人教版导与练总复习数学一教学课件：第五章数列（选择性必修第二册）

1、第五章数列(选择性必修第二册)第1节数列的概念课程标准要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理1.数列的概念及分类(1)定义数列按照 排列的一列数项数列中的 叫做这个数列的项.数列的 的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示, 的数叫做这个数列的第2项,用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做 .表示a1,a2,a3,an,简记为 .确定的顺序 每一个数第一个位置上第二

2、个位置上首项an(2)分类项数 的数列叫做有穷数列,项数 的数列叫做无穷数列.从第2项起,每一项都 它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都 它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,各项 的数列叫做常数列.(3)数列与函数数列an是从正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(nN*)有意义,那么 构成了一个数列f(n).有限无限大于小于都相等f(1),f(2),f(n),(4)数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是 、图象法和 .2.数列的通项公式如果数

3、列an的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 .通项公式就是数列的 ,根据通项公式可以写出数列的各项.列表法解析法序号n通项公式函数解析式3.数列的递推公式与前n项和公式递推公式一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的递推公式前n项和定义数列an从第1项起到第 项止的各项之和,称为数列an的前n项和,记作Sn,即Sn= .前n项和公式数列an的前n项和Sn与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的前n项和公式na1+a2+an序号n对点自测AB3.已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=n2

4、,则an=;若Sn=n2+1,则an= .4.已知an=n2+n,且对于任意的nN*,数列an是递增数列,则实数的取值范围是 .答案:(-3,+)解析:因为an是递增数列,所以对任意的nN*,都有an+1an,即(n+1)2+(n+1)n2+n,整理,得2n+1+0,即-(2n+1).(*)因为n1,所以-(2n+1)-3,要使不等式(*)恒成立,只需-3.5.在数列an中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n=.解析:由题可知nN*,令an=-n2+6n+70,得1n7(nN*),所以该数列的第7项为零,且从第8项开始anSn,即Sn+1-Sn=an+10,所以an+1=2

5、(n+1)+0,则-2n-2.又因为n7,所以-2n-2-16,即-16.答案:(3)(-16,+)备选例题例1解析:选A.例2 已知数列an满足a1=1,an=an-1+2n(n2),则a7等于()A.53B.54C.55D.109解析:由题意知,a2=a1+22,a3=a2+23,a7=a6+27,各式相加得a7=a1+2(2+3+4+7)=55.故选C.例3 在数列an中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17等于()A.-15216B.15217C.-16216D.16217例4 若数列an的前n项和Sn=n2-10n(nN*),则数列nan中数值最小的项是()A.第2项 B.第3

6、项C.第4项 D.第5项点击进入 课时作业第2节等差数列及其前n项和课程标准要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理1.等差数列的有关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为 (nN*),d为常数.(2)等差中

7、项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a与b的 .2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an= .当d0时,等差数列an的通项公式an=dn+(a1-d)是关于d的一次函数.第2项差同一个常数公差an+1-an=d等差中项a1+(n-1)d3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:an= (n,mN*).(2)若an为等差数列,且m+n=p+q,则 (m,n,p,qN*).(3)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为 的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,(mN*)也是等差数列,公差为 .am+(n-m)d am+an

8、=ap+aqmdm2d(1)若an为等差数列,则m+n=p+q是am+an=ap+aq(m,n,p,qN*)的充分不必要条件.(2)等差数列的前n项和为Sn,当公差d=0时,Sn=na1不是关于n的二次函数.释疑重要结论1.等差数列的前n项和的最值在等差数列an中,若a10,d0,则Sn存在最大值;若a10,则Sn存在最小值.4.若等差数列an的项数为偶数2n,则(1)S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);5.若等差数列an的项数为奇数2n+1,则(1)S2n+1=(2n+1)an+1;对点自测B1.在等差数列an中,若a2=4,a5=10,则a6等于( )A.8B.12C.14D

9、.16解析:a5=a2+3d,所以d=2,所以a6=a2+4d=12.故选B.D2.已知等差数列an中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列an的公差为( )A.-3B.-2C.-1D.-43.在等差数列an中,a1=29,S10=S20,则数列an的前n项和Sn的最大值为( )A.S15 B.S16C.S15或S16AD.S174.在等差数列an中,a4+a8=10,a10=6,则公差d=.5.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11=.答案:88考点一等差数列的基本量运算关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼A2.设等差数列an的前n项和为Sn,若a1+a3=6,

10、S10=100,则a5等于( )A.8B.9C.10D.11B3.算法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1等于( )A.23B.32C.35D.38C4.已知等差数列an的通项公式为an=11-n,则|a1|+|a2|+|a20|=.答案:100题后悟通(1)等差数列的通项公式及其前n项和

11、公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.考点二等差数列的判断与证明例1 在数列an中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.例1 在数列an中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.解题策略等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再

12、使用定义法证明数列an为等差数列.考点三等差数列的性质及其应用角度一等差数列项的性质例2-1 等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为()A.6B.12 C.24 D.48解析:由等差数列的性质可得,a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以a2+a14=2a8=48.故选D.解题策略如果an为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件.角度二等差数列前n项和的性质例2-2 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S5

13、=7,S10=21,则S15等于()A.35B.42C.49D.63解析:(1)在等差数列an中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=214,解得S15=42.故选B.答案:(1)B答案:(2)2 020解题策略等差数列前n项和的性质:在等差数列an中,Sn为其前n项和,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列.角度三等差数列前n项和的最值例2-3 (多选题)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),公差d0,S6=90,a7是a3与a9的

14、等比中项,则下列选项正确的是()A.a1=22B.d=-2C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值D.当Sn0时,n的最大值为20解题策略求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函数最值的方法求解.针对训练 (1)已知等差数列an的前10项和为30,它的前30项和为210,则其前20项和为()A.100B.120C.390D.540解析:(1)设Sn为等差数列an的前n项和,则S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20).又等差数列an的前10

15、项和为30,前30项和为210,所以2(S20-30)=30+(210-S20),解得S20=100.故选A.答案:(1)A(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,a8=1,S16=0,当Sn取最大值时n的值为()A.7B.8C.9D.10答案:(2)B解析:(2)因为an是等差数列,所以S16=8(a1+a16)=8(a8+a9)=0,则a9=-a8=-1,即数列an的前8项是正数,从第9项开始是负数,所以(Sn)max=S8.故选B.答案:(3)-82(3)已知等差数列an的公差d=-2,a1+a4+a7+a97=50,那么a3+a6+a9+a99的值是.解析:(3)因为a1+a4+a7+

16、a97=50,公差d=-2,所以a3+a6+a9+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+(a97+2d)=(a1+a4+a7+a97)+332d=50+66(-2)=-82.备选例题例1 设等差数列an的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m等于()A.9B.10C.11D.15例2 设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.27解析:由an是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得S9-S6=2S6-3S3=45.故选B.答案:

17、4点击进入 课时作业第3节等比数列及其前n项和课程标准要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么 叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列 .2.等比数列的有关公式(1)通项公式:an= .2同一常数公比GG2=aba1qn-13.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=

18、am (n,mN*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则aman= = .qn-m apaq(4)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为qk.(5)在等比数列an中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q-1).(1)任意两个实数不一定都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项.释疑对点自测CAD3.在等比数列an中,a3=4,a7=16,则a5等于( )A.10B.10C.8D.8C 4.在等比数列an中,a3=9,a7=729,则a3与a7的

19、等比中项为.解析:设a3与a7的等比中项为G.因为a3=9,a7=729,所以G2=9729=6 561,所以G=81.答案:815.若等比数列an的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+ln a20=.解析:因为数列an为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,所以a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5,所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=ln e50=50.答案:50考点一等比数列基本量的运算关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼C1.已知各

20、项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3等于( )A.16B.8C.4D.22.设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于( )A.3B.4C.5D.6B答案:2n-1题后悟通(1)等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.考点二等比数列的判定与证明例1 设数列an的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n(nN*).(1)求a2,a3的值;(1)解:因为a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n(nN*),所以当n=1时,a1=

21、21=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,所以a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,所以a3=8.综上,a2=4,a3=8.例1 设数列an的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+nan=(n-1)Sn+2n(nN*).(2)求证:数列Sn+2是等比数列.典例探究1 把本例改为“a1=1,an=2an-1+1(n2)”,求数列an的通项公式.典例探究2 在本例条件不变的情况下,判断数列an是否是等比数列.解题策略判定一个数列为等比数列的常见方法(3)通项公式法:若an=Aqn(A,q是不为零的常数),则数列an是等比数列.考点三等比数列的性质

22、及应用(3)已知各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于()A.150B.140C.130D.120解题策略在解决与等比数列有关的问题时,要注意挖掘隐含条件.利用性质时要注意成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意“设而不求”思想的运用.针对训练 (1)已知数列an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于()A.7B.5C.-5D.-7备选例题例1 (2020全国卷)设an是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8等于()A.12B.24C.30D.32例3 已知数列an和bn满

23、足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;例3 已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(2)求an和bn的通项公式.点击进入 课时作业第4节数列求和及综合应用课程标准要求1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理(2)分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求

24、和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.(5)倒序相加法:如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.2.数列应用题的常见模型(1)等差模

25、型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.重要结论对点自测BAB4.数列an的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S17=.解析:S17=1-2+3-4+5-6+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+1=9.答案

26、:95.已知数列an的前n项和为Sn且an=n2n,则 Sn=.答案:(n-1)2n+1+2考点一数列求和关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼角度一 分组转化法解题策略分组求和法的常见类型(1)若an=bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组法求an的前n项和.角度二 裂项相消法例1-2 已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式;例1-2 已知数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.解题策略(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.角度三 错位相减法例1-

27、3 已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.例1-3 已知an为等差数列,前

28、n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).解题策略(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.针对训练 (1)已知数列an满足a1=1,an+1an=2n (nN*),则S2 018等于()A.22 018-1B.321 009-3C.321

29、009-1D.321 008-2(3)已知等差数列an的公差是1,且a1,a3,a9成等比数列.求数列an的通项公式;考点二数列与函数、不等式的综合问题解题策略解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件,综合函数与不等式的知识求解;数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇上命题的特点.考点三数列中的创新题角度一 选择一个条件角度二 选择多个条件解题策略正确解决本题的关键是从三个条件中选择两个合并在题目中,确定出数列an的通项公式,从而完成新数列的数列求和.针对训练1.已知正项数列an的前n项和为Sn,且4Sn=(an

30、+1)2.(1)求数列an的通项公式;解:(1)因为4Sn=(an+1)2,所以当n=1时,4a1=4S1=(a1+1)2,解得a1=1.当n2时,4Sn-1=(an-1+1)2,又4Sn=(an+1)2,所以两式相减得4an=(an+1)2-(an-1+1)2,可得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因为an0,所以an-an-1=2,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1,故数列an的通项公式为an=2n-1.2.(2021山东威海高三上学期期中考试)在a1+a3=b3,b2+S5=-b4,a1+a9=-4.这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的m存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.