小学奥数精彩讲座总汇40篇[四卷之一]

1、第1讲 计算综合（一） 繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题 1繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母 2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数所以需将带分数化为假分数 3某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观 4对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可 5本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级 第1讲 循环小数与分数1计算：【分析与解】原式=2计算：【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分

2、数的分子、分母均含有于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为19950.5 具体过程如下：原式=3计算：【分析与解】原式=4计算：已知=，则x等于多少?【分析与解】方法一：交叉相乘有88x+66=96x+56，x=125方法二：有，所以；所以，那么1.25 5求这10个数的和 【分析与解】方法一： = = = =. 方法二：先计算这10个数的个位数字和为； 再计算这10个数的十位数字和为

3、49=36，加上个位的进位的3，为； 再计算这10个数的百位数字和为48=32，加上十位的进位的3，为； 再计算这10个数的千位数字和为47=28，加上百位的进位的3，为； 再计算这10个数的万位数字和为46=24，加上千位的进位的3，为； 再计算这10个数的十万位数字和为45=20，加上万位的进位的2，为； 再计算这10个数的百万位数字和为44=16，加上十万位的进位的2，为； 再计算这10个数的千万位数字和为43=12，加上百万位的进位的1，为； 再计算这10个数的亿位数字和为42=8，加上千万位的进位的1，为；最后计算这10个数的十亿位数字和为41=4，加上亿位上没有进位，即为所以，这1

4、0个数的和为4938271591 6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少? 【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 7.我们规定，符号“”表示选择两数中较大数的运算，例如：352.9=2.93.5=3.5符号“”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.52.9=2.93.5=2.9请计算：【分析与解】原式 8规定（3）=234，（4）=345，(5)=456，(10)=91011，如果，那么方框内应填的数是多少?【分析与解】=. 9从和式中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?【分析与解】 因为，所以

5、,的和为l，因此应去掉与. 10如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929那么在所有这种数中。最大的一个是多少?【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918较大，于是最大的为 11请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有， 评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到，当时，有 当a、b、c两两互质时，显然满足题意 显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么

6、有，显然b、c为一对孪生质数 即可得出一般公式：，c与c+2均为质数即可. 12计算： 【分析与解】原式=.13已知.问a的整数部分是多少？ 【分析与解】 =.因为所以.同时所以a.综上有a所以a的整数部分为10114问与相比，哪个更大，为什么?【分析与解】方法一：令，有.而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是BA，有AA4B，所以有AA，那么A即与相比，更大方法二：设，则=，显然、都是小于1的，所以有A2，于是A.15下面是两个1989位整数相乘：问：乘积的各位数字之和是多少?【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变因为能被9整除，所以将一个乘以9，另一个除以9，使原算式

7、变成：= 得到的结果中有19809=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：+评注：1111111119=12345679； M的数字和为9k(其中M)可以利用上面性质较快的获得结果第2讲 计算综合（二） 本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算 1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3； 2从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式： 3平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)已知a=试比较a、b的大小.【分析与解】其中A=99,B=99+因为A

8、98+，所以有a b2.试求的和？【分析与解】 记则题目所要求的等式可写为：而所以原式的和为1评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想试求1+2+3+4+4+100的值?【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)项数2=(1+100)1002=5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101100，那么原式的和为10l100 2=5050方法三：整数裂项(重点)， 原式=(12+22+32+42+1002)2=

9、5050.试求l2+23+34+45+56+99100 【分析与解】方法一：整数裂项原式=(123+233+343+453+563+991003)3 =123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3 方程二：利用平方差公式12+22+32+42+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 = =328350+4950 =3333005计算下列式子的值： 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0 【分

10、析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算即先计算13+24+35+46+9799+98100。再除以100方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98100)100=(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100=(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100=(9899100+9899)100=32

11、34+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100=(11+22+32+42+52+992-99)100=(99100199-99)100=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一下整数裂项 12+23+34+(n-1)n=123+233+3

12、43+(n-1)n3=123+23(4-1)+34(5-2)+(n-1)nn+1-(n-2)=6.计算下列式子的值： 【分析与解】 虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?=7计算下列式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=1980122=396024习题计算1718+1819+1920+2

13、930的值提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358.第3讲 多位数的运算多位数的运算，涉及利用10k-1，提出公因数，递推等方法求解问题 一、10k-1的运用 在多位数运算中，我们往往运用10k-1来转化问题； 如：59049 我们把转化为3， 于是原式为59049=（3）59049=59049=（-1）19683=19683-19683 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解； +1 如：，于是为 简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数原式=233=23=（-1）=-=,于是为.2计算=AA，求A

14、 【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有，从而找出突破口. = =（-1） =（） =（33）=A2 所以，A. 3计算25的乘积数字和是多少? 【分析与解】我们还是利用=来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成，于是我们就创造条件使用：25=（）（）+125=（）（）+125=2-22（）+125=4-2-2=-=100-50=(求差过程详见评注)=所以原式的乘积为那么原式乘积的数字和为12004+52004=12024评注：对于的计算，我们再详细的说一说=4计算的积?【分析与解】 我们先还是同上例来凑成；(求差过程详见评注) 我们知道能被9整除，商为：049382716 又知1997个

15、4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为84=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除 能被9整除，商为04938271595； 我们知道能被9整除，商为：061728395； 这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除 能被9整除，商为0617284 于是，最终的商为： 评注：对于-计算，我们再详细的说一说 -+1-+1. 二、提出公因式有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等）1999【分析与解】1998原式1998（1+

16、10001+100010001+）1999（1+10001+100010001+）19991998199919991998. 6试求1993123999999乘积的数字和为多少? 【分析与解】 我们可以先求出1993123的乘积，再计算与(10000001)的乘积，但是1993123还是有点繁琐设1993123=M，则(1000123)123000M(2000123=)246000，所以M为6位数，并且末位不是0；令M则M999999M（1000000-1）1000000M-M-+1+1 那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f1)+(9a)+(9b)+(9c)+(9d)+(9e)+(9

17、f+1)=96=54 所以原式的计算结果的数字和为54评注：M的数字和为9k(其中M的位数为x，且xk) 7试求999999999999999乘积的数字和为多少? 【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注：设999999999999999M， 于是M类似的情况，于是，确定好M的位数即可；注意到999999999999999M，则M10100100013100000000 其中k=1+2+4+8+16+512=1024l=1023； 即M，即M最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M与乘积的数字和为10249=102401024=9216原式的乘积数字和为9216 三、递推法的运用有时候，

18、对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法 8我们定义完全平方数A2=AA，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121112；123211112；123432111112于是，我们归纳为1234n4321=（）2评注：以上归纳的公式1234n4321（）2，只有在n1时，7克的砝码取得较少，而3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个 105种商品的价格如表81，其中的单位是元现用6

19、0元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式? 【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，则有 =60 =310，显然只能取0，1，2有=310，其中d可取0，1，2，3，4 (1)当d=0时，有=310，将系数，常数对6取模得： 4(mod 6)，于是最小取4，那么有18b=310-434=138，b不为自然数所以d=0时。不满足；(2)有=233，将系数，常数对6取模得：5(mod 6),于是最小,那么有18b=233-435=18,；(3)有=156，将系数，常数对6取模得：O(mod 6)，于是最小取0，那么有18b=156，b不

20、为自然数，所以d=2时，不满足；(4)有=79，将系数、常数对6取模得：1(mod 6)，于是最小那么有18b=7943=36(5)当d=4时，有=2，显然不满足有=190，其中d可以取0、1、2(1)有=190，将系数、常数对6取模有：4(mod 6)，于是最小那么有18b=190-434=18,(2)当d=1时，有=113，将系数、常数对6取模有：5(mod 6)，于是最小取5，即18+215=113，显然d=1时，不满足；(3)有=36,显然有时有=70，只能取0，有=70，将系数、常数对6取模有：4(rood 6)，于是最小取4，那么有18+172=70，显然不满足最后可得到如下表的满

21、足情况：共有4种不同的选购方法 11有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3分一张和5分一张每11人都尽量多买5分一张的画片问他们所买的3分画片的总数是多少张? 【分析与解】 钱数除以5余0，1，2，3，4的人，分别买0，2，4，1，3张3分的画片因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共买109=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3分画片的总数是90-2-4=84张 12哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数

22、都可以表示成两个质数之和”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1 【分析与解】 个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71 其中168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解13(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少? (2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少? 【分析与解】 (1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互

23、不相等的质数和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50 所以，其中一定可以有某几个质数相等 欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9个2，那么最大质数不超过5029=32，而不超过32的最大质数为31 又有，所以满足条件的最大质数为31 (2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50 所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7 607=84，而4=2+2，恰好有即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7 14有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多

24、少种? 【分析与解】 注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即 (1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；(49，51)； 每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，48分和49分这49种情况 1分和3分的币值显然不能构成 2分，4分，6分，46分，48分等2；4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5分，7分，9分，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分，6分,8分，46分、48分的构成方法

25、上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分 综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分 15小明买红、蓝两支笔，共用了17元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完那么红笔的单价是多少元? 【分析与解】如下表先枚举出所有可能的单价如表1再依次考虑：首先，不能出现35的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35元，所以含有7，5，1的组合不

26、可能然后，也不能出现3517=18的约数否则先各买一支需17元，那么再买这种笔就可以花去18元，一共花35元所以含有9，6，3，2的组合也不可能所以，只有13+4的组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为13元1庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7个大和尚每天共吃41个馒头，每29个小和尚每天共吃11个馒头.平均每个和尚每天恰好吃1个馒头，问：庙里至少有多少个和尚2小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早

27、晚都见面，在这15天内它们共叫61声问：波斯猫至少叫了多少声?3张邱建算经百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?第9讲 整数分拆 1一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数 2一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(nr)个P 3把自然数S (S1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大 4把自然数分成若干个互不相等的

28、整数，则先把它表示成2+3+4+5+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数 如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1 5若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法 即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数21个奇约数 6共轭分拆我们通过下面一个例子来说明共轭分拆： 如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆 1写出13=1+3+4+5的共轭分拆【分析

29、与解】 画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆 2电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等则该电视连续剧最多可以播出几天? 【分析与解】 由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少 选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加即把30表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30

30、=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天 3若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子问：一共有多少只盒子? 【分析与解】 设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个

31、小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数 现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为42=67，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数； 又因为42=143，故可将42：13+14+15，一共有3个加数； 又因为42=212，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子 4机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色： 凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色

32、(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由 【分析与解】 显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色， 3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色 下面统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成

33、红色 1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k2) 由于n10，所以k15，k23，2(k2)与4均为合数，且不相等于是，大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色 2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k4) 由于n13，所以k6，k42，2(k2)4与9均是合数，且不相等也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色 所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k2)所以第2000个染红色的数是2000+10=2010 5.在整数中，有用

34、2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法. (1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数 (2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数 【分析与解】 关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达种数.根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4，对4分解质因数4=22，最小的15(1、3、5、15)；有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、2

35、7、81、243、729)，有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：364+365；242+243+244；119+120+124；77+78+79+85；36+37+45；14+15+40 6.从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每组的和相等.如从1到3的话，1+2=3；从1到20的话：1+2+3+14=15+16+17+20. 请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几? 【分析与解】 我们用这种阶梯图来表示连续的数相加，假设情况见下图， 我们通过图得知，c是公共部分，而b+c为原等式的右边，a +c为原等式的左边，所以有a=b，a部分面积为 (可以看成从1一

36、直加到A)，b部分面积为BB(可以看作从1一直加到B再又加到1)； 有=BB 可以表示为奇数相邻的偶数2=BB； 其中A是连续两个数中较小的一个，B的平方等于连续两个数的乘积除以2 因为相邻的两个数互质，所以，偶数2后与原相邻奇数也互质； 所以，奇数必定为完全平方数；偶数2也为完全平方数，这样： 奇数为1，则偶数为2，除以2，为1，均为完全平方数A=l，=122=1，于是为A+B=2，A+2B=3；所以为l+2=3； 奇数为9，则偶数为8，除以2，为4，均为完全平方数A=8，=892=36，于是为A+B=8+6=14，A+2B=8+26=20；所以为1+2+3+14=15+16+17+20；

37、还可以偶数为10，除以2，为5，不是完全平方数，不满足 奇数为25，则偶数为24，除以2，为12，不是完全平方数，不满足； 还可以偶数为26，除以2，为13，不是完全平方数，不满足 奇数为49，则偶数为48，除以2，为24，不是完全平方数，不满足； 还可以偶数为50，除以2，为25，是完全平方数A=49，=49502=1225，于是为A+B=49+35=84，A+2B=49+235=119所以等式为l+2+3+84=85+86+87+119(=3570)所以所求的式子为1+2+3+84=85+86+87+119(=3570) 7把一个整数写成非零自然数的和的形式如果所用的几个自然数相同，只是写

38、的顺序不同，也只算做一种方法另外，只使用一个自然数，也算做一种方法 (1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种： 6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种? (2)比如，把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种： 3+3+1，3+2+2，3+2+1+1，2+2+2+l，3+1+1+1+1，2+2+l+1+1，2+1+1+1+1+1，1+l+1+1+1+1+1请问：把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种? 【分析与解】 (1)我们注意到设x+y+z=50，求x、y、z有多少组可能的值,并且x、

39、y、z代表的数字调换顺序只算一种 为了方便计算，不妨设xyz 当x=0时，y+z=50，y可以取025，z对应取值，于是有26组解； 当x=1时，y+z=49，y可以取124，z对应取值，于是有24组解； 当x=2时，y+z=48，y可以取224，z对应取值，于是有23组解； 当x=3时，y+z=47，y可以取323，z对应取值，于是有21组解；当x=4时，y+z=46, y可以取423，z对应取值，于是有20组解； 当x=15时，y+z=35，y可以取1517，z对应取值，于是有3组解； 当x=16时，y+z=34，y可以取1617，z对应取值，于是有2组解 所以，共有26+24+23+21

40、+20+3+2组可能的值；我们知道有17个数的和，我们注意到这些数的规律，每个数是上一个数2,1，2，1，2，1；所以，我们这样计算26+(24+23)+(21+20)+(3+2)=26+=26+(47+5)82=26+524=234 所以有234种不同的表示方法 (2)我们注意一下，把6也分成三个以内的数的和，如： 6=1+1+4 我们注意到从左往右看可以得到下面的数：1+1+4=6， 而从上往下看得到右边的数3+1+1+1=6，每个数都是3或3以下. 并且不光是6满足，其他的也满足，当把它从左到右排列成三个数以内的和，则从上到下一定是3以内的数的和.也就说是一一对应的，于是(1)的种数就是

41、(2)所对应的种数即234种. 8洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再拧一下，当然不可能全拧干假设使劲拧紧后，衣服上还留有1千克带污物的水现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都是整数千克，试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几? 【分析与解】 我们假设分成n次分别为x，y，z， 则每次漂洗的时候，总是加上上次剩下的l千克污水，则每次实际水量分别为： x+1，y+l，z+1， 则最后剩下了，要使最后残留的最少，只要分母最大即可 注意到当18全部分成2的时候，2+1即是3，也就是满足我们【内容概述】第3条了，此时分了182=9次，于是为. 但是我们还应注意到，当分的次数越多，分母的和越大如：当分成

42、10次时，经过的水量变成18+10=28，则此时可以是8个3千克，2个2千克，此时为 于是考虑最极端的情况，我们把清水分成18次，此时经过的水量变成18+18=36，为18个2千克，此时对应因为每次必须是整数千克的水，所以不能再分 于是，当分成18次，每次1千克，此时剩下的污物残留量最少，为洗涤前的.第10讲 数论综合（一）涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题 1如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少? 【分析与解】 我们知道如果有5个连 续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。

43、 所以n小于5:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0； 如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4； 所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能：当n为3时，有123的个位数字为6，234的个位数字为4，345的个位数字为0，不满足：当n为2时，有12，23，34，45的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足 至于n取1显然不满足了所以满足条件的n是4 2如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d那么， (1)a+

44、b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168 所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168 3如果某整数同时具备如下3条性质： 这个数与1的差是质数； 这个数除以2所得的商也是质数； 这个数除以9所得的余数是5 那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数 【分析与解】 条件也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件

45、，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件 其中86与50不符合，32与68不符合，三个条件都符合的只有14所以两位幸运数只有144在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=51111001 =357111337显然其最大的三位数约数为7775从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米? 【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847

46、毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=17723177=3 不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米 6已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质请写出所有可能的答案 【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且abc，因为两两不互质，所以它们均是合数 小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=27，其中质因数7只有14含有，无法找到

47、两个不与14互质的数 所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18) 7把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1那么最少要分成多少组? 【分析与解】26=213，33=311，34=217，35=57，63=7，85=517，91=713，143=1113 由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组： 将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组所以，至少要分成3

48、组 8图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远? 【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远 小圆周长为30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30与24的最小公倍数时120 12030=412024=5所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个圆周长，即爬到了过A的直径另一点B这时两只甲虫相距最远 9设a与b是两个不相等的非零自然数(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的

49、和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=22233，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨设ab:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值 总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值 (2)60=2235，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b为60的约数，不妨设ab ：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是ab可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48