甘肃武威凉州区2014届高三下学期第二次诊断考试数学理试题版含答案

1、武威市凉州区2014届高三下学期第二次诊断考试数学（理）试题邦域说即U）本St鬟外第1卷（堰搭朋,知第【卷（垂揖择足，两部分.满分1%分,考曲间 幻髀.答题恭，考生先将自己的姓名、唯考证号附值写清装；（3 ）建用触爆赚加错第煽第，君密融弱项使用0 5英米黑色不如谢恚书写，字将工S ,于西盖2 ；（。】碎晦号J际凶超目的区壕内作答*相出答组I成书由店案无抽，在草梭出试5摊上图斑教:t W）保将玉面港港,不辞折整，不要浑限.舞球,不准使用危改就，的iE刀.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小惠 每小盅5分.共60分.在每小盅给出的四个选项中,只有一项是笥哈遇目要求的.1.己如集合用

2、二（x|f-X-2W0）. 二 口3 二 141-冷）.则川。8二（）A 82& Qj-1）UQ,+m CJ-LD d （L0）UQ2）2.已知复数1 - 3iB.2A.1z是Z的共辗复数，则z的模等于（C.4 D.3.已知等比数列an的公比为正数，且as 27=2通2=1,则a二（） TOC o 1-5 h z A. 1 B . -C. J2D . 222.下列判断错误的是（）A. am2 bm2 ”是“ a 0C.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D.若pAq为假命题，则p, q均为假命题.在一次实验中，测得（x,y）的四组值分别是 A（1,2）, B（2,

3、3）,C（3,4 ）, D（4,5）,则y与x之间的回归直线方程为（）A.y=x+1B.y = x+2C.y=2x1D y=x-1.执行如图所示的程序框图，若输出的k =5,则输入的整数p的最大值为()A. 7B. 15C. 31D. 63.已知 x= log 23log 2/，y= log 0.5 k , z = 0.91.1,则()228.已知双曲线与工=a2b2A. xvyvz B . zvyvxC. yvzvxD . yvxvza A0,b a0)的左，右焦点是F1, F2,设P是双曲线右支上一点,FF2在FP上的投影的大小恰好为FP且它们的夹角为-，则双曲线的离心率6为()62 12

4、313 19.设实数x,y满足约束条件:2r3x-y-60,y 02 1z = ax + by(a a 0,b 0)的3 2 一 .最大值为12,则3 + 的最小值为(a bA. 4B. 2C.D.210. 一个几何体的三视图如图所示,的外接球的表面积为()其中正视图是正三角形，则几何体侧视国A.B.16C.48D.6433_ 5211.若(2x-3) =a0+a1x + a2x()3a3x3 a4x43a5x5,则 a + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 等于A.8B. -1 C. 10D.112.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1). rx2 12，则不等式f(x)鼻十万的

5、解集为(=1,且f(x)的导数f (x)在R上恒有f (x)A. (1 , +8) B . (8, - 1) C.( 1,1) D .(一汽一1) U(1 , 十OO第n卷非选择题(共90分)二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位 置).已知等差数列an的公差为正数，且 a3 a7=12, a4+a6= 4,则S。为.若任取x,yW0,1,则点P(x, y)满足yx2的概率为。.如图，正方形 ABCD的边长为1 ,延长BA至E ,使AE =1 ,连接 EC、ED ,则 cos2/CED =.对大于或等于2的正整数的事运算有如下分解方式：22 =1 +

6、3 32 =1 +3+5 42 =1 +3 +5 +7 ,23 = 3 + 5 33 = 7 + 9 +1143 =13+15 +17 +19 ，根据上述分解规律，若m2 =1 +3 +5+11, p3分解中最小正整数是 21, WJ m + p =.三、解答题：本题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本小题满分12分)已知向量 a =( sin x, -1) ,b =J3cosx,函数 f (x )= (a + b ) a - 2 .2(1)求函数f(x )的最小正周期T ;(2)已知a,b,c分别为AABC内角A, B, C的对边，其中A为锐角，a = 2、J3

7、,c = 4, 且f (A )=1，求A, b和AABC的面积S .(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标 值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了 100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频率分布表指标值分组90, 94)94, 98)98, 102)102, 106)106, 110频数82042228B配方的频率分布表指标值分组90, 94)94, 98)98, 102)102,106)106,110频数412423210(I)分别估计用 A配方，B配

8、方生产的产品的优质品率;(II)已知用B配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为-2,t94y =12,94 t 102求X的分布列及数学期望.(以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的 质量指标值落入相应组的概率).(本小题满分12分)如图，三棱柱 ABC-AB1C1中，CCi = BCi = 0)的离心率e = J,左、右焦点分别为Fp F2,抛 a b2物线y2 =4，2x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M: x2 +y2 =的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否 经过定点？如果是，求出定点的坐标；如

9、果不是，请说明理由,21.(本小题满分12分)已知函数 f (x) = pln x + ( p - 1)x2 +1 .(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当p=1时，f(x)Ekx恒成立，求实数|k的取值范围； -rr1|11 I 1*(3)证明：ln(n +1) 1 + +| H +-(n w N ).2 3 n请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.(本小题满分10分)选修4 - 1 :集合证明选讲如图，AB为。的直径，过点 B作OO的切线BC OC交。于 点E, AE的延长线交 BC于点1(1)求证：C

10、E = CD - CB(2)若AB = BC= 2 ,求CE和CD勺长.(本小题满分10分)选修4 - 4 :坐标系与参数方程x = 5 cos在直角坐标系xOy中，已知点P(0,，3),曲线C的参数方程为$(巾为y = 15sin ;参数)。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为C 冗2cos(-) 6(1)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；(2)设直线l与曲线C的两个交点为A、B,求|PA|，|PB|的值。.(本小题满分10分)选修4 - 5 :不等式选讲设函数 f (x) =|2x-7|十1。(1)求不等式f (x)日x-1|的解集；(2)若存在x使不等

11、支f (x) ax成立，求实数a的取值范围。惊州区高三第二次诊断考试数学（理）答案一、选提题，本大题共12小题，诲小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.LC 2.A3. B 4,D5, A &B7.D8,C9. A 10,D 1LC 12,D二、填空题（本题共4个小黑每小8 5分，共2。分.把母d帝的,答案填在答题纸的相应位置） TOC o 1-5 h z 418014.-15. -16. 115三,解答题:本题共&小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步S-17.（本小题满分12分） 1，口 1杷.I、 f（x） = （a+） a-2 = a

12、+/b-2=sin5 z+ 1 +/3sin xcos xH22 2分-cqs 2 齐=sin (2 兀-)26=1 - 8*2,避帛 in 2了一1 =立以112X7 =竺=其因为 = 2,所以 2(II)/= *n(2H-2)=10 TOC o 1-5 h z A小穴Wn式5式、71 71开工 e(0,一2A6 (T)2 A A 因为 266 6 ,所以 6 2,3 ,分n , 2 2 rti12 = 8,+16 - 2x4b x, 1. j则a =b +e -2cgT,所以2 ,即方-43+4=则6:2,10 分S-bc sin j4- -x2x4xsin 60 = 2/从而 22,12

13、 分.（本小题满分12分）解：（I）由实验结果知，用 A配方生产的产品中优质的平率为 22里=0.3,所 100以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。100由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32上10 = 0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42(n )用b配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94 ,94,102 ,102,1101的频率分别为0.04, ,0.54,0.42 ,因止匕P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,即X的分布列为X 的数学期望值 EX=-2X 0.04+2 X 0.54+4

14、 X 0.42=2.68.(本小题满分12分)解：(1) CC1 =BC1=板BC =2 ,二MGB是以BC为斜边的等腰直角三角形，取 TOC o 1-5 h z BC的中点O , 连接 AO,GO，设OA =b，则zAO_LBC,CiO_LBCi乂4:面 ABC 1H BCCi Bi ,且面 ABCC面 BCC1B1 =BC ,K E卜、二 AO _L面 BCC1B1 , CQ _1面 ABC x xy以O为坐标原点，以OC、OC1、OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系. C(1,0,0),C1 (0,1,0), A(0,0,b), A 1,1,b), B(-1,0,0)1b 11 一一一

15、1 b 、.E( ,0,-),F(-,-,0)二 BC1 =(1,1,0), A1C1 =(1,0,4),EF =(1,一,一)设平面 A1BC1 的一个法 TOC o 1-5 h z 222 222向量为 n=(b,七,1). nEF=b-b-b=02 2，n_LEF, 又 EF 0面 A1BC1 EF 面 A1BC1. 4分jCC1 曳=0AC1 n1 =0 (2)设平面 ACCA 的一个法向量为 n1 =(x2)又 CC； =(1,1,0), AC =(1,0,b)x1y1 :，令 Z1 =1 ,贝U n1 =(b,b,1) n1 EFcos =- n fEFx1 -b乙=01 bef=

16、(15-2IW# b =1,m b =1- ,V ACX CC, b=1. 8分所以吊=(1,1,1)同理可求得平面AAB的一个法向量 瓦=(1,1,_1)一一 Q n21.cos 二 nil,% =-11mini 3来又二面角CAA-B为锐二面角，故余弦值为-.12320.（本小题满分12分）2c 2解：（1）因为椭圆C的离心率e=，所以=J ,即a丁；2c.2a2因为抛物线y2=4j2x的焦点f（、Q,o）恰好是该椭圆的一个顶点,2所以2 = &,所以c=i, b=i.所以椭圆c的方程为5 + y2=i-（2）（i）当直线l的斜率不存在时.因为直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为6x二

17、36x二3不妨设A（逅,逅），B（33),则以AB为直径的圆的方程为（x -（ii）当直线l的斜率为零时.因为直线l与圆M相切，所以其中的一条切线方程为、后y=F23x 2.2 y T不妨设 A(W,-Y) B(33则以AB为直径的圆的方程为显然以上两圆都经过点0(0, 0).(iii)当直线l的斜率存在且不为零时.设直线l的方程为y = kx+m .y = kx m,由 x22 消去 y ,得(2k2+1)x2+4kmx + 2m22 = 0,+ y =1,.2所以设 A(xi，yi), B(x2,y2),则 x1+x2 ;肃22m2 -2x xi x222k2 1所以 y1y2 =(kx1

18、 m)(kx2 m); k2x1x2 km(x1 x2) m22_ 2m2 -2k22k2 1 TOC o 1-5 h z I 22 c所以 0a OB = xx2 + y y2 = 3m k -2 . 2k2 1因为直线l和圆M相切，所以圆心到直线l的距离d = 二旦, 1k23整理，得m2 =2(1+k2),3将代入，得OAOB=0,显然以AB为直径的圆经过定点0(0, 0) 综上可知，以AB为直径的圆过定点(0, 0).21.(本小题满分12分)解：(1) f(x)的定义域为(0, +oo),f(x)=P+2(p-1x = 2tp12 +p xx当p*时，f (x) 0,故f(x)在(0

19、, +oo)单调递增；当p E0时，f(x)0,故f(x)在(0, +oo)单调递减；I当 0Vp 0; x -, +00 时，f(x)0.G 2(p-1)(f、( I 、故f(x)在0, i1单调递增，在p，+8单调递减0,所以1，ln x当 p =1 时，f (x) x令 h(x) =1 +1nx ,则 kh(x)max, x因为 h(x)=Ex,由 h(x) =0得 x = 1 , x且当 xw(0,1)时，h(x) A0 ;当 xw (1,+oc)时，h(x) 1 时，f (x) x即 1nxx 1 ,即 1n( n +1) -1n n n所以 1n21, 1n3喉2 ;1n(E所以 1n( n 1) ： 1111,(n N )2 3n请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22.(本小题满分10分)选修4- 1：几何证明选讲(I )证明：连接BE.BC为。0 的切线；/ABC= 90.AB 为。0 的直径900,2分 /DB /OBB 900 , ZAEO /