2022新高考总复习《数学》(人教)第七章　空间向量与立体几何7.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI7.3空间点、直线、平面之间的位置关系第七章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 图形文字语言符号语言基本事实1过不在,有且只有一个平面A,B,C三点不共线有且只有一个平面,使A,B,C基本事实2如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在这个平面内Al,Bl,且A,Bl一条直线上的三个点 两个点 图形文字语言符号语言基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 过该点的公共直线P,且P =l,且Pl基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行若直线ab

2、,cb,则ac有且只有一条2.空间点、直线、平面之间的位置关系 3.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线aa,bb,把a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:090.4.等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.常用结论1.利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,得到三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过

3、该点的直线是异面直线.3.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A ()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线.()(4)两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两

4、个平面,且a,b,则a,b是异面直线.()2. 下列命题正确的个数为()梯形一定是平面图形;若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3答案 C解析 因梯形有一组对边平行,所以梯形可以确定一个平面,故正确;如等腰三角形中,AB,AC与底边直线BC所成的角相等,而直线AB,AC不平行,故错误;两两相交的三条直线,比如墙角处的三条交线最多可以确定三个平面,故正确;如果两个平面有三个共线的公共点,这两个平面不重合,故错误.故选C.3.(2020浙江,6)已知空间中不过同一点的三条直线

5、l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.(2020黑龙江大庆实验中学高三线上测试)已知如图,点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则()A.

6、GH=2EF,且直线EF,GH是相交直线B.GH=2EF,且直线EF,GH是异面直线C.GH2EF,且直线EF,GH是相交直线D.GH2EF,且直线EF,GH是异面直线答案 C 所以GH2EF.设M,N分别为CC1和A1D1的中点,则六边形EFGMHN是过E,F,G,H四点的平面截正方体的截面,所以EF与GH是共面直线,且EF与GH不平行,所以EF与GH是相交直线.故选C.5.(2020全国2,16改编)设有下列四个命题:p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.p4:若直线l平面,直线m平面,则m

7、l.则上述命题中的真命题是.答案 p1,p4解析对于命题p1,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为;若l3与l1相交,则交点A在平面内,同理,l3与l2的交点B也在平面内,所以,AB,即l3,命题p1为真命题;对于命题p2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,命题p2为假命题;对于命题p3,空间中两条直线可能相交、平行或异面,命题p3为假命题;对于命题p4,若直线m平面,则直线m垂直于平面内所有直线,直线l平面,直线m直线l,命题p4为真命题.综上可知,p1,p4为真命题,p2,p3为假命题.关键能力 学案突破考点1平面的基本性质及应用【例1】 四边形BCHG的形状是;点C,D,E,

8、F,G中,能共面的四点是.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是.答案 (1)平行四边形C,D,E,F(2)点O在直线C1M上解析 (1)因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH AD.又BC AD,所以GH BC,所以四边形BCHG为平行四边形.由BE= FA,G为FA的中点,知BE=FG,又BEAF,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG.由知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DFH,所以C,D,E,F四点共面.(2)如图所示,连接A1C,因为A1C平面A1ACC1,OA1C,所以O

9、平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为ACBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以OC1M.解题心得共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是

10、:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.对点训练1(1)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是()(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:E,C,D1,F四点共面;CE,D1F,DA三线共点.答案 (1)D解析 A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面.(2)证明 如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFA1B.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P,如图所示.则由PCE,CE平面ABCD,

11、得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA,CE,D1F,DA三线共点.考点2空间两直线位置关系的判定【例2】 (2019全国3,理8)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案 B解析 如图,连接BD,BE.在BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EOCD于点O,连接ON.作M

12、FOD于点F,连接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB与EON均为直角三角形.解题心得异面直线的判定方法 对点训练2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与CC1是相交直线;直线AM与BN是平行直线;直线

13、BN与MB1是异面直线;直线AM与DD1是异面直线.其中所有正确的结论为(填序号).答案 (1)D(2)解析 (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故错误.结论正确.考点3求异面直线所成的角【例3】 如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()答案 D 变式发散1(变条件)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,其他条件不变,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.变式发散2(变设问)将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 ”,其他条件不