2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国Ⅰ卷)文-试卷真题、答案及详细解析

1、绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷,文)(本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x2-3x-41)的左、右顶点,G为E的上顶点,AGGB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.选修44:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参

2、数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos -16sin +3=0.(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.23.选修45:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.2020年数学(全国卷,文)查缺补漏表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏1(集合)选择题集合的基本运算(交集)、一元二次不等式的解法;数学运算8,15,20(函数与导数)选择题指数与对数的互化;逻

3、辑推理填空题导数的几何意义;数学运算解答题应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的零点、求参数的取值范围;数学抽象、逻辑推理、数学运算7,18(三角函数与解三角形)选择题三角函数的周期、图像;直观想象、数学运算解答题正弦定理、余弦定理的应用、三角形面积的应用、三角恒等变换;数学运算14(平面向量)填空题平面向量的坐标运算、两平面向量垂直;数学运算10,16(数列)选择题等比数列基本量的计算;数学运算填空题由数列和求首项、分类讨论思想的应用;逻辑推理、数学运算13(不等式)填空题线性规划;直观想象3,12,19(立体几何)选择题求空间几何体的基本元素;直观想象选择题球的切接问题、球的表面积;

4、直观想象、数学运算解答题空间面面垂直的证明、求几何体的体积;直观想象、数学运算6,11,21(平面解析几何)选择题点与圆的位置关系、弦长最小值的求法;直观想象、逻辑推理、数学运算选择题双曲线的定义的应用、求焦点三角形的面积;直观想象、逻辑推理、数学运算解答题求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系;逻辑推理、数学运算续表题组及考查主题题型考查要点和核心素养查缺补漏4,5,17(概率与统计)选择题古典概型的应用、数学运算,逻辑推理选择题回归方程的应用;数据分析解答题古典概型、平均数;数学建模、数据分析2(复数)选择题复数的加法运算、复数的模;数学运算9(程序框图)选择题循环结构;逻辑推理22(坐标系与

5、参数方程)解答题极坐标与参数方程;直观想象、数学运算23(不等式选讲)解答题绝对值不等式、分段函数的图像;直观想象、逻辑推理【试题分析】2020 年全国卷文科数学,突出对基础知识(约占40%)以及主干内容的考查,如函数与导数(22分),立体几何(22分),解析几何(22分),概率与统计(22分),三角函数与解三角形(17分).纵观全卷,在稳定中求创新,重视对学生基本数学素养、思想方法与能力的考查,关注学生的应用意识与创新意识,试卷梯度明显,有良好的区分度.试题重视数学本质,突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用,突出对关键能力的考查.第3题以世界建筑奇迹埃及的胡夫金字塔为背景,设

6、计了正四棱锥的计算问题,将立体几何的基本知识与世界文化遗产有机结合.考查学生的分析能力和数学文化素养.第17题以工业生产中的总厂分配加工业务问题为背景,考查了学生运用所学的概率和统计知识对现实社会中实际数据的分析处理能力,将社会生产劳动实践情景与数学基本概念有机结合,培养劳动观念中的引导作用.1.D由不等式x2-3x-40,解得-1x4,故AB=1,3.2.C因为z=1+2i+i3=1+2i+i2i=1+2i-i=1+i,所以|z|=12+12=2.3.C如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h,则有h2=12ah,h2=h2-a22,因此有h2-a22=12ah,化简

7、得4ha2-2ha-1=0,解得ha=5+14.(负值舍去)4.A由题意知一共有10种取法,当选A,O,C和B,O,C时符合要求,故P=210=15.5.D结合题中散点图,由图像的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为y=a+bln x.6.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为(1-3)2+(2-0)2=223,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短,因为|O1A|=(3-1)2+(0-2)2=22,|O1B|=3,所以|AB|=|O1B|2-|O1A|2=9-8=1,所以|BC|=2|AB|=2.7.

8、C由题图知f-49=cos-49+6=0,所以-49+6=2+k(kZ),化简得=-3+9k4(kZ).因为T22T,即2|24|,所以1|2,解得-119k-79或19k59.当且仅当k=-1时,1|2.所以=32,最小正周期T=2|=43.8.B因为alog34=log34a=2,所以4a=32=9,所以4-a=14a=19.9.C输入n=1,S=0,则S=S+n=1,S100;n=n+2=3,S=S+n=1+3=5,S100;n=n+2=5,S=S+n=1+3+5=10,S100;n=5+2=7,由以上推导可知S是以1为首项,2为公差的等差数列的前m项和,可得S=m+m(m-1)100,

9、解得-10m10.故当n=1+102=21时,不满足S100,故输出n=21.10.D设等比数列an的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.11.B由题意知a=1,b=3,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|P

10、F1|PF2|=4,所以|PF1|PF2|=6,所以PF1F2的面积为12|PF1|PF2|=3.12.A由题意知O1的半径r=2.由正弦定理知ABsinC=2r,OO1=AB=2rsin 60=23,球O的半径R=r2+|OO1|2=4.球O的表面积为4R2=64.13.1画出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分)所示,将目标函数z=x+7y变形可得y=-17x+17z,平移直线y=-17x.由图可得z在点A处取得最大值.由x-y-1=0,2x+y-2=0,得x=1,y=0,所以A(1,0),所以zmax=1+70=1.【思路点拨】 解答本题的关键是根据题意画出可行域,分别求出交点坐标,可

11、知z在点(1,0)处取得最大值.14.5由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.15.y=2x设切点坐标为(x0,y0).对y=ln x+x+1求导可得y=1x+1.由题意得,1x0+1=2,解得x0=1,故y0=ln 1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.16.7当n为偶数时,有an+2+an=3n-1,则(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,因为前16项和为540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.当n为奇数时,有an+2-an=3n-1,由累加

12、法得an+2-a1=3(1+3+5+n)-1+n2=34n2+n+14,所以an+2=34n2+n+14+a1,所以a1+3412+1+14+a1+3432+3+14+a1+3452+5+14+a1+3472+7+14+a1+3492+9+14+a1+34112+11+14+a1+34132+13+14+a1=448,解得a1=7.17.解 (1)由试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100=0.4;乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100=0.28.(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525-5-7

13、5频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为6540+2520-520-7520100=15.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为7028+301710.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.18.解 (1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos 150,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=23.ABC的面积为12232sin 150=3.(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sin A+3s

14、in C=sin(30-C)+3sin C=sin(30+C).故sin(30+C)=22.而0C30,所以30+C=45,故C=15.19.(1)证明 由题设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解 设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱锥P-ABC的体积为1312PAPBPC=1312623=68

15、.20.解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在(-,+)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a0时,由f(x)=0可得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).若01e,则f(ln a)0,所以f(x)在(-,ln a)存在唯一零点.由(1

16、)知,当x2时,ex-x-20,所以当x4且x2ln(2a)时,f(x)=ex2ex2-a(x+2)eln(2a)x2+2-a(x+2)=2a0.故f(x)在(ln a,+)存在唯一零点.从而f(x)在(-,+)有两个零点.综上,a的取值范围是1e,+.21.(1)解 由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则AG=(a,1),GB=(a,-1).由AGGB=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程为x29+y2=1.(2)证明 设C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3n3.由于直线PA的方程为y=t9(x+3),所

17、以y1=t9(x1+3).直线PB的方程为y=t3(x-3),所以y2=t3(x2-3).可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于x229+y22=1,故y22=-(x2+3)(x2-3)9,可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.将x=my+n代入x29+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.所以y1+y2=-2mnm2+9,y1y2=n2-9m2+9.代入式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.解得n=-3(舍去),n=32.故直线CD的方程为x=my+32,即直线CD过定点32,0.若t=0,则直线CD的方程为y=0,过点32,0.综上,直线CD过定点32,0.22.解 (1)当k=1时,C1:x=cost,y=sint,消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2