(江苏专用)高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测理-人教版高三全册数学试题

1、f x f x gx f x g xf n f mword第三章 导数及其应用第一节导数的概念与计算1导数的概念(1) 平均变化率一般地，函数 f ( x) 在区间 x 1， x2 上的平均变化率为(2) 函数 y f ( x) 在 x x0 处的导数定义：f x2 f x1x2 x1 .设函数 y f ( x )在区间 (a， b)上有定义， x0 (a， b)，若 x 无限趋近于 0 时，此值 f x0 x f x0 x无限趋近于一个常数 A，则称 f ( x)在 xx0 处可导，并称该常数 A为函数 f ( x)在 x x0 处的导数，记作 f (x0)几何意义：函数 f ( x)在点

2、x0处的导数线的斜率相应地，切线方程为(3) 函数 f ( x) 的导函数f (x0) 的几何意义是在曲线 y f ( x)上点 (x0， f ( x0) 处的切y f ( x0) f (x0)( x x0)若 f ( x)对于区间 ( a， b) 内任一点都可导，则 而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为2基本初等函数的导数公式(sin x) cos_x， (cos x) sin_ x，f ( x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化f ( x) 的导函数( ax) ax ln_ a，(e x) ex， (log ax) xln1 a， (ln x) 1x.3导数的运算法则(1) f

3、 ( x) g( x) f (x) g(x)；(2) f ( x) g( x) f (x) g( x)f ( x) g(x)；(3) g x 小题体验 1 ( 教材习题改编 )一次函数 g x 2 ( g( x) 0)f ( x) kxb在区间 m， n 上的平均变化率为 _解析： 由题意得函数 f ( x) kxb 在区间 m，n 上的平均变化率为n m k.1 / 531eword答案： k2 ( 教材习题改编 ) 如图， 函数 y f ( x) 的图象在点 P处的切线方程是 y x5，则 f (3) _， f (3) _.解析：由图知切点为 (3,2) ，切线斜率为 1.答案： 2 13

4、设函数 f ( x)在(0 ， ) 内可导，且 f ( x) x ln x，则解析：由 f ( x) x ln x( x0) ，知 f (x) 1 x，所以 f 答案： 2f (1) _.(1) 2.4 (2015 某某高考 ) 已知函数 f ( x) axln x， x(0 ， ) ，其中 a 为实数， f (x) 为 f ( x) 的导函数若 f (1) 3，则 a 的值为 _解析： f (x ) a ln x x 1x a(1 ln x)由于 f (1) a(1 ln 1) a，又 f (1) 3，所以 a3.答案： 31利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2

5、求曲线切线时，要分清在点 P处的切线与过 P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别 小题纠偏 1已知函数 f ( x) 的导函数为 f (x) ，且满足 f ( x) 2xf (e) ln x，则 f (e) _.解析：对关系式 f ( x) 2xf (e) ln x 两边求导，得 f (x) 2f (e) 1x，令 x e，得 f (e) 2f (e) ，所以 f (e) .1答案：2已知 f ( x) x2 3xf (2) ，则 f (2) _.解析：因为 f (x) 2x3f (2) ，所以 f (2)

6、 4 3f (2) ，所以 f (2) 2，所 以 f ( x) x26x，所以 f (2) 2262 8.答案： 82 / 5311 x 11 11 x 1 x 1 xx1ex .1 1 22word3已知定义在 R 上的函数 f (x ) ex x2 x sin x，则曲线 y f ( x )在点 (0， f(0) 处的切线方程是 _解析：令 x 0，得 f (0) 1. 对 f ( x)求导，得 f (x) ex2x 1 cos x，所以 f (0) 1，故曲线 y f ( x) 在点 (0， f (0) 处的切线方程为 y x 1.答案： y x 1考点一 导数的运算求下列函数的导数(

7、1) y x2sin x；(2) y ln x x；(3) y x x；(4) y 基础送分型考点自主练透 题组练透 x.解： (1) y ( x2) sin x x2(sin 2xsin x x2cos x .(2) y ln xx (ln x) 1 1x x2 .x1(3) y ex cos xcos x e cos x ex ex 2 sin x cos x(4) y ，y 1 x1x2 1x 2 21x 2 .x) 谨记通法 3 / 5351 5 252 4 44word求函数导数的 3 种原则考点二 导数的几何意义 常考常新型考点多角探明 命题分析 导数的几何意义是每年高考的必考内容

8、， 考查题型既有填空题， 也常出现在解答题的第(1) 问中，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1) 求切线方程；(2) 求切点坐标；(3) 求参数的值 题点全练 角度一：求切线方程1 (2016 某某调研 ) 已知 f ( x) x3 2x2x 6，则 f ( x)在点 P( 1,2) 处的切线与坐 标轴围成的三角形的面积等于 _解析： f ( x) x3 2x2x 6，f (x) 3x24x 1，f ( 1) 8，故切线方程为 y2 8(x 1)，即 8xy 10 0，令 x 0，得 y 10，令 y 0，得 x 4，所求面积 S 10 .25答案：角度二：求切点坐标2若曲线 y xl

9、n x 上点 P 处的切线平行于直线 _解析：由题意得 y ln x x 1x 1 ln x，2 x y 1 0，则点 P 的坐标是直线 2x y 1 0 的斜率为 2.设 P( m， n) ，则 1 ln m2，解得 me，4 / 53由0 13， b 13word所以 neln e e，即点 P的坐标为 (e， e) 答案： (e， e)角度三：求参数的值3(2016 某某外国语学校检测) 已知函数 f ( x) x4 ax2 bx，且 f (0) 13，f (1) 27，则 a b_.解析：fff (x) 4x32ax b，1 27 ? 4 2a b 27，a5，b 13，a b 18.

10、答案： 18 方法归纳 导数几何意义的应用的 2 个注意点(1) 当曲线 y f ( x)在点 ( x0， f ( x0) 处的切线垂直于 在，切线方程是 xx0；(2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线x 轴时，函数在该点处的导数不存曲线 y f ( x) 在点 P( x0，f ( x0)处的切线方程是 y f ( x0) f (x0)( x x0) ；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数 f ( x) ( x 2a)( x a) 2 的导数为 _解析： f ( x) ( x 2a)( x a) 2 x3 3a2x 2

11、a3，f (x) 3( x2a2)答案： 3( x2 a2)2已知函数 f ( x) 的导函数为 f (x) ，且满足 f ( x) 2xf (1) ln x，则 f (1) _.解析：由 f ( x) 2xf (1) ln x，得 f (x) 2f (1) 1x .f (1) 2f (1) 1，则 f (1) 1.答案： 13 (2016 某某一中检测 ) 曲线 y f ( x) x(x 1)( x2) ( x 6) 在原点处的切线 方程为 _5 / 53333 125word解析： y ( x 1)( x 2) ( x 6) x ( x 1) (x 2) ( x 6) ，所以 f (0)

12、( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) 0 720. 故切线方程为 y 720 x.答案： y 720 x4 (2015 全国卷 ) 已知函数 (2,7) ，则 a_.解析： f (x) 3ax2 1，f (1) 3a 1.又 f (1) a 2，f ( x) ax3x 1 的图象在点 (1， f (1) 处的切线过点切线方程为 y( a2) (3 a 1)( x 1)切线过点 (2,7) ， 7( a 2) 3a 1，解得 a 1.答案： 15已知曲线 y x3x 2 在点 P0 处的切线 l 与直线 4x y 10 平行，且点 P0 在第三 象限，则点 P0 的坐标为

13、_解析：设 P0( x0， y0)由 y x3x 2，得 y 3x2 1.由已知，得 3x 14，解得 x0 1.当 x0 1 时， y0 0；当 x0 1 时， y0 4. 又点 P0 在第三象限，切点答案： ( 1， 4)P0 的坐标为 ( 1， 4)二保高考，全练题型做到高考达标1某物体做直线运动，其运动规律是4 s 末的瞬时速度为 _ m/s.解析： s 2t t 2，在第 4 sst 2t ( t 的单位：末的瞬时速度 v s|s， s 的单位： m)，则它在第t 4 8 16 16 m/s.125答案：162 (2015 某某二模 ) 已知函数 f ( x) (x22)( ax2

14、b) ，且 f (1) 2，则 f ( 1) _.解析： f ( x) (x22)( ax2b) ax4(2 ab)x22b， f (x ) 4ax3 2(2 ab)x 为奇 函数，所以 f ( 1) f (1) 2.答案： 23已知 f ( x) x(2 015 ln x) ，若 f (x0) 2 016 ，则 x0_.6 / 53 3x 2 3 2 2 3 2 2，word解析： f (x) 2 015 ln xx 1x2 016 ln x，故由 f (x0) 2 016 得 2 016 lnx02 016 ，则 ln x0 0，解得 x0 1.答案： 14 (2016 金陵中学模拟 )

15、设点斜角 的取值 X 围为_解析： 因为 y 2 3围是 0， ， .答案： 0， ，P 是曲线 y x3 3x 3上的任意一点， P 点处切线倾3， 故切线斜率 k 3， 所以切线倾斜角 的取值 X5已知 f ( x) ln x， g( x) x2 mx( m0) ，直线 l 与函数 f ( x)， g( x) 的图象都相切，且与 f ( x) 图象的切点为 (1， f(1) ，则 m的值为 _解析： f (x) 1x，直线 l 的斜率为 k f (1) 1，又 f (1) 0，切线 l 的方程为 y x 1.g(x) x m，设直线 l 与 g( x) 的图象的切点为 ( x0， y0)，

16、则有 x0m1， y0 x0 1， y0 x mx0 ， m0) 在 x 1 处的切线为 l ，求 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值8 / 532x121 28cos x sin x，则442 22 242 21 a 1 a 1 1 1 1 11 1 123 327 27word解：因为 f (1) a 1，所以切点为由已知，得 f (x) a ，切线斜率11， a 1 .k f (1) a，所以切线 l 的方程为 y即 2xay a1 0.令 y 0，得 x a 1；令a 1 a( x 1)，x 0，得 y 所以 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积 S 2 2 a 4 aa 2 4

17、2 aa 2 1，当且仅当 aa，即 a 1 时取等号，所以 Smin 1.故 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线 C： f ( x) x3 ax a，若过曲线 C 外一点 A(1,0) 引曲线 C 的两条切线，它 们的倾斜角互补，则 a 的值为 _解析： 设切点坐标为 ( t， t 3 ata) 由题意知， f (x) 3x2 a， 切线的斜率 k y |x t 3t a，所以切线方程为 y ( t 3 ata) (3 t 2 a)( x t ) . 将点 A(1,0) 代入式得 ( t 3 at a) (3t 2 a)(1 t )，

18、解得 t 0 或 t 2. 分别将 t 0 和 t 2代入式， 得k a 和 k 4 a，由题意得它们互为相反数，故 a 8 .27答案：2 (2016 某某一中检测 ) 已知函数 f ( x) f 4 f的值为4_解析： f ( x) f cos x sin x，f (x) f f 4 f sin x cos x，4 ，f 故 f (2 1.2 1) 2 2 1.9 / 531 b 12b3.331 6y 2x0 .33word答案： 13 (2016 苏北四市调研 ) 设函数 f ( x) ax ，曲线 y f ( x) 在点 (2， f (2) 处的切线方程为 7x4y 120.(1)

19、求 f ( x) 的解析式；(2) 证明：曲线 y f ( x)上任意一点处的切线与直线 的面积为定值，并求此定值解： (1) f (x) a bx2 .x0 和直线 y x 所围成的三角形点 (2， f (2) 在切线 7x 4y 12 0 上，f (2) 又曲线 y f ( x)在点 (2， f(2) 处的切线方程为f 2 ， a ?f 2 2a 2 27x 4y 12 0，a 1，?f ( x) 的解析式为 f ( x) x x .(2) 设 x0， x0 x0 为曲线 y f ( x) 上任意一点，则切线的斜率 k 1 3x20，切线方程为 y x0 x0 令 x 0，得 y . 1x

20、 ( x x0)，由 y x0 132x0 x x0 ，y x，曲线 y f ( x)上任意一点处的切线与直线2|2 x0| x0 6，为定值x 2x0，得x 0 和直线 yx 所围成的三角形的面积 S第二节导数的应用10 / 53235 7 5 5 3 1得 x 或 xword1函数的单调性在( a，b) 内可导函数 f ( x)，f (x)在( a，b) 任意子区间内都不恒等于 在( a， b) 上为增函数 f (x) 0 ? f ( x)在 (a， b) 上为减函数2函数的极值0. f (x) 0 ? f ( x)(1) 函数的极小值：函数 y f ( x)在点 x a 的函数值 f (

21、 a) 比它在点 x a 附近其他点的函数值都小， f (a)0；而且在点 x a 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则点 a 叫做函数 yf ( x) 的 极小值点， f ( a) 叫做函数 y f ( x) 的极小值(2) 函数的极大值：函数 y f ( x)在点 xb 的函数值 f ( b) 比它在点 0；而且在点 x b 附近的左侧 f (x) 0，右侧 极大值点， f ( b) 叫做函数 y f ( x) 的极大值x b附近的其他点的函数值都大， f (b)f (x) 0，则点 b 叫做函数 yf ( x) 的极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3

22、函数的最值(1) 在闭区间 a， b 上连续的函数 f ( x) 在 a， b 上必有最大值与最小值(2) 若函数 f ( x)在 a， b 上单调递增，则 f ( a) 为函数的最小值， f ( b) 为函数的最大值；若函数 f ( x)在 a， b 上单调递减，则 f ( a) 为函数的最大值， f ( b) 为函数的最小值 小题体验 1 ( 教材习题改编 ) 函数 f ( x) x2ex 的单调增区间是 _解析：函数 f ( x) 的定义域为 R， f (x) 2xex x2ex ex(2 xx2) ，令 f (x)0 ，得 x0，所以函数 f ( x) 的单调增区间为 ( ， 2) 和

23、(0 ， )答案： ( ， 2)， (0 ，)2 ( 教材习题改编 ) 函数 f ( x) x3x2 4x取得极大值时 x 的值是 _解析： f (x) x2 3x 4，令 f (x) 0，得 x 1 1， x2 4，经检验知 x 4 时， 函数 y 取得极大值答案： 4 3 ( 教材习题改编 ) 函数 f ( x)解析： f (x) 23 cos x，令x sin x 在区间 0,2 上的最大值为 _f (x) 0， x0,2 ，6 6 ，又 f (0) 0， f 6 12 2.11 / 53a满足题意，故 .3312112wordf f (2 ) 3 . 所以函数 f ( x )在区间 0

24、,2 上的最大值为 3 .答案： 3 4已知 f ( x) x3 ax 在1 ， )上是增函数，则 a 的最大值是 _答案： 31求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决2求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好分极值点和导数为 0 的点 小题纠偏 1已知函数 f ( x) x3 ax2 bxa2 7a在 x 1 处取得极大值f (x) 0 时的情况；区10，则b的值为 _解析：由题意，知 f (x) 3x2 2ax b. 由函数 f ( x) 在 x 1 处取得极大值f 1 0， 32a

25、b0， a 2， a 6，即 2 解得 或f 1 10， 1a b a 7a 10， b 1 b 9，a 6， a 2b 9 b2答案：10，知经检验2若函数 f ( x) 2x2 ln x 在其定义域的一个子区间 (k 1， k 1) 上不是单调函数，则实数 k 的取值 X 围是_解析：因为递减区间为 0，f (x) 4x 1x( x0) ，所以可求得 f ( x) 的单调递增区间为21，单调2 . 又函数 f ( x) 2x2 ln x 在其定义域的一个子区间 ( k 1， k 1) 内不是0 k 12，解得 1 k0.证明 f ( x)在区间 ( 1,1) 内单调递减，在区间 (1 ，

26、) 内单调递增证明：设函数 f 1( x) x3 ( a5) x( x0)，f 2( x) xx2 ax( x0)，f 1 (x) 3x2 ( a5)，由于 a 2,0 ，从而当 1x0 时，f 1 (x) 3x2 ( a5)3 a50，所以函数 f 1( x)在区间 ( 1,0 内单调递减 f 2 (x) 3x2 ( a3) x a(3 x a)( x 1)，由于 a 2,0 ，所以当 0 x1 时， f 2 (x)1 时， f 2 (x)0 ，即函数 f 2( x) 在区间 0,1) 内单调递减，在区间 (1 ， ) 内单调递增综合及 f 1(0) f 2(0) ， 可知函数 f ( x)

27、在区间 ( 1,1) 内单调递减， 在区间 (1， )内单调递增 由题悟法 导数法证明函数 f ( x) 在( a， b) 内的单调性的 3 步骤(1) 一求求 f (x)；(2) 二定确认 f (x) 在(a， b) 内的符号；(3) 三结论作出结论： f (x) 0 时为增函数； f (x) 0 时为减函数 提醒 研究含参数函数的单调性时， 需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 即时应用 13 / 533，13，11 1x 3x 2 1，1 23 3word已知函数 f ( x) ln x 12x.(1) 求证： f ( x)在区间 (0 ， )上单调递增；(2) 若 f x(

28、3 x 2) ，某某数 x 的取值 X 围解： (1) 证明：由已知得 f ( x) 的定义域为 (0 ， ) f ( x) ln x 12x，f (x) x 0， 4x2 3x 1 0， x(1 2x) 2 0.当 x 0 时， f (x) 0.f ( x)在(0 ， )上单调递增(2) f ( x) ln x 12x，f (1) ln 1 121 3 .由 f x(3 x 2) 3得 f x(3 x 2) f (1) x 3x 2 0，由(1) 得解得 x 0 或 x 1.实数 x 的取值 X 围为 20 1 .考点二 求函数的单调区间已知函数 f ( x) mx3 nx2( m，重点保分

29、型考点师生共研 典例引领 nR， m0) ，函数 y f ( x) 的图象在点 (2， f (2) 处的切线与 x 轴平行(1) 用关于 m的代数式表示 n；(2) 求函数 f ( x)的单调增区间解： (1) 由已知条件得 f (x) 3mx22nx，又 f (2) 0，所以 3mn 0，故 n 3m.(2) 因为 n 3m，所以 f ( x) mx3 3mx2，14 / 533 2 x491(2) 2 ，4316 4 16a 82word所以 f (x ) 3mx2 6mx.令 f (x)0 ，即 3mx2 6mx0，当 m0 时，解得 x2，则函数 f ( x) 的单调增区间是 (， 0

30、) 和(2 ， )；当 m0 时，解得 0 x0 时，函数 f ( x) 的单调增区间是 ( ， 0) 和(2 ， )；当 mg(3) 3， 因此 2a6， 解得 a 3.综上所述，实数 a 的取值 X 围是 (， 3 5， )答案： ( ， 3 5，)3函数 f ( x) 1 x sin x 在(0,2 )上的单调情况是 _解析：在 (0,2 )上有 f (x) 1 cos x0，所以 f ( x) 在(0,2 )上单调递增答案：单调递增4 (2016 启东模拟值和最小值分别记为 M，解析： 当 x 1,1 1) 当 1x 1 时， f ( 1) 3a2， mf (1)答案： 4) 已知 a

31、1， f ( x) x33| x a| ，若函数 f ( x) 在 1,1 上的最大m，则 Mm的值为 _时， f ( x) x33( a x) x33x 3a( a1)， f (x) 3( x 1)( xf (x) 0，所以原函数 f ( x )在区间 1,1 上单调递减，所以 M3a2，所以 Mm4.18 / 532 22 1 1， ，所以 12 11， 2 上是增函 3x max ，3word5 (2016 某某测试 ) 已知函数 f ( x) x22axln x，若 f ( x)在区间数，则实数 a 的取值 X 围为_解析： f (x) x 2a 1x0 在 ， 2 上恒成立，即 2a

32、 x 1x在 ， 2 上恒成立， 1x 82a，即 a .答案：4，3二保高考，全练题型做到高考达标1函数 f ( x) x3 15x2 33x6 的单调减区间为 _解析：由 f ( x) x3 15x2 33x 6 得 f (x) 3x2 30 x 33，令 f (x) 0，即 3( x11)( x 1) 0，解得 1 x 11，所以函数 f ( x) 的单调减区间为 ( 1,11) 答案： ( 1,11)2若幂函数 f ( x) 的图象过点 ， ，则函数 g( x) exf ( x) 的单调递减区间为_解析：设幂函数 f ( x) x，因为图象过点2 2 2 22 ， 2，所以 f ( x

33、)x2，故 g( x) exx2，令 g(x) exx2 2exx ex(x22x) 0，得 2x 0，故函数 g( x) 的单调递减区间为 ( 2,0) 答案： ( 2,0)3 (2016 某某、某某、某某、某某调研) 设 f ( x) 4x3mx2( m3)x n( m， nR) 是R上的单调增函数，则实数 m的值为 _解析：因为 f (x ) 12x2 2mxm3，又函数 f ( x )是 R 上的单调增函数，所以 12x22mxm30 在 R 上恒成立，所以 (2 m) 2 412( m3) 0，整理得 m2 12m360，即( m6) 20. 又因为 ( m6) 2 0，所以 ( m

34、6) 2 0，所以 m6.答案： 64 已知函数解析：函数f ( x) x ax在( ， f ( x) x a1x的导数为1) 上单调递增， 则实数 a 的取值 X 围是 _f (x) 1 a1x2 ，由于 f ( x)在( ， 1) 上单调递19 / 5312 2 2 12 2mx5， x1.1 1 22word增，则 f (x) 0 在(， 1) 上恒成立，即1 时， x2 1，则有 a1，解得 a1 或 a0. 答案： ( ， 0) 1 ，)1ax2 在( ， 1) 上恒成立由于当 x2x3 3x2 m， 0 x1， 5 (2015 某某、 某某、 某某、 某某三调 ) 已知函数 f (

35、 x)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有且只有两个不同的交点，则实数 m的取值 X 围为_解析：由 f ( x) 2x3 3x2m，得 f (x) 6x2 6x，所以 f ( x) 在0,1 上单调递增，即f ( x) 2x3 3x2 m与 x 轴至多有一个交点，要使函数m0， 的交点，即从而可得 m( 5,0) f ( x) 的图象与 x 轴有且只有两个不同答案： ( 5,0) 6若函数 f ( x) ax3 3x在( 1,1) 上为单调递减函数， 则实数解析： f (x) 3ax2 3， f ( x) 在( 1,1) 上为单调递减函数，a的取值 X围是 _f (x) 0 在( 1,1

36、)上恒成立，即 3ax2 30 在( 1,1) 上恒成立当 x0 时， aR；当 x0 时，( 1,0) (0,1) ， a1. 综上，实数 a 的取值 X 围为 (， 1 答案： ( ， HYPERLINK l _bookmark2 17(2016 某某中学模拟 ) 已知函数 f ( x)( x R)满足 f (1) 1，且 f ( x) 的导数a1x2 ， xf (x) ，则不等式 f (x2)x2 的解集为 _解析：设 F( x) f ( x) x， F(x) f (x) ， f (x)， F(x) f (x) 0，即函数 F( x) 在 R上单调递减 f ( x2)x2 ， f ( x

37、2) x2 f (1) ， F(x2)1，即 x( ， 1) (1 ， )答案： ( ， 1) (1 ，)8若函数 f ( x) x3x2 2ax 在 ， 上存在单调递增区间，则 a 的取值 X 围是_解析：对 f ( x)求导，得 f (x) x2x 2a x 2 24 2a. 当 x 3， 时，f (x) 的最大值为 f 3 9 2a. 令 9 2a 0 ，解得 a 9 . 所以 a 的取值 X 围是20 / 53x ln xk1k9911ln x 11word ， .1答案： ，9 (2016 某某五校联考 ) 已知函数 f ( x) ln曲线 y f ( x) 在点 (1， f (1)

38、 处的切线与 x 轴平行(1) 求 k 的值；(2) 求 f ( x) 的单调区间1解： (1) 由题意得 f (x) ex ，又 f (1) e 0，故 k 1.ex ( k 为常数， e 是自然对数的底数 )，x k1x (2) 由(1) 知， f (x) ex设 h( x) 1x ln x 1( x0) ，则.h(x) 1x21x 0，即 h( x)在(0 ， )上是减函数由 h(1) 0 知，当 0 x 1 时， h( x) 0，从而 f (x) 0；当 x 1 时， h( x) 0，从而 f (x) 0.综上可知， f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ， 单调递减区间是 (1

39、 ， )10 (2016 某某调研 ) 已知函数 f ( x) lnx， g( x) ax b.(1) 若 f ( x) 与 g( x) 在 x 1 处相切，求 g( x) 的表达式；(2) 若 ( x) m解： (1) 由已知得x 1 x 1f ( x) 在 1f (x) 1x， f ， )上是减函数，某某数 m的取值 X 围(1) 12a， a2.又 g(1) 0 2a b， b 1， g( x) x 1.(2) ( x) f ( x) ln x 在1 ， )上是减函数 (x) 0 在1 ， )上恒成立即 x2 (2m2)x 10 在1 ， )上恒成立，21 / 53232323a 的取x

40、 x3 ax2， xa.2则有 即 22 2314.3word则 2m2 x1x， x 1 ， )，xx 2 ， )，2m22， m2.故实数 m的取值 X 围是 (， 2三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知 a0，函数 f ( x) ( x2 2ax)e x，若 f ( x) 在 1,1 上是单调减函数，则值 X 围是 _解析： f (x) (2 x 2a)e ( xx2 2ax)e x x2(2 2a) x 2ae x，由题意知当1,1 时， f (x ) 0 恒成立，即 x (2 2a) x 2a0 恒成立令 g( x) x2 (2 2a) x 2a，g 1 0， 1 2 22a 1 2

41、a0，g 1 0， 1 2 2a 2a0，解得 a答案：43，2 (2016 某某模拟 )若函数f ( x) x2| x a| 在区间 0,2 上单调递增， 则实数 a 的取值X 围是 _解析：当 a0 时， f ( x) x3 ax2， f (x) 3x2 2ax0 在 0 ， )上恒成立，所以f ( x) 在0 ， ) 上单调递增，则也在 0,2 上单调递增，成立；ax2 x3， 0 xa，当 a0 时， f ( x)当 0 x a 时， f (x) 2ax 3x2，令 f (x) 0，则 x 0 或 x a，则 f ( x)在 0， a 上单调递增，在 3a， a 上单调递减；当 xa

42、时， f (x) 3x22ax x(3x 2a)0 ，所以 f ( x)在(a， )上单调递增，所以当 a0 时， f ( x) 在 0， a 上单调递增，使函数在区间 0,2 上单调递增，则必有综上，实数 a 的取值 X 围是( ， 答案： ( ， 0 3 ，)在 a， a 上单调递减， 在( a， )上单调递增 要a2，解得 a3.0 3 ， )22 / 532gm ， 9 .3737337word3已知函数 f (x ) aln x ax 3(aR)(1) 求函数 f ( x)的单调区间；(2) 若函数 y f ( x) 的图象在点 (2， f (2) 处的切线的倾斜角为 45，对于任意

43、的 t 1,2 ，函数 g( x) x3 x2 f x 2 在区间 ( t, 3) 上总不是单调函数，求 m的取值 X围解： (1) 函数 f ( x) 的定义域为 (0， ) ，且 f (x) a 1x x区间为 (0,1) ，减区间为 (1 ， )；. 当 a0 时， f ( x) 的增当 a0 时， f ( x) 的增区间为 (1 ， ) ，减区间为 (0,1) ；当 a0 时， f ( x)不是单调函数(2) 由(1) 及题意得 f (2) a21，即 a 2， f ( x) 2ln x 2x 3， f (x) g( x) x32 x 2x，m2g(x) 3x2( m4) x 2.g(

44、 x)在区间 ( t, 3) 上总不是单调函数，即 g(x) 0 在区间 ( t, 3) 上有变号零点g 由于 g(0) 2，t 0，3 0.当 g(t ) 0，即 3t 2( m4) t 20对任意 t 1,2 恒成立，由于 g(0) 0，故只要 g(1) 0 且 g(2) 0，即 m 5 且 m 9，即 m 9；由 g(3) 0，即 m 3 .所以 m 9.即实数 m的取值 X 围是 3第二课时 导数与函数的极值、最值23 / 53word考点一 运用导数解决函数的极值问题 常考常新型考点多角探明 命题分析 函数的极值是每年高考的必考内容，档题常见的命题角度有：(1) 已知函数求极值；(2

45、) 已知极值求参数；(3) 由图判断极值题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高 题点全练 角度一：已知函数求极值1已知函数 f ( x) x aln x( aR)(1) 当 a2 时，求曲线 y f ( x)在点 A(1， f (1) 处的切线方程；(2) 求函数 f ( x) 的极值解：由题意知函数 f ( x) 的定义域为 (0 ， )， f (x) 1 .(1) 当 a2 时， f ( x) x 2ln x， f (x) 1 2x( x0)，因为 f (1) 1， f (1) 1，所以曲线 y f ( x)在点 A(1， f (1) 处的切线方程为 y 1 ( x 1) ，即 xy

46、 2 0.(2) 由 f (x) 1 x 0 知：当 a0 时， f (x) 0，函数 f ( x)为(0 ， )上的增函数，函数 f ( x) 无极值；当 a0 时， 由 f (x) 0，解得 x a. 又当 x (0，a) 时， f (x) 0；当 x( a，) 时， f (x) 0，从而函数 f ( x)在 x a 处取得极小值，且极小值为 f ( a) a aln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f ( x)无极值；当 a 0 时，函数 f ( x) 在 x a 处取得极小值 aaln a，无极大值角度二：已知极值求参数2 (2016 某某哈三中期末 ) 已知 x2 是函数 f

47、( x) x3 3ax2 的极小值点，那么函 数 f ( x) 的极大值为 _解析： x 2 是函数 f ( x) x3 3ax 2 的极小值点，即 x 2 是 f (x ) 3x2 3a 0 的 根，将 x 2 代入得 a4，所以函数解析式为 f ( x) x3 12x 2，则由 3x2 12 0，得 x2，故函数在 ( 2,2) 上是减函数，在 (， 2)， (2 ， )上是增函数，由此可知当 x 2 时函数 f ( x) 取得极大值 f ( 2) 18.答案： 1824 / 53word3若函数 f ( x) ax3 ax2(2 a3)x 1 在 R 上存在极值，则实数 a 的取值 X

48、围是_解析：由题意知， f (x ) ax22ax2a 3，因为函数 f ( x) ax3 ax2(2a 3)x 1 在 R 上存在极值，所以 f (x) 0 有两个不等实根，其判别式 4a2 4a(2 a3) 0，所以 0 a 3，故实数 a 的取值 X 围为 (0,3) 答案： (0,3)角度三：由图判断极值4已知函数 f ( x) 的定义域为 R，导函数 f (x) 的图象如图所示， 则函数 f ( x) 有_ 个极大值点， _个极小值点解析：由导数与函数极值的关系，知当 f (x0 ) 0 时，若在 x0 的左侧 f (x)0 ，右侧f (x)0，则 f ( x)在 x x0 处取得极

49、大值； 若在 x0 的左侧 f (x)0，则 f ( x)在 x x0 处取得极小值 设函数 f (x) 的图象与 x 轴的交点从左到右的横坐标依次为 x1，x2，x3， x4，则 f ( x)在 x x 1， x x3 处取得极大值，在 x x2， x x4 处取得极小值答案： 2 2 方法归纳 利用导数研究函数极值的一般流程考点二 运用导数解决函数的最值问题 重点保分型考点师生共研 典例引领 已知函数 f ( x) ex( a0)25 / 5311 111 1 1ln a， .a1 111ln a，1 1a1word(1) 求函数 f ( x )的单调区间；(2) 求函数 f ( x)在1

50、,2 上的最大值解： (1) f ( x) e ( a0) ，则x f (x) 1a ex .令1aex0，则 xln 1a.当 x 变化时， f (x)， f ( x) 的变化情况如下表：x ， ln ln af (x) 0f ( x) 极大值故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ， ln ；单调递减区间为(2) 当 ln a2，即 0 ae2时，f ( x) maxf (2) 2a当 1ln a 2，即e2；e2 a e时，f ( x) maxf ln 1a当 ln a1，即aln a a；a时，f ( x) maxf (1) 1a e. 由题悟法 求函数 f ( x) 在 a， b 上

51、的最大值和最小值 3 步骤(1) 求函数在 ( a， b) 内的极值；(2) 求函数在区间端点的函数值 f ( a)， f ( b)；(3) 将函数 f ( x)的极值与 f ( a)， f ( b) 比较， 其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值 即时应用 设函数 f ( x) aln x bx2( x 0) ，若函数 f ( x)在 x 1 处与直线 y 相切，(1) 某某数 a， b 的值；26 / 53f 1 b 2，b 2 .1 112 x 1 x 21112word(2) 求函数 f ( x)在 e， e 上的最大值解： (1) f (x) 2bx，函数 f ( x) 在 x

52、 1 处与直线f 1 a2b 0， 1y 相切，a1，解得 1(2) 由(1) 得 f ( x) ln x 2x2，则 f (x) 1xx当 exe 时，令 f (x) 0 得e x 1；令 f (x) 0，得 1 xe， f ( x)在 e， 1 上单调递增，在 1， e 上单调递减，f ( x) maxf (1) 2.考点三 函数极值和最值的综合问题 重点保分型考点师生共研 典例引领 已知函数 f ( x) ax 2x 3ln x，其中 a为常数(1) 当函数的最小值；(2) 若函数f ( x) 的图象在点2，33 处的切线的斜率为 1 时，求函数 f ( x) 在 2，f2 33 上f

53、( x)在区间 (0 ， )上既有极大值又有极小值，求 a 的取值 X 围解： (1) f (x) a 2x2 ，f 3 a 1，故 f ( x) x x 3ln x，则 f (x) x2 .由 f (x) 0 得 x 1 或 x 2.当 x 变化时， f(x)， f ( x) 的变化情况如下表：27 / 53233 3 9 0，2 3 ax2 3x 23从而在 ， 3238 .9wordxf (x)f ( x)3， 222 (2,3) 30 1 3ln 22 上， f ( x) 有最小值，且最小值为 f (2) 1 3ln 2.(2) f (x) a x2x x2 ( x0)，由题设可得方程

54、 ax2 3x 2 0 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x 1， x2，并令 h( x) ax2 3x 2， 9 8a0，则 x 1x2a 0，x 1x22a 0 98a 0，或 2a ，解得 0 a8 .h 0 0故所求 a 的取值 X 围为 0， 由题悟法 求函数在无穷区间 (或开区间 ) 上的最值的方法求函数在无穷区间 (或开区间 ) 上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 即时应用 已知函数 f ( x) x3 ax2 bxc， 曲线 y f ( x) 在点 x 1 处的切线为 l： 3x y

55、1 0，若 x 时， y f ( x)有极值(1) 求 a， b， c 的值；(2) 求 y f ( x)在 3,1 上的最大值和最小值解： (1) 由 f ( x ) x3 ax2 bxc，得 f (x) 3x22ax b.当 x 1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2ab 0，28 / 533 ( 3， 2) 2 32，9513，最小值为1 1xword当 x 时， y f ( x) 有极值，则 f 0， 可得 4a3b 40，由，解得 a2， b 4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1) 4.所以 1 a bc 4，得 c 5.(2) 由(1) 可得 f ( x) x32x2 4x

56、5，f ( x) 3x2 4x 4.令 f (x ) 0，解得 x 1 2， x2 .当 x 变化时， f (x)， f ( x) 的取值及变化情况如下表所示：x2f (x) 0 f ( x) 8 13所以 y f ( x)在 3,1 上的最大值为 27 .23095272， 1314一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数 f ( x) ln x x 在(0， e 上的最大值为 _解析： f (x) x 1 x ( x0) ，令 f (x)0 ，得 0 x1，令 f (x)1，f ( x) 在(0,1 上是增函数，在 (1， e 上是减函数当 x 1 时， f ( x)在(0， e 上取得最大值

57、 f (1) 1.答案： 12函数 f ( x) ex(sin xcos x) x 0， 的值域为 _解析： x 0， ， f (x ) excos x0，f (0) f ( x) f答案：e21 12， 2 ，即 f ( x) e 2 .29 / 532f 12321 1x x 12 取极小值时，word3当函数 y x x x _.解析：令 y 2 x 2 ln 2 0， x ln 2 .1答案： ln HYPERLINK l _bookmark3 24若函数 f ( x) x3 2cx2 x 有极值点，则实数 c 的取值 X 围为 _解析： 若函数 f ( x) x32cx2x 有极值点

58、， 则 f (x) 3x24cx 1 0 有根， 故 3 3( 4c) 2 120， 从而 c 2 或 c 2 . 故实数 c 的取值 X 围为 ，2323答案： ， 23，5已知函数 f ( x) 2f (1)ln x x，则 f ( x) 的极大值为 _解析： 因为 f (x) x 1，令 x 1，得 f (1) 1. 所以 f ( x) 2ln， .x x，f (x)x 1. 当 0 x0 ；当 x2， f (x)0 ，即 f ( x) 在( ， 2) 上单调递增；当 x( 2,1) 时， f (x)0 ，即 f ( x)在(1 ， )上单调递增从而函数 f ( x)在 x 2 处取得极

59、大值 f ( 2) 21， 在 x 1 处取得极小值 f (1) 6.10已知函数 f( x) x 1 ( aR， e 为自然对数的底数 )(1) 若曲线(2) 求函数解： (1) 由y f ( x) 在点 (1， f(1) 处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；f ( x) 的极值f ( x) x 1 x，得 f (x) 1 .又曲线 y f ( x)在点 (1， f(1) 处的切线平行于 x 轴，得 f (1) 0，即 1 e0，解得 ae.(2) f (x) 1 ，当 a0 时， f (x) 0， f ( x) 为(， )上的增函数，所以函数 f ( x) 无极值当 a0 时，令 f (

60、x) 0，得 exa，即 x ln a x (， ln a) 时， f (x) 0； x(ln a， ) 时， f (x) 0，所以 f ( x) 在(， ln a) 上单调递减，在 (ln a，)上单调递增，故 f ( x) 在 x ln a 处取得极小值，且极小值为 f (ln a) ln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f ( x)无极值；当 a0 时， f ( x)在 x ln a 处取得极小值 ln a，无极大值三上台阶，自主选做志在冲刺名校1 已知 f ( x) x3 6x2 9x abc，a b c，且 f ( a) f ( b) f ( c) 0. 现给出如下结论： f