10.1　两角和与差的三角函数 解析版

10.1两角和与差的三角函数【考点梳理】考点一：两角和与差的余弦公式一：已知两角的正、余弦求和差角的余弦二：用和差余弦公式进行化简求值三：逆用和差余弦公式进行化简求值考点三：两角和与差的正切公式一：已知两角的正、余弦求和差角的正切二：用和差正切公式进行化简求值三：逆用和差正切公式进行化简求值考点四：两角和与差的三角函数综合应用【知识梳理】知识点一两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R知识点三：两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)【题型归纳】题型一：两角和与差的余弦公式一：已知两角的正、余弦求和差角的余弦1．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因此，于是有，故选：C2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意首先求出，然后利用诱导公式、两角和差的余弦公式运算即可求解.【详解】由题意，得，所以.故选：D.3．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知且都是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解.【详解】因为且都是第二象限角，所以，，所以.故选：C.二：用和差余弦公式进行化简求值4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值.【详解】∵为锐角，，∴，∴．又，∴.故选：B．5．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知都是锐角，，（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件求，再由结合两角差余弦公式求结论.【详解】因为为锐角，所以，又，所以，，又，所以故选：A.6．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知求出、和，接着结合两角和的余弦公式求即可得解.【详解】因为，所以，又，，所以，，所以，所以.故选：B.三、逆用和差余弦公式进行化简求值7．（23-24高一下·江苏连云港·期中）的值是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.【详解】.故选:B.8．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦两角和公式和诱导公式化简即可得解.【详解】.故选：D9．（23-24高一下·江苏常州·期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解.【详解】原式.故选：B三：逆用和差余弦公式进行化简求值题型二：两角和与差的正弦公式一：已知两角的正、余弦求和差角的正弦10．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解.【详解】因为所以，又，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：A11．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由条件结合同角关系求，再利用两角和正弦公式求.【详解】由已知，所以，又，所以，所以，又，所以，故选：B.12．（22-23高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，利用差角公式求解答案.【详解】因为，所以，所以；.故选：A.二：用和差正弦公式进行化简求值13．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解.【详解】由，则，又，，而.故选：D.14．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】应用同角三角函数关系结合两角和差角公式计算即得.【详解】因为,所以，所以.故选：A.15．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得，得到，结合，利用两角和正弦公式，即可求解.【详解】因为，可得，又因为，可得，所以，由.故选：B.三：逆用和差正弦公式进行化简求值16．（23-24高一下·江苏南京·期中）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式把题目中的角转化为锐角，最后逆用两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】故选：A17．（23-24高一下·江苏苏州·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】.故选：A.18．（23-24高一下·江苏南京·期末）（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】将原式转化为，然后利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】.故选：C题型三：两角和与差的正切公式一：已知两角的正、余弦求和差角的正切19．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以且，即，且，解得或（舍去），所以.故选：B.20．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（

）A．－3 B．2 C．3 D．不存在【答案】B【分析】利用两角差的正切公式即可求解.【详解】因为，所以.故选：B.21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两角和差正切公式直接求解即可.【详解】.故选：A.二：用和差正切公式进行化简求值22．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式.【详解】由，知，故，从而.所以.故选：D.23．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知，则的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先对利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得，代入中利用两角和的正切公式化简计算即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故选：D24．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】利用两角差的正切公式计算可得，结合弦化切即可求解.【详解】由，得，解得，所以.故选：C三：逆用和差正切公式进行化简求值25．（23-24高一下·江苏南通）（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案.【详解】，，所以，所以故选：A26．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果.【详解】.故选：B.27．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案.【详解】，，．故选：C题型四：两角和与差的三角函数综合应用28．（24-25高一上·江苏无锡）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.(1)求的值；(2)若钝角满足，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据三角函数定义得到和的值，再根据两角和的正弦公式求得结果；（2）由角和的范围，以及得出的范围，求得的值，再根据，结合两角差的余弦公式求得结果.【详解】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由是钝角，是第三象限角，则，，所以，由得，则.；所以.29．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（1）已知，且．求的值；（2）已知，且．求的值．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）把题目给的两角和看成一个整体，则，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可.（2）把看成一个整体，把条件变形为，再运用和差公式化简求值即可.【详解】（1），，，，，，.故答案为：.（2），，即，，又，，，即.故答案为：.30．（23-24高一下·江苏）已知，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解；（2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以，又因为，所以，，所以，又，所以由，解得，所以，又，，故，所以.【高分演练】一、单选题31．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，是方程的两个根，则的值为（

）．A． B． C． D．2【答案】B【分析】由已知结合方程的根与系数关系可得，，，然后结合两角和的正切公式即可求解．【详解】由题意得，，，所以．故选：B．32．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案.【详解】因为，，所以，所以，，所以.故选：C33．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知、，且，，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】根据同角的三角函数关系中平方和关系求出相应角的正弦值，然后运用余弦两角和公式进行求解即可.【详解】、，且，，，，，，，、，，，故选：B34．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，即可求出、，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，，解得，所以.故选：D35．（23-24高一下·江苏盐城·期中）化简值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】.故选：B36．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】若，则若，则，将两式子相加可得，化简得，由两角和的正弦公式得，故C正确.故选：C37．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用切化弦可得，再由两角和差公式先求，最后由同角基本关系式求解.【详解】因为，则，则，所以，而，则，所以.故选：C二、多选题38．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据正弦、余弦的两角和差公式即可逐一求解.【详解】对于A选项，，故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C选项，，故C正确；对于D选项，，故D正确，故选：ACD.39．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知是方程的两根，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，及三角恒等变换一一判定选项即可.【详解】由题意可知，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，由C可知，故D正确.故选：ABD40．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由方程解出，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的商数关系，求解各选项中的算式，验证选项.【详解】是方程的两根，又，解得，，A选项正确；，B选项错误；，C选项错误；，，则，有，，，D选项正确.故选：AD.41．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）下列等式成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用正弦函数两角和公式展开后再利用正切公式可对A判断；逆用正弦函数两角差公式可对B判断；利用正余弦两角差公式可对C判断；逆用正切两角和公式即可对D判断.【详解】对A：，故A正确；对B：，故B错误；对C：，，故C错误；对D：，故D正确.故选：AD.三、填空题42．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，则．【答案】【分析】先利用诱导公式对已知等式化简求出，再利用两角差的正切公式求解.【详解】由，得，所以，所以.故答案为：43．（23-24高一下·江苏盐城·期中）若，，则.【答案】【分析】由题设求出，利用拆角变换，将化成，利用和角公式计算即得.【详解】由，可得，则，于是，

.故答案为：.44．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知是锐角，，则的值为.【答案】【分析】先由已知结合特殊角的三角函数值确定，再由正弦展开式结合拆角计算得到最后结果.【详解】因为，，所以，又，所以，即，又，所以，所以，所以，故答案为：.45．（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值为．【答案】【分析】根据条件，得出，利用平方关系得到，进而有，再利用正切的和角公式得到，利用角的范围和特殊角的三角函数值，即可求出结果.【详解】因为，又，所以，又，所以，又，故，所以，得到，又，所以，又，所以，故答案