玻耳兹曼统计期末复习资料

1、第七章玻耳兹曼统计（期末复习）、热力学第一定律的统计解释:dU dW dQai i dU aid iidai比较可知：dWaid i dQidaiii即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能级引起内能变化;传热：通过改变粒子分布引起内能变化二、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布ai ie2、配分函数：量子体系：乙ieiaiiieN-iie iIie半经典体系：乙eq,p dqidq2dqrdpidp2 dprhr经典体系：乙ho内能:nZ1-N1物态方程:N 1nzi p定域系：自由能：F -NkT i nZ i嫡：S ki nm.bMK S Nk i nZii nZiq,p dq

2、idq2dqdpidp2dpho3、热力学公式（热力学函数的统计表达式） 三、应用：1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并 说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。2、能量均分定理能量均分定理的内容能量均分定理的应用：A、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多 原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在 的问题。B、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典 固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在 的问题。3、定域系的量子统计理论：、爱因斯坦固体模型；、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容 量；、知道爱因斯坦固体模型

3、成功之处及其不足和原因。四、应熟练掌握的有关计算1、求配分函数乙进而求系统的热力学性质2、用S kln的证明及相关应用四、解题指导1、求广义力的基本公式 Y司的应用；i y例1：根据公式Pai4，证明：对于极端相对论粒子，l V2 C 222x 1/2cp (Ax ny nz), nx ny nz 0, 1, 2,有p 1U。上述结论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。3V证明：令A c2 c （nXn2n；）1/2, A J 因此得到1 A 1 A 3 V773宝尸 3V压强ai 一V3V iai因内能Ulal ,所以 p 2。3V证毕由于在求证过程中，并未涉及分布ai的具体形式，故上述结论对

4、玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。2、嫡的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用 例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，嫡函数可以表 示为S Nk Psln Psss a s式中Ps是总粒子处于量子态s的概率，Ps q k年，s 对粒子的所有量子态求和。对于满足经典极限条件的非定域系统，嫡的表达式有何不同？证明：对于定域系S Nk in ZiinZiNkS Ps1nzi XN*证法(1 )：NkNkPsinZiPsinZiNkPsinZi证法(2):inin N!故:ai in N匹in NasS kT inNkPs in 乙SasNkPsinZiSNk Psin Pss对于满足玻耳兹曼分布的定域系i

5、n al!al ini N inas sPs sSai,aiin 一ias in NN!讨论：对满足对S Nk in 乙inZ iai ias in asal in alaii曳in Ns Nai in i N in Nas,in ass N或 S kinass一 in 一Nkk in M.BPsin PsPs in Ps1的非定域系kin N! Nk Psin Psskin N! NkPs in Ps例3:对如图所示的夫伦克尔缺陷,k inS0N! NkPs in Ps So(1)假定正常位置和填隙位置数均为N,证明：由N个原子构成的晶体，在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的嫡等于S 2k

6、 inN!n!(N n)!(2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能F nu TS为极小证明在温度为T时，缺位和填隙原子数为n Ne u/2kT(设 n N )证明：(1)当形成缺陷时，由现几个缺陷的各种占据方式就对应不同的微观状态，N个正常位置由现 n个空位的可能方 式数为N!/n!(N n)!,同样离开正常位置的n个原子去占据 N个间隙位置的方式数也为N!/n!(N n)!,从而形成n个空位并有n个间隙位置为n个原子占据的方式数即微观态数N!/n!(N n)! 2 ,由此求得嫡-N!S kin 2k lnn!(N n)!(2)系统的自由能F nu TS,取无缺陷时的晶体自由能

7、为零时，平衡态时系统的自由能为极小。将自由能 F对缺陷 数n求一阶导数并令其为零，求得缺位和填隙原子数为n Ne u/2kT(设 n N)3、求配分函数，确定体系热力学性质例4:已知粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表示式为 1/2 /2 _2 ,(PxPy Pz) axbx2m其中，a、b为常数，求粒子的平均能量。解：方法一：由配分函数求dxdydzdp xdpydpz1(pX py p|) ax2 bxZie 3 - e mdxdydzdp xdpydpzh3h3Ah72 axbxdx32-b22e奇e2b一x2adx1nzi ln Bln Zib2e 4a2lnb24a-b 2kT4ab - x

8、 2ab24adxb24ab22e 4ae方法二由玻尔兹曼分布公式求由玻尔兹曼分布，粒子坐标在dxdydz ,动量在dpxdpydpz 范围的概率为1dW eZidxdydzdpxdpydpzdxdydzdpxdpydpzh3h3由此求得一个粒子平均能量积分范围为：x, y, z V;px, py, pz代入积分，利用 函数,最后得到方法三1 / 2(px2mb22kT 4a用能量均分定理求；（pi p2 p；） ax2 bx2m22b 2 b TOC o 1-5 h z pypz) a(x 2；)石 能量表示式中，按照能量均分定律，每一平方项的平均值为 $T ,在上式中，对变量的平方项有 4

9、项，于是,I,2,21 /_ 2_ 2_ 2b、2bb丁(px py pz) a(x )2kT2m2a4a4a例5、试求双原子分子理想气体的振动嫡解：双原子分子原子间的振动在温度不太高时可视为简谐振动，振动能量为n (n g)hn 0,1,2单个分子的振动配分函数h /27n e TOC o 1-5 h z 乙 e ;h-n 01 e1h1nzi- h ln(1 e )双原子分子理想气体的振动嫡/(e h 1) ln(1 eh )ln ZS Nkln Z11 Nk h令v/Thv为振动特征温度,则上式写为S NkT exp( v/T) 1ln(1v/Te )3N例6、试求爱因斯坦固体的嫡。解：

10、据爱因斯坦模型，理想固体中原子的热运动可以视为 个独立谐振子的振动，且各振子频率都相同并设为常数 固体中一个振子能量为:l0、1、21n （n 万），一个振子配分函数Zn1en 0固体中共3 N个谐振子，由此得到固体的嫡11mle )1nziS 3Nk1n 乙 -3Nk-e例7、定域系统含有 N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级i和2,求温度为T的热平衡态下系统的内能和嫡， 在 高、低温极限下将结果化简，并加解释。解：1个粒子的配分函数为Z121（21）-1i e e e 1 e 1nZ11 1n1 e （2 1）求得系统的内能和嫡分别为N( 21)S Nk1n Z11nZ1Nk 1n1 e ( 2 1)(21 )(21)e讨论:当