择篮球，不选择书法，乙和丙无特殊情况，任选 三项.(1)求甲选排球且乙未选排球的概率；(2)用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期里.2L(12 分)已知双曲线C：营一 = 1(,60)的左右焦点分别为月(一一0),五2(。，0)，其中。0, M(c,3)在C上,且C的离心率为2.(1)求C的标症方程；(2)若O为坐标原点,NBMFz的角平分线I与曲线Di+ = 1的交点为P,Q,试判断 OP与OQ是否垂直,并说明理由.22.(12 分)已知函数/G

9、r) = eSgG)=勿z+l.(1)若/Cz)gCz)但成立，求a的取值集合,若a0,且方程/(x)-g(x)=0有两个不同的根皿心z，证明:吗巡Vin 2a.【湛江市2021年普通高考测试（一）数学参考答案 第 页（共5页）】湛江市2021年普通高考测试（一）数学参考答案1.B 因为（CRA）nB=0，所以 BUA,贝2.B因为出现次数最多的数是85所以众数为85；从小到大排列，中间两个数为75,77.所以中位数为牛打 =76.C由题意可知该圆锥的底面圆半径为4,母线长为8,则该圆锥的侧而积是,X2/X4X8=32兀A由题意可知（/） = 6沿3*.因为小工）的最小正周期为6代,所以丁=现

10、=6兀,得侬=4. U）OD 设凡）的公比为q,若Sn+S”，则*尸S“+i-，=qW0,所以可能的01或m0,0VgVh 若田四+】恁05门5,故选。.A 设。（才0,30,由 2/*=2（一），得 y0 =p.因为 |MF| =等+2=6,所以 /=4. 乙WA 因为 1V3. 2。 V3. 205V2,lo&5bg24=21ogj2Vlog33 = l,所以 bac.A 设IBF21 =4 IAB|则AF21 =i+2d,因为加而=0,所以NABF2 = 90,则/十 （j十4）2 =殳+2冷2, 解得.r=3d.由椭圆的定义知A8B的周长为3,则4a = 3/+3d=12乩所以a =

11、3d=BF2 |.在直角BF?凡中.2 =4/ .即。=侬，故C的离心率为等.AC 因为 2=万7,所以 k| = y（V3）2+21 _ 1+得。+2+。4+做谢=： ,故C正确.令久=0 ,得%=1.令 1=1，得 0=o+i X+sX （+2）2i 乂（+）到,所以卬入+ +%乂（+）?+2021 X（4）221 =一的=1,故D正确.BC因为/（工）=3/一 = 3（-D（比+/l） ,所以八4在仙）上单调递减，在（匕+8）上单调递增, 所以/（#）在7=1时取得极小值.也是最小值无极大值.因为/=0/=0,所以曲线y=/Cr）在（1. /（D）处的切线即为1轴.ACD 如图,在梯形

12、ABCD 中，因为 ABCQ,AB=2AD=2DC=2CB,c， H所以易得 ADDBrZDAB=f，ZBDC=ZDBC=f.幺克岑，在将BDC沿RD翻折至BDC的过程中,/BDC与NDBC的大小保持不,二飞、变，由线面角的定义可知,DC与平面ABD所成角的最大值为玄，故A正确；EB因为NDBC大小不变，所以在翻折的过程中,。的轨迹在以8D为轴的一个圆锥的底面圆周上，而EF是ABC的中位线,所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上, 但此圆的圆心不是点E,故B不正确；当 即七1_平面ADC时出因为，所以 区=改:=28或0V2）（写出符合条件的一条直线方程即可）设与直线 l2+3 = 0平行的直线

13、方程为114.于；2片 设的夹角为6因为（。十。）。= |。|2十。 8=8旦|。| =4,所以a b=S.因为=4. |b|=2，所以 cos (9=T7nli =HI b 4X2&冬故片苧,|小|矶叶2+2ab=8,|a+W=2夜5.106.5由数据表可知，丁=2+4；? + 6+卜=5炉=2C ： 40- ”70 ： &） = 54,得样本点的中心为点,54）,代 入回归方程&=法+1.5中，解得B=10. 5,所以回归直线方程为$=10. 5/+1. 5,当/=10时J=10. 5X 10 + 1, 5=106. 5 万元.16.-4 因为y=/Q）是R上的奇函数.且/Cr+2）=/（

14、一幻,所以/包+2） =/1）,所以了+4）= 一八M+2） = /（7）,即函数的周期为4, 故，（202D=f（4X505+D=f=一八一1） =-2一一卷.17 .解：（1）在ABD中，由正弦定理得嬴岌而=加 TOC o 1-5 h z 所以sin/ADB=.3分因为/AD8V4 ,所以3/4迎=空.5分乙4因为 sin/ADB=g,且NADC=g. q4所以 cosNSDC=sin/AD8=. 7 分在8DC 中，根据余弦定理得 BC?=B4-CD2-2BD CD - cos/BDC,化简得 CD22四C。-6= （CD3笈）（CD+四）=0,故CD=3笈.10分. （D证明:由 2%

15、=3%+i -4+2，可知 a-2一%+i =2。什1 2a, 3 分因为例。1=1所以数列缶小一。是首项为1，公比为2的等比数列. 5分解:由知檄列如-一4是首项为1,公比为2的等比数列，所以6“一。 = 2, 6分所以 “一ai=2T 5)2), =2”-3，=219及-“1=2 ,【湛江市2021年普通高考测试(一)数学参考答案 第 页(共5页)】 TOC o 1-5 h z 上述各式相加得为一句=2。+2+&7=耳* =271(力2). 9分因为g=3，所以&=27一力，11分所以数列%的通项公式为%=2一】一2 12分W. (1)证明：因为BFJ_平面ACE,AEU平面ACE, 所以

16、BFAE. 1分因为3C_LAB,且平面ABGD_L平面ABE, 所以8_1_平面八5反2分因为AEU平面ACE,所以BCAE. 3分因为 BPnBC=6. 所以AE_L平而BCE. 4分(2)解:因为AEJ_平面BCE,BEU平面BCE. 所以AEBE. 在 RtAABE 中.八B= 2AE=2, 所以NA3E= 30,/BAE= 60. 5分如图，以人为坐标原点,建立空间直角坐标系A一二产. 设 AD=a，则 D(0,0.a) ,E(除,0) ,C(0,2,2), 乙 乙 TOC o 1-5 h z 所以优=哮4,一)圆=(亨,一去一2). 6分设平面CDE的法向量为D6 =母1+3)GN

17、=0, 则4 8分C& =噂/-y2z=0.令 2=2,贝! =(W(2+3a)m2,2). 9 分O平面ABE的一个法向量为胆=(00.1). 10分所以 kos次,吟 | =|跖:卜一,2=cos 600, 11 分J=(2+%)+a2)2+4解得。=空即AD=q. 12分.解：(1)设A表示事件“甲选排球”,B表示事件“乙选排球”，则 P(A)=1U，P(B)哈=告. 3 分因为事件A.B相互独立.所以甲选排球且乙未选排球的概率P(烟=P(A)P(&=看(1 一|片条 6分设C表示事件“丙选排球”,则P(C)=S=J,J oX的可能取值为0,1,2.3.7分P(X=O) = X|X|=;

18、 8 分P(X=i)=|x|xf+x|xf+ix|xf=A;9 分Y 62、/ 3、/ 2，2 Vz 2 V 3，1 v 3 V 311p(A = 2)=TXyXy+TXyXy+TXyXT = 25； 10 分P(X=3)=4x4x4=- 11分0时.F 2az120可化为2a4三令力(1)=皆一7一1,则，(力= -1.当工0时,1(N)0所以以外在(0,+8)上单调递增,所以刀(工)力(0)=0,故 /n+1，即1 ,故要使2日三1在(。，+8)上恒成立，则2&W1，即 Y.(ii)当CO 时，e 2ai1i0 可化为 2a- TOC o 1-5 h z 令由可知.此时尸(=匚0,得 Wn 2a；令 GQ）0,得 xln 2a.所以6（了）在（一8,M2a）上单调递减,在（In 2d 48）上单调递增.因为方程/Gr）gCr）= O有两个不同的根力，4 ,不妨设uVg， TOC o 1-5 h z 则力 W（一8,ln 2口）血 W（ln 勿,+o）. 6 分要