人教版高中数学必修一方程的根与函数的零点教案

1、方程的根与函数的零点 教材：普通高中课程标准试验教科书（人教版）必修一一、教学目标：知识与技能：领会函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握函数零点的存在性定理。培养学生自主发现、探究实践的能力。过程与方法：以二次函数为载体，探究函数零点概念及零点存在性定理。在具体到一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践能力，并渗透相关的数学思想。情感态度与价值观：培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般的研究方法，形成严谨的科学态度。二、重点、难点：教学重点：领会函数零点的概念领会函数的零点与方程的根之间的联系； 掌握零点存在性定理教学难点：探究发现函数零点存在性定理三

2、、教学方法与手段：教学方法：启发式、探究式教学手段： 计算机，投影，图表，计算器课堂小结, 提升能力回顾旧知，发现问题总结归纳，形成概念初步运用，示例练习 分组讨论，探究结论知识应用，解决疑难生活实例，创设情景四、教学流程： 五、教学过程：教师活动学生活动设计意图（一）回顾旧知，发现问题问题1： 求下列方程的根（1）；（2）；（3）.问题2：观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标方 程方程实根函 数图 象图象与x轴交点探究发现：方程的实数根与相应函数图象与x轴交点的横坐标的这种关系对于一般的一元二次方程与相应二次函数也成立？教师强调

3、：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与相应一元二次方程的根的关系可以推广到一般情形 即对于函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标即是f(x)=0的根。问题1：（1），（2），（3）不懂得解答问题2：学生发现：方程的实数根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标学生共同探究得到：1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点.问题1：由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程没办法用前面学过的方法求解,造成认知上的冲突，需要寻求新的解决方法，激发学生的求知欲问题2：通过实例让学生体验方程、函数、函数的图象三者的

4、关系，渗透数形结合的思想，为引入函数的零点的概念及归纳方程与函数的关系打下基础教师活动学生活动设计意图（二）总结归纳，形成概念（本节课重点）1、函数的零点：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点（特别强调函数的零点不是点，而是一个实数）辨析练习：函数的零点是（ ）A（-1，0），（3，0）； Bx=-1； Cx=3； D-1和32、等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点学生在教师的引导下，形成概念并积极思考问题，回答问题。学生理解三个等价的意义，理解是“有”的等价，方程的根的个数与函数零点的个数并不能等价。通过辨析练习，来加深学生对概念的理解目的让学生明确零点是一个实数，不是一个

5、点.引导学生得出三个重要的等价关系，领会“等价转化”，“数形结合”和“函数与方程”的数学思想，这也是解题的关键 （三）初步运用，示例练习例1求函数的零点求零点的方法：方法1（代数法）：解方程f(x)=0，即； 方法2（几何法）：2画出函数的图象，写出图象与x轴交点的横坐标可得零点为2。学生自主思考并解决问题。巩固函数零点的求法，进一步培养学生利用“方程与函数”和“数形结合”的思想解决问题的能力教师活动学生活动设计意图（四）生活实例，创设情境（本设置为解决本节课重点难点：零点存在性定理）问题3：观察下列两组画面,并推断哪一组能说明人的行程一定曾渡过河？(A为起点，B为终点)ABAB问题4：这个生

6、活实例中，若将河看成x轴，A、B是人的起点和终点，则A,B应满足什么条件就能说明他的行程一定曾渡过河？学生自主探究：只要A,B两点位于x轴的两侧，曲线就穿过x轴，那么这种位置关系可以用f（a）f（b）0来表示。分解难点将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行类比推理（五）分组讨论，探究结论问题5：函数yf(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数yf(x)一定有零点？探究: 观察二次函数的图象，如右图，我们发现函数在区间上有零点计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？猜想： 如果有 ，那么函数在区间(a,b)上有零点教师活动学生分组讨论、探究 ，猜想零点

7、的存在性定理容易表述：如果函数在区间a,b上有，那么函数在区间(a,b)内有零点。经教师引导构造反例：，强化判定方法的条件图象是连续不断的一条曲学生活动通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性定理.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般的过程设计意图零点的存在性定理：如果函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且满足,那么，函数在区间（a，b）内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程的根.判断正误（定理辨析）：（1） f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)

8、内有零点,则f(a)f(b)0。（3） f(a)f(b)0 ，函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。学生修正以上的猜想，得到零点的存在性定理构造图像，利用图像帮助理解判断，深刻体会到函数零点存在定理的三个注意点：1 函数是连续的。2 定理不可逆。3 至少有一个零点。定理辨析让学生更加深刻体会到函数零点存在性定理的三个注意点。（六）知识应用、解决疑难函数是否存在零点解：用计算器或计算机作出的对应值表12345-4-1.3071.0993.3865.609由表可知,则,这说明函数在区间内有零点.问题6：这个区间内有零点，那么有几个零点呢？动手画一画探索：在零点存在性定理中，函数需要再满足

9、什么条件，函数在区间（a，b）上只有一个有零点？讲解例2：函数是否存在零点？若存在，判断零点的个数.法1：利用单调性教师活动学生动手画图，从图像探究发现结论:函数在区间a，b上是单调连续的，且f(a)f(b)0，则函数在区间（a，b）上只有一个零点。学生活动此题一方面巩固运用判定零点存在的方法，另一方面，再一次引起认 知上的冲突，为继续学习做铺垫。设计意图 由上题可知函数在区间内有零点.由于函数在定义域内是增函数,所以它仅有一个零点.法2：画的图象由图像可知图像与 x轴只有一个交点，所以函数仅有一个零点提出问题:本题只是解决了问题1（3）求方程的根的一个方面，那么方程的零点究竟是什么呢？在教师引导下进行思考并学会求函数零点的多种方法例2的设置及求解巩固了运用判定函数零点存在方法，初步学会用函数单调性及函数图象求零点个数。问题的提出为后续内容“用二分法求方程近似解”埋下伏笔。（七）课堂小结, 提升能力知识点：一个概念，三个等价，一个定理思想方法：“等价转化思想”、“数形结合思想”、“方程与函数思想”作业：1 必做题：p88 1,22