化工数学：第二章 试验设计和数据处理

1、第二章 试验设计和数据处理一、试验设计1、简单试验设计2、正交试验设计2.1 因子间无交互作用的正交试验设计选取正交表，直观分析法2.2 因子间有交互作用的正交试验设计正交表和交互作用列表2.3 因子水平数不同的正交试验设计混合水平正交表拟水平法2.4 多指标的分析方法综合平衡法综合评分法第二章 试验设计和数据处理一、试验设计3、回归正交设计二、 数据的表达与处理1、数据的图示方法2、经验方程3、方差与随机误差分布三、最小二乘法和线性回归 正交表正交表是正交试验设计的工具，它是对大量的实践经验进行总结，并根据数学理论整理而得到的成果。表1-1所示为L9（34）正交表，记号的一般形式为LN（mk

2、），其中L表示正交表，N表示试验次数，k表示可能安排的因子的最大数目，m表示因子的水平数。 表2-1 L9（34）正交表正交表的正交性：（1）每个纵列中不同数字（例如表1中的“1”、“2”和“3”）出现的次数相同，这意味着每个因子的不同水平在全部试验中出现的次数相同。（2）任意两列之间，不同水平之间正好各碰相同的次数。这意味着任意两个因子之间不同的搭配在全部试验中出现的次数相同。正交试验设计对全体因子而言是部分试验，但对其中任意两个因子而言是具有相同重复次数的全面试验，所以用正交表安排的试验是均衡搭配的，且整齐可比，代表性高，效率高。 因素试验号ABCD11111212223133342123

3、52231623127313283213933212.2 因子间具有交互作用的正交试验设计 交互作用：在一个试验里，不仅各个因素在起作用，而且因素间有时联合起来起作用，这个作用就叫交互作用。 多因子对比试验中，不仅要研究各因子的水平对指标的影响，还要研究各个因子的不同水平之间的搭配，即交互作用对指标的影响。如果因子间交互作用对指标的影响可以忽略，则表头设计就是将因子随意填入适当的正交表的不同列中；若交互作用的影响不能忽略时，就要同时使用与正交表对应的交互作用列表。 表2-5 L8（27）正交表列号试验号1234567111111112111222231221122412222115212121

4、2621221217221122182212112相应的交互作用列表 表2-6是表2-5相应的L8（27）两列间交互作用列表。从正交表的交互作用列表中，可以查出任意两列的交互作用列。例如，表2-6中表明第2列与第4列的交互作用列为第6列，其余类似。交互作用列表是考虑因子间交互作用时进行表头设计的依据。 表2-6 L8（27）交互作用列表列号列号12345671（1）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1（7）例2-5 如何提高乙酰胺苯磺化试验的反应收率 根据试验的目的和要求，确定试验的指标、因子及其水平。乙酰胺苯磺化试验的因子与水平如表2-7所示。 表2-7

5、乙酰胺苯磺化试验的因子和水平 因子水平反应温度A反应时间Bh硫酸浓度C%操作条件D150117搅拌270227不搅拌解法一、如果不考虑因子间的交互作用 如果不考虑因子间的交互作用，选用表2-5 的L8（27）正交表，将因子填在任意4列上，得表2-8。 表2-8 无交互作用的正交试验表 列号试验号ABCD收率yi%11111652112274312127141221735211270621217372211628222267K1283282268273T=555K2272273287282=69.375无交互作用时的实验结果分析从实验结果看，产率越高越好。直接比较这8次实验的结果，第2号实验的产

6、率y2=74%最高，所以可以认为较好的实验条件是A1B1C2D2，即反应温度50，反应时间1h，硫酸浓度27%和操作条件为不搅拌。从极差来看，极差最大的为因子C，说明硫酸浓度C是重要因子。而其它的次要因子均已满足节约能耗，缩短反应时间和操作方便，可以确定实验条件为A1B1C2D2。 解法二：考虑因子间交互作用时的正交试验设计 考虑反应温度与反应时间的交互作用，甚至反应温度和硫酸浓度之间、反应时间和硫酸浓度之间也可能具有交互作用，正交试验该如何设计呢？是否会得到相同的实验结果呢？实验结果如何分析呢？选择正交表及其交互作用列表进行表头设计 依据试验的因子与水平选择L8（27）正交表及其交互作用列表

7、进行表头设计。参见表2-5和表2-6。 将有交互作用的因子先填入表2-5的第1列和第2列中，由表2-6可知第1列和第2列的交互作用列在第3列。将不考察交互作用的因子C和D填在第4至第7的任意两列。若考察A与C和B与C间的交互作用，则由交互作用列表2-6可知交互作用列分别在第5列和第6列。表头设计如表2-9。 表2-9 表头设计 因子ABABCACBCD列号1234567正交试验设计 将表2-9的表头设计与L8（27）正交表2-5结合可得表2-10。 表2-10 正交设计表及结果列号试验号ABABCACBCD收率yi%111111116521112222743122112271412222117

8、35212121270621221217372211221628221211267K1283282268268273T=555K2272273287287282=69.375关于交互作用的讨论考虑的交互作用越多，交互作用占的列就越多，那么正交表能排下的因子数就越少。如果四个因子的所有两两交互作用都要考虑，选L8（27）是不可能办到的，需要选L16（215）正交表。于是正交设计的突出优点，即减少试验次数与考虑交互作用是矛盾的。这个矛盾如何解决呢？从表2-10可以看出，因子A和B对指标的影响不显著，但A与B的交互作用对指标的影响却是显著的，即因子B对指标的影响与因子A处在什么水平有很大关系。具体地

9、讲，A=A1=50时，B=B2=2h较好； A=A2=70时，B=B1=1h较好。为什么会出现不同温度下时间对指标影响截然相反的情况呢？这正是交互作用的影响所在！如何削弱交互作用的影响呢？ 术语：相对水平这种随一个因子A水平不同而取另外一个因子B的不同水平进行对比，对称因子B取了相对水平，即取B1=较短； B2=较长。这两个水平随因子A的不同而有具体不同的含义，写出来为：B1=较短=1h，当A1=50时；或B1=较短=20min，当A2=70时B2=较长=2.5h，当A1=50时；或B2=较长=40min，当A2=70时因子B取了相对水平后，一切处理均与取相对水平前相同，只是因子B的不同水平在

10、碰到具体的A1或A2后才赋予具体的含义。应该指出，因子B的相对水平的确定，必须根据已有的专业经验，提出一个大概范围，在此范围内，对因子A的不同水平，分别确定B的各水平进行对比。 术语：等价因子下面举例说明：某两种化学原料在一定的溶液中进行反应，合成产品，指标是转化率。这类试验会提出下述因子进行考察：因子A=甲种原料用量，因子B=乙种原料用量，因子C=催化剂种类，因子D=反应温度，因子E=反应时间。对于因子D和E之间的交互作用，可采取相对水平法予以消除或削弱。而对于因子A和B，可以知道若甲、乙两种原料有一种过量，必然使转化率下降。因此对指标而言，A和B一般是有交互作用的。等价因子法是处理这类问题

11、的方法。这类问题的关键有两个：一是寻找甲乙原料间合适的比例；二是确定原料总量以充分发挥固定用量的催化剂的作用。即两种原料的比例是反应进行是否充分的基本条件，而原料总量与催化剂的配合决定能否加速反应进行。所以不直接考察因子A和B，而考察 因子A=甲种原料与乙种原料用量之比 因子 B=原料总量 因子A和B对指标的影响是可以迭加的，即A和B 之间的交互作用可以忽略。因子A和B构成一个因子组，因子A和B也构成一个因子组，这两个因子组是等价的。因为A和B唯一地确定了A和B，反之， A和B也唯一地确定了A和B。但由于角度不同，在处理交互作用时就很不一样了。 因子间具有交互作用的正交试验结果分析： 对于考虑

12、因子间具有交互作用的正交试验，通过与前述相同的结果分析，可以判断因子间交互作用的大小，并给出误差的估计，这正是正交表的优点之一。例2-6 化肥的品种选择试验 根据试验的目的和要求，确定试验的指标、因子及其水平。化肥的品种选择试验的因子与水平如表2-11所示。 表2-11 化肥的品种选择试验的因子和水平 因子水平ABCD品种氮肥量/kg氮、磷、钾肥比例规格1甲2.53：3：1332乙3.02：1：2663丙4丁2.3 水平数不同的正交试验设计我们在前面两节介绍的多因素试验中，各因素的水平数都是相同的。但在实际的问题中，特别是实际的化学与化工试验中，各因子的水平数不一定相同，即有的因子的水平多一些

13、，有的水平少一些，但又要在同一试验中考察，这就是水平数不同的正交试验设计问题，又称混合水平的正交试验设计问题。从表2-11可以看出，例2-6中因子A是4水平的，另外3个因子都是2水平的。试验指标是产量，数值越大越好。对这样一个水平数不同的正交试验，该怎样进行试验设计呢？2.3 水平数不同的正交试验设计介绍两种主要的方法： （ 1）直接利用混合水平的正交表安排试验；（2）拟水平法，即把水平不同的问题化成水平数相同的问题来处理。（1）混合水平正交表及其用法混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等正交表。这种正交表有好多种，比如L8（4124）就是一个混合水平的正交表，如表2-12所示。 表2-1

14、2 正交表L8（4124）列号试验号12345111111212222321122422211531212632121741221842112 混合水平正交表的特点这张L8（4124）表有8行，5列，表示用这张表要做8次试验，最多可安排5个因子，其中一个是4水平的（第1列），4个是2水平的（第2列到第5列）。L8（4124）正交表有两个重要特点（1）每一列中不同数字出现的次数是相同的，例如，第1列中有4个数字1，2，3，4，它们各出现2次；第2列到第5列中，都只有两个数字1，2，它们各出现4次。（2）每两列各种不同的水平搭配出现的次数是相同的。但要注意一点：每两列不同水平的搭配的个数是不完全相

15、同的。由这两点可以看出，用这张表安排混合水平的 试验时，每个因子的各水平之间的搭配也是均衡的。 用混合水平正交表求解例2-6由表2-11可以看出，例2-6中有4个因子，1个因子A是4水平的，另外3个因子都是2水平的。正好可以选用混合正交表L8（4124）。表头设计如表2-13。 表2-13 表头设计因子ABCD列号12345 混合水平正交试验设计及结果分析 表2-14 正交试验及结果分析列号试验号12345试验指标（产量）/kg减去200111111195-5212222205532112222020422211225255312122101063212121515741221185-1584

16、2112190-10K10102020K245353525K325K4-25 混合水平正交试验设计及结果分析 表2-14 正交试验及结果分析列号试验号ABCD5试验指标（产量）/kg减去2001234k102.55.05.0k222.58.86.36.3k312.5k4-12.5极 差35.06.31.31.3优方案A2B2C2D2 混合水平正交试验设计及结果分析 混合水平正交试验结果分析计算的方法和水平相同的正交表基本相同，但是要特别注意，由于各因素的水平数不完全相等，各水平出现的次数也不完全相等，因此计算各因子各水平的平均值k1、k2 、k3 、k4时和水平相同的正交表有所不同。（2）拟水

17、平法对水平数不同的正交试验问题，如无合适的混合水平正交表可选择，可以将水平数较少的因子虚拟一些水平，使之排在正交表的多水平列上，这种方法称为拟水平法。应该指出，采用拟水平法的试验，正交表的均衡搭配性质会遭到部分破坏。它的好处是可以不采用大的正交表，从而减少试验次数。（2）拟水平法例2-7 今有一化工试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好。这个试验有四个因子A、B、C和D，其中因子C是2水平的，其余3个因子都是3水平的。具体的因子和水平表如表2-15所示。 表2-15 因子和水平列表 因子水平ABCD135015606522505807533001085（2）拟水平法例2-7这种情况没有合适的

18、混合水平正交表，因此不能用例2-6的方法解决。假若因素C也有3个水平，那么这个问题就变成4因子3水平的问题，就可以选正交表L9（34）来安排试验。 如何将C变成3水平的因子呢？我们是从第1、第2两个水平中选一个水平让它重复一次作为第3水平，这就叫虚拟水平。取哪个水平作为第3水平呢？一般都是要根据实际经验，选取一个较好的水平。 拟水平法正交试验设计及结果分析 表2-16 L9（34）正交表及结果分析列号试验号ABCD试验指标11111145212222363133231242122315522321406231121573132210832113593322147K1937065132K2708

19、116061K3627432 拟水平法正交试验设计及结果分析 表2-16 拟水平法正交试验及结果分析列号试验号ABCD5试验指标1234k131.023.321.744.0越小越好k223.327.026.720.3k320.724.710.7极 差10.33.75.033.3优方案A3B1C1D3 拟水平法正交试验设计及结果分析 注意：因子C的“第3水平”实际上就是第2水平，我们把2-15正交表中第3列的C因子的水平安排又重写一次，两边用虚线标出，对应地列在右边，这一列是真正的水平安排。由于这一列没有第3水平，因此在求和时实质上是没有K3，只出现和。又因为这里C的第2水平共出现6次，因此平均

20、值k2是2除以6；C的第1水平出现3次，因此平均值k1是除以3， 拟水平法的特点 可以看出，拟水平法是将水平少的因素归入水平多的正交表中的一种处理方法，在没有合适的混合水平的正交表可用时，拟水平法是一种比较好的处理多因素混合水平试验的方法。这种方法不仅可以对一个因素虚拟水平，也可以对多个因素虚拟水平。虚拟水平后的正交表对所有因素来说不具有均衡搭配的性质，但具有部分均衡搭配的性质，所以拟水平法仍然保留着正交表的优点。例2-8 提高某产品质量的试验 为提高某产品的质量，要对生产该产品的原料进行配方试验，要检验3项指标：抗压强度、落锤强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第3个指标越小越好。根据以往的经

21、验，配方中有3个重要因子，它们各有3个水平，具体数据如表2-17所示。 表2-17 试验的因子和水平 因子水平ABC水份（%）粒度（%）碱度1841.12961.33781.52.4 多指标的分析方法 我们在前面介绍的正交试验中，考察指标均为单一的，但在实际的问题中，特别是实际的化学与化工试验中，多指标的问题是大量存在的，多指标的试验分析比单指标要复杂一些。 选L9（34）水平表进行试验设计 表2-18 L9（34）正交表及结果分析列号试验号ABC抗压强度（kg/个）落锤强度（0.5m/次）裂纹度111111.51.1321224.53.64313311.04.6442127.01.13522

22、38.01.62623118.515.1073139.01.1383218.04.62933213.420.21 结果分析 表2-18 L9（34）正交表及结果分析列号试验号ABC抗压强度（kg/个）落锤强度（0.5m/次）裂纹度抗压强度K127.027.538.011.51.13K233.520.524.94.53.64K330.442.928.011.04.64k19.09.212.77.01.13k211.26.88.38.01.62k310.114.39.318.515.10极差2.27.54.49.01.13优方案A2B3C18.04.62裂纹度K11195落锤强度K19.33.32

23、0.8K2588K217.89.824.9K3659K325.939.97.3k13.73.01.7k13.11.16.9k21.72.72.7k25.93.38.3k32.01.73.0k38.613.32.4极差2.01.31.3极差5.512.25.9优方案A2B3C1优方案A3B3C2（1)综合平衡法用图示的方法和结果分析表相结合，先分别考察每个因子对各指标的影响，然后进行分析比较。先从对指标影响较大的主要因子开始进行分析。各因子之间需要进行综合平衡，确定对主要因子来说是最好的水平，兼顾考虑次要因子，从而得出最好的试验方案，这种方法就叫综合平衡法。(2)综合评分法对多指标的问题，要做到

24、真正好的综合平衡，有时是很困难的，这正是综合平衡法的缺点。而综合评分法在一定意义上来讲，可以克服综合平衡法的缺点。例2-9 关于综合评分法 某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。根据以往的经验，有影响的因子有4个，各有3个水平，具体数据如表2-18所示。 表2-19 试验的因子和水平 因子水平ABCD时间/h 加料中核酸含量PH值加水量1257.55.01：62599.06.01：4316.09.01：2 选L9（34）水平表进行试验设计 表2-20 L9（34）正交表及结果分析列号试验号ABCD纯度回收率综合评分1111117.530.0110.0

25、2122212.041.289.2313336.060.084.0421238.024.256.2522314.551.069.0623124.058.474.4731328.531.065.0832137.020.548.5933234.573.591.5K1273.2221.2222.9260.5K2196.6206.7236.9228.6K3205.0249.9218.9188.7k191.173.774.386.8k265.568.979.076.2k368.383.972.762.9极 差25.614.46.323.9优方案A1B3C2D1综合评分法综合评分法就是根据各个指标的重要性

26、的不同，按照得出的试验结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标，根据这个总指标（分数），利用直观分析法作进一步的分析，从而选出较好的试验方案。综合评分法的关键是如何评分。综合评分法以这个试验为例。在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知道，纯度的重要性比回收率的重要性大。这时需要化成数量来看，从实际分析，可认为纯度是回收率的4倍，也就是说，论重要性若将回收率看成1，纯度就是4，这个4和1分别叫两个指标的权。按这个权给出每个试验的总分为：总分=4纯度+1回收率。按照这个算式，算出每个试验的综合评分，列在正交表最右边，就可以用直观分析法作进一步的分析。综合评分法是

27、将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但是如何合理地评分，也就是如何合理地确定各个指标的权，是最关键的问题，也是最困难的问题，这一点只能依据专业知识和实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。总结：正交试验设计，关键在于根据试验的目的，确定试验要考察的因素，进一步确定每个因素变化的水平。根据试验要求来最终确定正交表。试验费用昂贵的，可取试验次数少的正交表，要求试验精度高的，可取试验次数多的正交表。已知因子间交互作用小的，可不用考虑交互作用，减少试验次数。分析试验结果，得到合理的结论和更多的信息。原则：具体情况具体分析，灵活运用。试验为什

28、么要设计？ 试验设计一般分三个阶段：（1）试验：首先要明确试验的目的和要求；其次是合理选择试验考察的指标和影响因素（即因子）；最后确定试验中影响因素的具体条件（即因子的水平）。（2）设计：根据因子及因子的水平，确定试验方案；决定试验的顺序，试验的方法，测量的点数以及重复的次数等。（3）分析：对试验所得到的数据进行整理，制成易于计算的表格，建立假设，计算分析用的各种统计量；确定显著性水平进行检验，得出结论。线性代数概率论与数理统计化学与化工研究过程 找到隐藏在化工现象背后的规律，从而建立一个能够正确地反映所研究对象或过程的数学模型。数学模型化过程分析法经验法 研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1） 写出反应的原子矩阵形式；（2） 求原子矩阵的秩（3） 确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例 ？ ？ 在高等数学的研究中对单个的数或单个的数学模型研究的较多，而在化学与化工问题中，经常遇到将许多个数或许多个数学模型作为一组来研究的情况。若将众多的数或关系式用展开式来描述，