现代控制理论：第4章_稳定性与李亚普诺方法

1、第4章 稳定性与李亚普诺夫方法4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义4.2 李亚普诺夫第一法(间接法)4.3 李亚普诺夫第二法(直接法)4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用(自学)本章主要学习和掌握内容：1、系统稳定性的一般定义；2、李亚普诺夫关于系统稳定性的判断方法: 第一法(间接法)和第二法(直接法)；3、李亚普诺夫方程及其在线性系统稳定性判断中的应用系统的稳定性：系统受到外界扰动后偏离原平衡状态，在扰动消失后系统回到原平衡状态的能力。也即是系统的自由运动是否能够回到平衡状态的能力。Routh-Hurwitz判据，Nyquist判据：基于系统特征根

2、的分布；适用于单入单出线性定常系统李亚普诺夫第一方法、第二方法：前者通过特征根分布判断稳定性；后者通过引入能量函数来判断系统稳定性，适用于任何系统的稳定性分析，并可用于评估系统瞬态响应质量以及求解参数最优化问题。4.1 李亚普诺夫关于稳定性的定义主要学习和掌握内容：1、学习和掌握系统的平衡状态的概念；2、学习和理解李亚普诺夫关于系统稳定性的一般定义。线性系统的稳定性只决定于系统的结构及参数，与系统初始条件及外界扰动大小无关；而非线性系统的稳定性还与初始条件及外界扰动大小有关。一、系统的运动轨迹及平衡状态二、李亚普诺夫关于稳定性的几个定义：若干符号表示关于稳定性定义的小结李亚普诺夫关于稳定性的定

3、义中，超球域s()限制着初始状态x0的范围(可称之出发区域)，超球域s() 规定了系统由初态x0引起的自由响应x(t)的边界(可称之到达区域)。因此，稳定性定义可概括为：若自由响应x(t)有界，则称平衡状态xe稳定(李亚普诺夫意义下稳定)；若响应x(t)有界且可收敛于xe，则称xe渐近稳定；若响应x(t)有界且收敛于xe，且出发域s()任意大(即为整个状态空间)，则称xe大范围渐近稳定;若某一响应x(t)无界，则称xe不稳定。经典控制理论中，渐近稳定的系统才称为稳定的系统，满足李亚普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的系统称为临界稳定系统（工程上属于不稳定系统）。4.2 李亚普诺夫第一方法(间接法)

4、主要学习和掌握内容：1、学习和理解系统的状态稳定性与输出稳定性这两个概念。2、学习和掌握利用李亚普诺夫第一方法判断线性系统和非线性系统的稳定性。 李亚普诺夫第一方法在本质上是通过求系统的特征值(反映系统解)来判别系统状态的稳定性：所有特征值均有负实部：系统状态渐近稳定；存在至少一个正实部特征值：系统状态不稳定；无正实部但有零实部：李亚普诺夫意义稳定。一、线性系统的稳定性判据(李亚普诺夫第一方法)1、状态稳定性(内部稳定性)：状态响应是否有界2、输出稳定性：输出响应是否有界状态稳定性常指系统在平衡状态处的稳定性。此例中，状态不渐近稳定，但系统输出稳定：状态不稳定是因为正特征值的影响，而输出稳定则

5、是因为传递函数中正特征值被零点对消，使得传递函数不存在位于s右半平面的极点(若无对消，系统极点与特征值则完全相同)。例4-1 Matlab仿真结果图中红色圆点为初始状态推论(状态稳定性与输出稳定性之间的关系)：如果系统的传递函数不存在零极相消，系统状态渐近稳定性与输出稳定性一致。（此时系统W(s)极点与系统特征值完全相同）若系统状态渐近稳定，必输出稳定。（系统W(s)极点是特征值的子集）。单输入单输出系统，若系统能控能观且输出稳定，则系统必渐近稳定。（系统W(s)无零极点相消）二、非线性系统稳定性(李亚普诺夫第一方法)将原非线性系统近似线性化为线性系统后：如果方程中的系数矩阵A所有特征值具有负

6、实部，则原非线性系统在平衡状态xe处是渐近稳定的，系统稳定性与高阶导数项R(x)无关；如果A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统在平衡状态xe处是不稳定的；如果不满足上述两种情形，且A至少有一个特征值的实部为0且虚部不为0，则系统处于临界情况，原非线性系统在平衡状态xe处的稳定性取决于高阶导数项R(x)，不能由A的特征值符号决定。(1)先考察系统在xe1处的稳定性：例4-2 Matlab仿真结果1图中红色圆点为初始状态(2)再考察系统在xe2处的稳定性：例4-2 Matlab仿真结果2图中红色圆点为起始位置关于李亚普诺夫第一方法的小结对于线性系统，(1)可通过系统特征值实部的符号判断系

7、统在平衡状态处的稳定性(状态稳定性)；(2)可通过系统传递函数的极点的实部符号判断系统的输出稳定性。对非线性系统，需要先对系统在平衡状态处作近似线性化，根据线性化的状态方程求其特征值，并根据特征值的实部符号情况判断原非线性系统在平衡状态处的稳定性。4.3 李亚普诺夫第二方法(直接法) 主要学习和掌握内容：1、学习和掌握标量函数、二次型标量函数以及标量函数符号性质的概念；2、学习和理解实对称矩阵符号性质的概念；掌握利用Sylvester判据判别实对称矩阵符号性质的方法；3、学习和掌握李亚普诺夫关于稳定性的判据以及利用李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性的方法。一、预备知识：标量函数、矩阵的符号性质1

8、. 标量函数及其符号性质：标量函数符号性质式中P为实数矩阵；若P的元素满足pij=pji，则P为实对称阵。若V(x)可写为如下形式，则称为二次型标量函数：上式称为二次型标量函数的标准型，它只包含变量xi的平方项，其中i 为矩阵P的特征值(可能为重根)。矩阵P的符号性质定义：矩阵P的符号性质与其所决定的二次型函数V(x)的符号一致如何判断实对称矩阵的符号性质？Sylvester(西尔维斯特)判据：判断实对称矩阵P的符号李亚普诺夫第二方法判断系统稳定性特点：不求解微分方程的解(或系统特征值)，而直接借助一个构造的李亚普诺夫函数V(x)直接对系统平衡状态稳定性进行判断。基本原理：从能量观点出发，若某

9、能量函数V(x)可用系统的状态表征，且V(x)随时间推移时的变化情况可分析，则可借此判断状态的变化：若系统受激励后，其储存能量随时间衰减，意味着状态在收敛；在到达平衡状态时，能量衰减至最小。此时，平衡状态渐近稳定；反之，若系统不断从外界吸收能量，储能越来越大，意味状态发散，则平衡状态不稳定;若系统既不从外界吸收能量也不消耗能量, 即储能既不增也不减，则平衡状态就是李亚普诺夫意义稳定。与李亚普诺夫第二方法有关的几个稳定判据充分非必要条件！关于系统稳定性判据的两个补充结论例4-6 Matlab仿真结果图中红色圆点为初始状态例4-7 Matlab仿真结果1(初态x1=0.51)图中红色圆点为初始状态

10、从初始状态(0.5, 2)出发的运动轨迹是发散的。运动轨迹发散例4-7 Matlab仿真结果2 (初态x1=1.51, x2=01)图中红色圆点为初始状态运动轨迹收敛李亚普诺夫第二方法的一般步骤及判据总结 关于李亚普诺夫第二方法及V(x)函数的说明 运用李亚普诺夫第二方法的关键在于寻找一个满足判据条件的李亚普诺夫函数V(x)，但稳定性理论中并未提供构造V(x)的明确方法。关于V(x)有如下说明： 1、V(x)应满足稳定性判据条件：(1)正定标量函数; (2)V(x)对x有一阶连续偏导数。 2、对于某个给定系统，如果可以找到一个V(x)确定地判定系统的稳定性，那么这样的V(x)通常不唯一，但是稳

11、定性结论总是一致的。 3、最简单的V(x)是二次型函数V(x)=xTPx（P为实对称阵），但V(x)不一定都是二次型形式。 4、李亚普诺夫稳定性判据是判断系统稳定性的充分条件而非必要条件，即：能找到与判据吻合的V(x)必然能够确定系统的稳定性，若所选V(x)不合适，则无法确定其稳定性。4.4 李亚普诺夫方法在线性系统中的应用主要学习和掌握内容：1、学习和掌握李亚普诺夫方程及其用于判断线性定常系统稳定性的方法；2、学习和理解线性时变系统的稳定性判据(自学)。3、学习和掌握线性定常离散时间系统的稳定性判据。1、连续时间线性定常系统渐近稳定判据连续时间线性定常系统渐近稳定判据的使用说明：例4-10 Matlab仿真结果1例4-10 Matlab仿真结果2例4-10 Matlab仿真结果32、线