2022年优秀教案-直线与圆的方程的应用

1、精品教学教案4.2.3 直线与圆的方程的应用教材分析本节内容是必修 2 第四章第 2 节的第 3 课时，主要是运用本章前面所学过的知识和理论原理来研究和 解决直线与圆的方程的实际应用问题以及利用坐标法解决平面几何的证明问题因此本节课在教材中的地 位很重要，是整章知识的整合，不可或缺此外本节课在教材中还起着深化知识，提升知识的作用，使学 生的基本技能上升到一个新的台阶，同时为以后解析几何的深化学习奠定了良好的基础课时分配本节内容用1 课时的时间完成， 主要讲解了两道例题，分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思路及其解题过程教学目标重点： 直线和圆的应用性问题以

2、及用坐标法证明平面几何问题难点： 如何用坐标法解决实际问题知识点： 用坐标法解决简单的实际应用问题和平面几何问题能力点： 在探究直线与圆的方程应用的活动中，培养学生运用数形结合与方程的思想解决问题的意识，提升学生分析、解决问题的能力和反思、归纳的能力教育点： 通过引入实际应用问题，使学生感受数学就在我们身边，激发学生的学习兴趣 自主探究点：通过交流、探讨，自主归纳出用坐标法解题的一般步骤考试点：与直线、圆有关的实际应用及其利用坐标法处理平面几何问题易错易混点：利用坐标法解题时，相关点直线圆的代数表示拓展点：如何建立“ 适当” 的平面直角坐标系 ? 教具准备 多媒体课件、圆规、直尺课堂模式 学案

3、导学一、 复习引入(1)知识回顾：1.直线与圆的位置关系：相离、相切、相交 2.圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、内含 3.解决直线与圆以及圆与圆的位置关系的方法 直线与圆的位置关系的判断，通常有两种方法：方法 1：从几何的角度来说明，依据圆心到直线的距离d 与半径长 r 的关系，当 dr 时，直线与圆相离；当 dr 时，直线与圆相切；当dr 时，直线与圆相交方法 2：通过直线与圆的方程组成的方程组有无实数解来判断如果有解，直线与圆有公共点有两 组实数解时，直线与圆相交；有一组实数解时，直线与圆相切；无实数解时，直线与圆相离和判断直线与圆的位置关系一样，判断圆与圆的位置关系也有两种方法

4、：一种是利用两圆圆心连心线长与 r 1 r 和 r 1 r 2 的大小关系判断，另一种是根据两个圆的方程组成方程组的实数解的个数判断【设计意图】复习巩固前面所学知识，为这节内容的学习作好充分准备(2)新课引入 ：引导学生阅读课本P124“ 坐标法与机器证明”体会法国数学家笛卡儿与中国数学家吴文俊在几何代数化以及几何定理机器证明方面的贡献精品教学教案【设计意图】引出本节课要探究学习的主题 坐标法的应用二、探究新知探究一：直线与圆的方程在实际生活中的应用例 4图 4.2-5 是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图这个圆的圆拱跨度 AB 20 m ，拱高 OP 4 m ，建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑

5、，求支柱 A P 的高度 2 2(精确到0.01m)图 4.2-5 思考 1：如图 4.2-6 所示建立直角坐标系，那么求支柱 A P 的高度，化归为什么问题？学生： 支柱 A P 的高度即为点 P 的纵坐标思考 2：取 1m为长度单位， 如何求圆拱所在圆的方程？学生 ：由圆心在y 轴上，可设圆的方程为图 4.2-6 2 x(yb)2r2，然后根据点A ， B 在圆上， 构造方程组即可求解b ， r ，得到圆的方程思考 3：利用这个圆的方程如何求点P 的纵坐标？学生： 将点2P 的横坐标x2代入圆的方程可得结果最后教师归纳概括，给出规范的解题过程如下：解： 取 1m 为长度单位，建立图 42-

6、6 所示的直角坐标系，使圆心在在 y 轴上，设圆心坐标是 (0, ) b ，圆的半径是 r ，那么圆的方程是 x 2( y b ) 2r 2，因为 P B 都在圆上， 所以它们的坐标 (0,4) ，(10,0) 都满足方程 x 2( y b ) 2r 2于是，得到方程组2 2 20 (4 b ) r ,2 2 210 (0 b ) r .解得 b 10.5，r 214.5 22 2 2所以，圆的方程是 x ( y 10.5) 14.5将点 P 的横坐标 2 x 2 代入圆的方程，得2 2 2( 2) ( y 10.5) 14.5，解得 y 3.86( m ( P 的纵坐标 y 0 )答：支柱

7、A P 的高度约为 3.86m思考 4：如果不建立坐标系，你能用几何法解决这个问题吗？图 4.2-7 精品教学教案CA教师： 如图 4.2-7，过2P 作P HOP ，由已知OP4，OA10在 Rt AOC 中，有数学通2CO2OA2设圆拱所在圆的半径长是r ，则有r2(r4)210 2，解得r14.5在Rt CP H 中，有CP 22CH2+P H2，因为P H 2A O 22，于是有CH2r2A O214.524206.25，又OC14.5410.5，于是有OHCHOC206.25 10.53.86，所以支柱A P 的高度约为 3.86m【设计意图】 这是一个我们学生身边的例子，通过这个例

8、子体会我们的生活中无处不在“ 用”过这一问题的解决，进一步巩固用坐标法解决实际问题的步骤，了解建立适当的坐标系的必要性同时，通过思考 4 进一步体会坐标法在解决一些问题上的优越性探究二：坐标法在研究几何问题中的应用例 5已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半思考 1：许多平面几何问题常利用“ 坐标法” 来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？教师指出在建立直角坐标系时应该注意选择图形中互相垂直的两条直线作为 x 轴与 y 轴，并尽可能使得所涉及的点位于坐标轴上，因为这样可以使得它们的坐标比较简单（有一个是 0）学生：

9、以四边形中互相垂直的两条对角线所在直线分别为 x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系思考 2：如图 4.2-8 所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点A a ( ,0)，B(0, ) b ，C c ( ,0)，D(0,d ，那么 BC 边的长为多少？图 4.2-8 2 2学生： 根据两点间距离公式可得，BC b c思考 3：四边形 ABCD 的外接圆圆心 O 的坐标如何？学生合作探究可得：把找出圆心 O 坐标的任务分解为找出它的横坐标和纵坐标两件事，因此应该由点 O 向 x轴作垂线， 找出垂足 M 的横坐标，也就是点 O 的横坐标类似地，点 O 的纵坐标就是点 N 的纵坐标思考 4：如何

10、计算圆心O 到直线 AD 的距离 O E ？图 4.2-9 学生： 由 O EAD ，可知点 E 为线段 AD 的中点，根据中点坐标公式求出点E 坐标为a d ,2 2，再由两点间距离公式可得O E 最后教师归纳概括，给出规范的解题过程如下：证明： 如图 4.2-9，以四边形ABCD 互直垂直的对角线AC ， BDB 所在直线分别为x轴， y 轴，建立直角坐标系设A a ( ,0)，B(0, ) b ，C c ( ,0)，D(0,d ，精品教学教案过四边形 ABCD 外接圆的圆心O 分别作 AC ， BD ， AD 的垂线， 垂足分别为 M ， N ， E ，则 M ，N ， E 分别是线段

11、AC ， BD ，的中点由线段的中点坐标公式，得a c b d a dx O x M，y O y N，x E，y E2 2 2 22 2所以 O E a c a + b d d 1 b 2c 22 2 2 2 2 2 2又 BC b 2c 2，所以 O E 1BC 2思考 5：由上述计算可证明结论成立你能用平面几何知识证明这个命题吗？教师提示 ：如图 4.2-10，连接 AO 并延长交圆于点 F ，连接 FD ，这样就找出 2 O E ，即 FD ，然后证明 FD CB 【设计意图】 通过本例进一步延伸了坐标法的应用范围 几何证明对于思考 5，在教学中我们仅仅是指出思路，突破难点并没有花费过多

12、的时间去证明解答，我们的目的是 通过几何法和坐标法的比较，让学生体会几何证法的奇巧性和坐标法应用的一般性图 4.2-10 三、理解新知用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数运算结果“ 翻译” 成几何关系，得到几何问题的结论这就是用坐标方法解决平面几何问题的“ 三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“ 翻译” 成几何结论四、运用新知1( 课本 P132 练习 3)某圆拱桥的水面跨度20m，拱高 4m

13、现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？【设计意图】 本题是例 4 的一个延续，设置目的是进一步强化学生从直观认识过渡到数学思想方法的能力，巩固直线和圆的方程在实际生活中的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力解：建立如图所示的坐标系依题意，有A ( 10,0)，B(10,0)，P(0, 4)，D( 5,0)，E(5,0)y4)设所求圆的方程是(xa)2(yb )2r2于是有(a10)2b2r2,(a2 10)b2r2,2 a( b4)2r2.解此方程组，得a0，b10.5，r14.5所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y2 10.5)2 14.5 (0把点 D 的横坐标x5代

14、入上式，得y3.1精品教学教案由于船在水面以上高 3m ， 3 3.1，所以该船可以从桥下穿过2 (课本 P132 练习 4)等边 ABC 中，点 D 、E 分别在边 BC ，AC上，且 BD 1BC ，CE 1CA ， AD ， BE 相交于点 P 求证：3 3AP CP 【设计意图】使学生进一步熟悉和掌握平面几何问题与代数问题的转化，加深坐标法的解题步骤，巩固所学知识解： 以 B 为原点， BC 边所在直线为x 轴，线段 BC 长的1 6为单位长，建立如图所示的坐标系则A (3, 3)，B(0,0)，C(6,0)由已知，得D(2,0)，E(5, 3)直线 AD 的方程为y3 3(x2)直线

15、 BE 的方程为y3 ( 5x5)3解以上两方程联立成的方程组，得x15，y3 3773 9所以，点 P 的坐标是15 3 3 ,7 7直线 PC 的斜率kPC因为kADk PC3 331，所以， APCP 9五、课堂小结1知识方面：（1）直线和圆的方程在实际问题中的应用；（2）坐标法在平面几何中的应用；（3）利用坐标法解题的“ 三步曲”2思想方法方面：体会数形结合的数学思想在解题中的应用【设计意图】 通过对本节知识的归纳概括，体会坐标法在解决实际问题中的作用六、布置作业必做题：教材P132 习题 4.2 A 组 8 ； P133B 组 1选做题：教材P133 习题 4.2 B 组 2【设计意图】 通过 A 组 8 和 B 组 1 进一步强化学生对直线和圆的方程在实际问题中的应用以及坐标法在平面几何中的应用的认识B 组 2 属于考查坐标法的应用的问题，不过难度较大，故而作为选做题存在七、教后反思1本教案的亮点： 本教案系统地研究了直线和圆的方程在实际问题和平面几何等问题中的应用严格精品教学教案遵循了新课程标准的要求，控制了例题和练习的难度，在例题和练习的选择上避免了繁难的证明，突出了坐标法的应用，这对全体学生而言是适当的在新知探究中突出了学生的主体地位，通过一问一答启