向量组以及线性相关性

1、资料考点大提纲请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材.主要掌握:向量的基本概念：(注意：不加说明的向量a是指列向量)向量组的基本概念.向量的基本运算：(加减、数乘)向量的线性相关性的概念：线性组合的概念线性表出的概念线性相关和线性无关的概念.矩阵秩的概念、向量组秩的概念.向量的线性相关无关的基本判定方式：向量8可以由向量组a 1，a 2,，a n线性表出-非齐次线性方程组 ii 向量组a 1，a 2，a n线性相关齐次线性方程组la ,ax1- %，八：2.xn=p 有解.ra ,a,a = ra ,a ,a ,

2、pn12n% 1xa , a ,.,a .2 = 0 有解ra , a ,., a =n )必定相关.r(A)n,A向量(n为向量个数)组必定相关.v 部分无关一整体无关，整体相关一部分相关.vi向量组A线性相关的充分必要条件是向量组总存在一个向量可由其余向量线 性表出.vii 若 a 1，a 2，a n 无关，a 1，a 2，a n，8 相关，那么8 可由a 1，a 2，a n线性表出，且表出法唯一.极大无关组的概念，等价向量组的概念.用初等变换来求一个向量组的极大无关组，并且用极大无关组来表示其他向量。有关的重要公式或定理：三秩相等初等变换不改变矩阵的秩等价的矩阵秩相等，反之相等的矩阵等价

3、如果A只经过初等行变换为B,那么A,B行向量组等价.8.有关秩的等式和不等式:A为mXn的矩阵，B是满足相应运算的矩阵r (A) = min(m,n)r(A+B) = r(A)+r(B)r (4) = r (A)r(AB)=r(A)+r(B)-n(注：这公式常和上面公式连用，来确定r(AB)的值)n r(A) = nr(A*)= =3)，且8 1 =a 1+a 2，P 2=a 1-2a 2，p 3=3a 1+2a 2.求证：向量组p 1，p 2，p 3 相关.解析：我们按照方法来先设出k1、k2、k3列出等式.k1*8 1+k2*8 2+k3*8 3=0 带入题目条件：k1*( a 1+a 2

4、 )+k2*( a 1-2a 2 )+k3*( 3a 1+2a 2. )=0； 化简整理：(k1+k2+3k3)a 1+(k1-2k2+2k3)a 2=0.无论a 1,a 2是否相关，只要系数为0上式成立。那么列出向量组。解出有非零解。 说明相关。例：设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使得= 0有解向量a，且A*-A丰0证明：a，Aa，Az-1 a线性无关.解析：我们按照方法来先设出k1、k2、kn列出等式 k1*a +k2*Aa +kn* AkTa =0,我们来利用条件。上式左乘Ak-1，则有k1*a =0,则有k1=0，同理可以求出其他ki都等于0，所以无关.求向量组的极大无关组这类的题目有

5、具体矩阵也有抽象矩阵。具体的矩阵直接用初等行变换化成最简形就可以确定极大无关组了(具 体方法见教材)。如果是抽象矩阵呢？ 一般求抽象矩阵的极大无关组，题目中会给出一系列 条件，一般我们是先通过条件求出这个抽象向量组的秩也就是极大无关组里向 量的个数，然后利用其他性质变形得到向量组中某些向量相关，逐步排除这些 已经相关的向量。最后剩下的就是极大无关组了.(0 )f 0 )f1 )f-1)0,a =1,a =-1,a =1234c1 c/ c1 /=r(A)+r(B)-n ,那么 r(A(A-E)=r(A)+r(A-E)+n,变形，r(A)+r(A-E)=n,又因为 r(A+B) =r(A+A-E

6、)=n,综上 r(A)+r(A-E)=n;例：A是个n阶矩阵，Aij为元素aij的代数余子式，且满足Aij+aij = 0，则有r(A)=_. 解析：由条件Aij+aij = 0，我们可以得出J + A = 0，变形有U* =一A .可见 r妇)=r(A* )= r(A),又根据：伴随矩阵和原矩阵秩的关系，可以得出r(A)=n;判断向量组的等价这类题记住一点，只要两边的向量组都能够通过某个线性组合表示对方向量组，那么这 两个向量组等价.(线性组合可以通过矩阵相乘的形式给出，这个前面说过，这不再累述)例：设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则有()A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的