人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第三章第二节第三课时　导数与不等式

1、第三课时导数与不等式考点一利用导数证明不等式关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼角度一构造函数证明不等式例1-1已知函数f(x)=x+xln x.证明:当x1时,函数y=f(x)的图象在直线y=3(x-1)的上方.证明:函数y=f(x)的图象在直线y=3(x-1)的上方,等价于不等式f(x)3(x-1)恒成立.令g(x)=f(x)-3(x-1),即g(x)=xln x-2x+3(x1).g(x)=ln x-1,由g(x)=0,得x=e.由g(x)0,得xe;由g(x)0,得1x0.于是在(1,+)上,都有g(x)g(e)0,所以f(x)3(x-1),因此,当x1时,函数y=f(x)的图象在直线

2、y=3(x-1)的上方.解题策略证明f(x)g(x),x(a,b),可以通过构造函数F(x)=f(x)-g(x).将问题转化为证明函数F(x)在x(a,b)上的最小值大于0,即证明了f(x)g(x).角度二转化为函数的最值问题解题策略将不等式转化为一个函数最值来证明不等式,其主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f(x)f(x)max或f(x)f(x)min直接证得不等式.一般地,函数不等式的一边是与自变量无关的关系式时,常用此法.角度三转化为两个函数的最值比较解题策略1.证明不等式问题中,若所证明的不等式的两边不能求最值或移项后也不能求最值,可利用移项变形构造两个函

3、数,分别求出两个函数的最值,利用不等式的传递性证明.角度四适当放缩证明不等式证明:当a1时,aex-1ex-1.所以要证f(x)0,只要证ex-1-ln x-10.令g(x)=ex-x-1,则g(x)=ex-1,当x(-,0)时,g(x)0,所以g(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,所以g(x)g(0)=0,所以exx+1,当且仅当x=0时,取等号.同理可证ln xx-1,当且仅当x=1时,取等号.由exx+1得ex-1x,当且仅当x=1时,取等号.由ln xx-1得-ln x-x+1,当且仅当x=1时,取等号.所以ex-1-ln x1,所以ex-1-ln x-10,所以当a

4、1时,f(x)0.解题策略导数法证明不等式中,最常见的是ex和ln x与其他代数式的结合问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,得到较为简单的不等式,然后再构造函数进行证明,常用的放缩公式是:(1)exx+1,当且仅当x=0时,取等号;(2)ln xx-1,当且仅当x=1时,取等号,对于具体问题,要结合题目提供的具体条件寻找合适的不等式进行放缩.针对训练1.已知函数f(x)=xln x.求证:f(x)0知,存在x10,当x(x1,x2)时,f(x)0,所以f(x)在x(x1,x2)上是增函数,又因为f(0)=0,所以当x(x1,0)时,f(x)0,所以f(x)在(x1,0)上是

5、减函数,在(0,x2)上是增函数,所以x=0是f(x)的极值点,所以a=1.2.已知函数f(x)=ex-asin x(其中e=2.718 28为自然对数的底数),0为f(x)的一个极值点.(2)证明:f(x)x成立.(2)证明:由(1)知,函数f(x)=ex-sin x,由f(x)-x=ex-x-sin x,令g(x)=ex-x,因为g(x)=ex-1,当x0时,g(x)0,g(x)单调递增;当x0时,g(x)sin x,所以f(x)-x=ex-x-sin x0,即f(x)x成立.3.已知函数f(x)=a(x2-x)-ln x(aR).(1)当a=1时,讨论函数f(x)的单调性;3.已知函数f

6、(x)=a(x2-x)-ln x(aR).考点二利用导数研究不等式恒(能)成立问题角度一分离参数法解决不等式恒(能)成立问题解题策略1.利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如af(x)(或af(x)的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数的取值范围.2.求参数的取值范围的方法(1)不等式恒成立问题的求解方法:af(x)在xD上恒成立,则af(x)max(xD);af(x)在xD上恒成立,则af(x)min(xD).(2)不等式能成立问题的求解方法:af(x)在xD上能成立,则af(x)min(xD);af(x)在xD上能成立,则af(x)max(xD).角度二

7、最值转化法求参数的范围解:f(x)=a(ex+xex)-2(x+1)=(x+1)(aex-2).(1)当a0时,f(x)在-1,1上单调递减,由f(x)max=f(-1)=-ae-10,得a=0.解题策略1.含参数不等式恒成立问题,若不能分离参数或分离参数后不能求最值,则常用最值转化法求参数的取值范围,常见方法如下:f(x)0在xD上恒成立,则f(x)min0在xD上恒成立;f(x)0在xD上恒成立,则f(x)max0在xD上恒成立.针对训练1.已知函数f(x)=ln x-ax,aR.(1)求f(x)的单调区间;1.已知函数f(x)=ln x-ax,aR.(2)对于给定的正数a,若存在x0,使

8、得f(x0)0,求正数a的取值范围.考点三导数与不等式的综合问题解题策略含全称、存在量词不等式恒成立问题的解题方法(1)存在x1A,任意x2B,使f(x1)g(x2)成立,则f(x)maxg(x)max;(2)任意x1A,存在x2B,使f(x1)g(x2)成立,则f(x)ming(x)min;(3)任意x1A,x2B,使f(x1)g(x2),则f(x)ming(x)max;(4)存在x1A,x2B,使f(x1)g(x2),则f(x)ming(x)max.(1)求f(x)的单调区间;当0a0得x(0,a)(1,+),所以f(x)的单调递增区间为(0,a)和(1,+);由f(x)0得ax1时,由f(x)0得x(0,1)(a,+),此时f(x)的单调递增区间为(0,1)和(a,+).由f(x)0得1xa,此时f(x)的单调递减区间为(1,a).综上所述,当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1);当0a1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(a,+),单调递减区间为(1,a).(2)当a1时,若存在x11,2,使得对任意的x21,2,f(x1)0),a为常数,若函数f(x)有两个零点x