《数学参数估计》PPT课件(PPT 80页)

1、根据样本的观测值，对总体分布律或分布密度的未知参数进行估计的理论和方法称为总体分布中未知参数的估计，简称为参数估计。(1)当总体分布的类型已知，分布的具体形式依赖于某个实数或实数组时，称为总体参数或参数。2.3总体分布参数的估计第1页，共80页。例子: 1. 总体X B(1, p). p是 未知参数, = p:0 p 1 是参数空间.2. 总体X P(). 是 未知参数, = : 0 是参数空间.3. 总体X E(). 是 未知参数, = : 0 是参数空间.4. 总体X N(,2). (,2) 是 未知参数向量, =(,2) : 0 是参数空间.第2页，共80页。第3页，共80页。2 用矩法

2、求估计量第4页，共80页。特别地，当总体的数学期望与方差存在时，总体数学期望矩估计量就是样本的均值，总体总体方差的矩估计量就是样本的方差。一般地，矩法估计就是用k阶样本矩去估计k阶总体矩。第5页，共80页。例 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200试用矩法估计该天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解第6页，共80页。重要结论第7页，共80页。第8页，共80页。第9页，共80页。3.用极大似然法求估计量 思想方法：一次试验就出现的 事件有较大

3、的概率 例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答: 第一箱.问: 所取的球来自哪一箱？第10页，共80页。例 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值.解总体 X 的概率分布为 设 x1, x2, xn为总体样本X1, X2, Xn的样本值,则第11页，共80页。对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图现经过一次试验，发生了，事件则 p 的取值应使这个事件发生的概率最大.第12页，共80页。在容许范围内选择 p ，使

4、L(p)最大 注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若某个p 使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。所以为所求 p 的估计值.第13页，共80页。一般, 第14页，共80页。一般步骤：(1) 构造似然函数L()；(2) 对似然函数取对数，即lnL()；(3)以为自变量求lnL()的导数或偏导数；(4)令lnL()的导数或偏导数等于零得到正规方程或方程组；(5)求出正规方程组的解。第15页，共80页。第16页，共80页。取对数第17页，共80页。第18页，共80页。第19页，共80页。第20页，共80页。第21页，共80页。第22页，共80页。4.评价估计量优劣的标准 对于

5、同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的优劣?常用标准(1) 无偏性(2) 有效性(3) 一致性第23页，共80页。(1)无偏性第24页，共80页。我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性第25页，共80页。第26页，共80页。(2)有效性第27页，共80页。例 测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4.求零件尺寸偏差总体的均值及方差的无偏估计值解 有第28页，共80页。例 重要结论第

6、29页，共80页。第30页，共80页。第31页，共80页。第32页，共80页。结论1 样本均值 是总体均值的一致估计.结论2 在重复抽样的情形下, 样本方差s2 是总体方差2 的一致估计.第33页，共80页。引例 已知 X N ( ,1), 不同样本算得的 的估计值不同，因此除了给出 的点估计外, 还希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求. 的无偏、有效点估计为随机变量常数2.3.6未知参数的区间估计(interval estimation)第34页，共80页。如引例中，要找一个区间,使其包含 的真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )取查表得第35页

7、，共80页。这说明即称随机区间为未知参数 的置信度为0.95的置信区间.第36页，共80页。 反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数 的真值, 但包含真值的区间占95%.置信区间的意义若测得 一组样本值, 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复则得一区间(1.86 0.877, 1.86 + 0.877)抽样得到的区间中有95%包含 的真值.算得第37页，共80页。时,区间的长度为 达到最短.2. 当置信区间为问题2.为何要取？1. 确定后,置信区间是否唯一？与答复1. 不唯一.第38页，共80页。取 = 0.05第39页，共80页。1 区间估计的基本概念未知参数的区

8、间估计，是要找统计量第40页，共80页。(g,h)覆盖未知参数的概率，称为置信概率，(g,h) 称为的双侧1-置信区间，g 称为的双侧1-置信下限，h 称为的双侧1-置信上限，第41页，共80页。第42页，共80页。 反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 置信区间的长度 反映了估计精度, 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个.几点说明越小, 估计精度越高.这时, 往往增大, 因而估计精度降低.第43页，共80页。 求参数置信区间保 证可靠性先 提 高精 度再处理“可靠性与精度关系”的原则第44页，共80页。2.一个正态总体均值的置

9、信区间公式1第45页，共80页。第46页，共80页。第47页，共80页。公式2第48页，共80页。公式3第49页，共80页。第50页，共80页。例 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从即正态分布 N( 2), 现从某天的产品中随机 (1) 若 2=0.06, 求 的双侧置信区间及单侧区间 (2) 若 2未知,求 的双侧置信区间及单侧区间 (3) 求方差 2的双侧置信区间及单侧区间抽取 6 件, 测得直径为15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1置信概率均为0.95第51页，共80页。解 (1)即由给定数据算得由公式 (1) 得 的置信区间为第52页，共8

10、0页。(2) 取查表由给定数据算得由公式 (2) 得 的置信区间为第53页，共80页。由公式 (3) 得 2 的置信区间为(3) 选取统计量查表得第54页，共80页。第55页，共80页。第56页，共80页。第57页，共80页。第58页，共80页。第59页，共80页。第60页，共80页。第61页，共80页。4.两个正态总体均值或方差比的置信区间第62页，共80页。公式4第63页，共80页。第64页，共80页。第65页，共80页。第66页，共80页。例子 为了比较深圳与武汉地区的经济水平的差异,分别在两地区调查了100人及125人,得到月平均收入为:5400(元)及2052(元),样本方差分别为2456(元2)及346 (元2),试问1)两地区经济水平的差异至少能差多少？2）至多能差多少？(置信系数为1=0.95).解:因为n1=100,n2=125,大于50, 为大样本问题.=0.05,U0.975=1.96. 置信区间为：3339.754，3360.246两地区经济水平的差异至少能差333