人教版导与练总复习数学课件：第一章集合与常用逻辑用语、不等式（必须第一册）

1、主题一预备知识第一章集合与常用逻辑用语、不等式(必修第一册)第1节集合课程标准要求1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回

2、顾 回归教材 夯实四基知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性: 、 、 .(2)元素与集合的关系是 或 ,用符号 和 表示.(3)集合的表示方法: 、 、Venn图法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号 . . . . .确定性互异性无序性属于不属于列举法描述法NN*(或N+)ZQR图表中所列举的字母符号均是集合的形式,不要加,这是因为R不是实数集,它表示一个集合,该集合中只有一个元素R.释疑2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集如果集合A中 元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集(即若xA,则xB) . 或 真子集如果集合AB,

3、但存在元素xB,且xA,则称集合A是集合B的真子集 .集合相等如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B . .任意一个AB或BAAB或BA任何一个任何一个相等A=B(1)AB包含两层含义:AB或A=B.释疑3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由 的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作 .AB= .并集由 的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 .AB= .补集对于一个集合A,由全集U中 . 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 .UA= .所有属于集合A且属于集合BAB所有属于集合A或属于集合B x

4、|xA,且xB ABx|xA,或xB不属于集合AUAx|xU,且xA 重要结论1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.3.U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(UA)(UB).对点自测B1.(2021新高考卷)设集合A=x|-2x0 x|y=f(x)y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)图象上的点集2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3.求

5、解集合相等问题,要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.考点二集合间的基本关系D2.已知集合A=x|x2-5x-60,若BA,则B可以是( )A.x|-2x0B.x|x-1D.x|0 x2解析:因为x2-5x-60,所以-1x6,所以A=x|-1x6,因为BA,则B可以为x|0 x2.故选D.DB4.已知集合A=x|-1x3,集合B=x|1-mx1+m.若BA,则m的取值范围是( )A.(-,2B.-1,3C.-3,1D.0,2A题后悟通1.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系,对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集

6、合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.考点三集合的基本运算角度一给定具体集合的基本运算例1-1 (1)(2021广东深圳高三二模)已知A=xN|x7,B=5,6,7,8,则集合AB中的元素的个数为()A.7B.8C.9D.10解析:(1)由A=xN|x7可知A=0,1,2,3,4,5,6,结合B=5,6,7,8,因此AB=0,1,2,3,4,5,6,7,8,共

7、9个元素.故选C.(2)(2021安徽合肥高三三模)已知全集U=R,集合A=1,2,3,4,5,B=-2,0,1,2之间关系的Venn图如图所示,则图中阴影部分表示的集合为()A.-2,0B.-2C.-2,0,1D.-2,0,2,1解析:(2)由题意画出Venn图,如图所示,则阴影部分的集合为-2,0,故选A.解题策略1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.涉及与集合的补集有关的集合运算问题,要求出补集后再求解.3.由Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的运算关系后再求解.4.若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的

8、集合交集问题,可以利用解方程组的方法求解,涉及点集时,也可以利用列举法求解.角度二 含参数的集合运算(2)已知集合A=1,a2(aR),B=-1,0,1,若AB=B,则A中元素的和为()A.0B.1C.2D.-1解析:(2)因为AB=B,所以AB,所以a2=0,则a=0,所以A=1,0,因此集合A中元素的和为0+1=1.故选B.(3)若集合A=x|xa,B=x|lg x0,且满足AB=R,则实数a的取值范围是( )A.(1,+)B.1,+)C.(0,+)D.0,+)解析:(3)因为集合A=x|x0,所以a+b=-1,即b=-2.故选B.2.(2021山东滨州高三二模)设全集U=-3,-2,0,

9、2,3,A=-3,3,B=x|(x-3)(x-2)=0,则图中阴影部分所表示的集合为()A.-3,2,3B.-3,-2,0,2C.3 D.-2,0解析:因为B=x|(x-3)(x-2)=0=2,3,A=-3,3,所以AB=-3,2,3,又全集U=-3,-2,0,2,3,所以题图中阴影部分所表示的集合为U(AB)=-2,0.故选D.解析:由MN=M可得,MN,NP=P可得NP.故MP.因此MP=P.故选D.备选例题例1 (2021湖北武汉模拟)已知全集U=xN|0 x8,A(UB)=1,2,U(AB)=5,6,B(UA)=4,7,则集合A为()A.1,2,4B.1,2,7C.1,2,3D.1,2

10、,4,7解析:U=1,2,3,4,5,6,7,根据题意得到如图所示的Venn图,所以A=1,2,3.故选C.例2 (2021山东潍坊三模)已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,2,B=3,4,则集合5等于()A.U(AB)B.(UA)(UB)C.(UA)BD.(UB)A解析:AB=1,2,3,4,则U(AB)=5,故选项A正确;UA=3,4,5,UB=1,2,5,所以(UA)(UB)=1,2,3,4,5,故选项B错误;UA=3,4,5,所以(UA)B=3,4,5,故选项C错误;UB=1,2,5,所以(UB)A=1,2,5,故选项D错误.故选A.例3 (2021福建厦门高三二模)已知集合A

11、=1,a,B=x|log2x1,且AB有2个子集,则实数a的取值范围为()A.(-,0B.(0,1)(1,2C.2,+)D.(-,02,+)解析:由题意得B=x|log2x1=(0,2),因为AB有2个子集,所以AB中的元素个数为1.因为1(AB),所以a(AB),即aB,所以a0或a2,即实数a的取值范围为(-,02,+).故选D.例4 (2021陕西西安高考模拟)集合A=x|xn-1,则命题p的否定p为( )A.nN*,n2n-1B.nN*,n2n-1C.nN*,n2n-1D.nN*,n2n-1的否定p为“nN*,n2n-1”.故选C.A2.(必修第一册P22习题1.4T2改编)设xR,则

12、“x1”是“|x|1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当x1时一定能够得到“|x|1”,但是|x|1却不一定得到x1,也可以是x-1.故选A.3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数解析:命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.故选D.D4.(多选题)下列存在量词命题中的真命题是( )A.xR,x0B.至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数C.xx|x是无理数,x2是无理数D.xZ,15x3m+1,

13、则实数m的取值范围是.解析:由命题p有实数根,则=16-4a0则a4,所以非p为真命题时a的取值范围为a4.又a3m+1是非p为真命题的充分不必要条件,所以3m+14,m1,则m的取值范围为(1,+).考点一全称量词命题与存在量词命题关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼1.(2021山东泰安高三三模)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是( )A.所有奇函数的图象都不关于原点对称B.所有非奇函数的图象都关于原点对称C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称D.存在一个奇函数的图象关于原点对称C解析:全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词命题,所以命题“奇函数的图象关于原点对

14、称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.故选C.CC3.(2021重庆高三模拟)下列命题为真命题的是( )A.xR,x2-|x|+10B.xR,-11C.xR,(ln x)20D.xR,sin x=34.若命题“xR,使得x2+mx+2m-30”为假命题,则实数m的取值范围是()A.2,6 B.-6,-2C.(2,6) D.(-6,-2)A解析:因为命题“xR,使得x2+mx+2m-30”为假命题,故“xR,x2+mx+2m-30恒成立”为真命题,因为二次函数的图象开口向上,故=m2-4(2m-3)0,所以m2,6.故选A.题后悟通1.含量词的命题的否定的写法(1)一般地,写含有一

15、个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词,同时否定结论;(2)“p或q”的否定是“p且q”.提醒:对于省略量词的命题,在写其否定时应先根据题意找出其中省略的量词,写出其完整形式,再写出命题的否定.2.全称量词与存在量词命题真假的判断(1)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题;(2)要确定一个存在量词命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在

16、量词命题是假命题.3.由于存在量词命题的否定是全称量词命题,因此涉及存在量词命题是假命题时,常转化为其全称量词命题是真命题求解.考点二充分必要条件的综合应用角度一 充分、必要条件的判断例1-1 (1)(2021黑龙江哈尔滨三中高三模拟)设xR,则“x2-3x0”是“1x2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)由x2-3x00 x3,由0 x3不一定能推出1x2,但是由1x2一定能推出0 x3,所以“x2-3x0”是“1x2”的必要不充分条件.故选C.(2)p:x,yR,x2+y22,q:x,yR,|x|+|y|1”是“d-2”的()A.充分

17、不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(4)由5a3=a9+8,得2a2=d+4,若a21,则d+42,所以d-2,故d-2成立;若d-2,则2a22,所以a21,所以a21不一定成立.即“a21”是“d-2”的充分不必要条件.故选A.解题策略判断充分、必要条件的三种方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)数形结合法:充要条件的判定问题中,若给出的条件与结论之间有明显的几何意义,且可以作出满足条件的几何图形,则可作出其几何图形

18、后利用数形结合思想求解.提醒:判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义.角度二 充分、必要条件的探求(2)(2021江西上饶高三模拟)命题“x1,2,3x2-a0”为真命题的一个必要不充分条件是()A.a4 B.a2 C.a3 D.a1解题策略1.选择题中的充分不必要条件问题,是由选择项推出题干,但是题干不能推出选择项,而选择题中的必要不充分条件问题,是由题干推出选择项,但是选择项不能推出题干.2.对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充

19、分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.角度三 充分条件、必要条件的应用例1-3 (2021安徽淮北一模)已知p:“log2x2”,q:“|x-a|2”是“log2(x+1)1”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:因为log2(x+1)1,所以x+12,所以x1,x|x2是x|x1的真子集,所以“x2”是“log2(x+1)1”的充分不必要条件.故选B.解析:因为A=x|(x-2)(x-1)0且x1=x|x2或x1,B=x|xx2B.xR,nN*,使得nx2C.xR,nN*,使得nx2D.xR,nN*,使得nx

20、2解析:改写为,改写为,nx2的否定是nx2,则该命题的否定形式为“xR,nN*,使得nx2”.故选D.例2 (2021广西钦州、崇左高三联考)已知a,bR,“a|b|”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:法一由题意,若a|b|,则a|b|0,则a0且ab,所以a|a|=a2,则a|a|b|b|成立.当a=1,b=-2时,满足a|a|b|b|,但a|b|不成立,所以“a|b|”是“a|a|b|b|”的充分不必要条件.故选A.例3 “ab0”是“a2+b20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

21、不必要条件解析:由ab0可得,a0且b0,所以a2+b20;反之不成立,故“ab0”是“a2+b20”的充分不必要条件.故选A.例4 (多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则()A.t是p的必要不充分条件B.t是q的充要条件C.p是s的充要条件D.q是s的充要条件解析:因为t是q的必要条件,t是s的充分条件,q是s的必要条件,所以qts,且sq,则qts,所以B,D正确.因为qts,且p是q的充分不必要条件,所以p是s的充分不必要条件,t是p的必要不充分条件,所以A正确,C不正确.故选ABD.点击进入 课时作业第3节不等式的性质、一元二次不等

22、式课程标准要求1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理1.两个实数大小比较的基本事实=b .性质2(传递性)ab,bc .bca+cb+

23、cacbcacb+dacbd0anbn不等式的性质中,含有,的作用是什么?提示:不等式的性质中,含有的只能用来证明不等式而不能解不等式,而含有的只能用来解不等式.释疑3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示ax2+bx+c0(a0)的解集x|xx2ax2+bx+c0)的解集形如ax2+bx+c0的不等式一定是一元二次不等式吗?提示:当a0时,ax2+bx+c0是一元二次不等式,当a=0时,不是一元二次不等式.释疑重要结论1.涉及实数的倒数有关的结论(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则as+t+bs+tasbt+atbs.对点自测A1.(必修第一册P53练习T1改

24、编)不等式-x2-5x+60的解集为( )A.x|-6x1 B.x|2x3C.x|x3或x2D.x|x1或x-6解析:不等式-x2-5x+60可化为x2+5x-60,即(x+6)(x-1)0,解得-6x1,所以不等式的解集为x|-6x1.故选A.C2.(必修第一册P42练习T2改编)下列四个命题中为真命题的是( )解析:当c=0时,A不成立;21,3-1,而2-3|b|知a0,所以a2b2,C成立.故选C.DB解析:由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x)=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+aa-3,又由xR,f(f(x)0恒成立,即f(t)0对任意ta-3恒成立.当a-3

25、-2,即a1时,f(t)min=f(-2)=a-30,解得a3,此时无解;当a-3-2,即a1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-20,解得a-1(舍去)或a2.综上可得,实数a的取值范围为2,+).故选B.5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 0000,所以x2+50 x-30 0000,得x-200(舍去)或x150,又因为0 x240,xN,所以150 xxzB.

26、zxyC.yzxD.zyx3.已知-1x4,2y3,则x-2y的取值范围是 ,3x+4y的取值范围是.解析:因为-1x4,2y3,所以-6-2y-4,所以-7x-2y0.由-1x4,2y3,得-33x12,84y12,所以53x+4yb,cda+cb+d不是可逆的,因此容易出现错解.考点二一元二次不等式的解法及其应用角度一 不含参数的一元二次不等式解题策略角度二 一元二次不等式与一元二次方程的关系解题策略1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数

27、的关系求待定系数.角度二 含参数的一元二次不等式例1-3 解关于x的不等式:ax2+(2-4a)x-80.解题策略1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑:(1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a0,ax2,x1=x2,x13,解得x3或0 x1;当x3,解得-3xf(1)的解集是(-3,1)(3,+).故选A.(3)(多选题)对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)0的解集可能为()A.RB.(-1,a)C.(a,-1)D.(-,-1)(a,+)考点三 一元二次不等式恒成立问题角度一一元二

28、次不等式在R上的恒成立问题例2-1解题策略一元二次不等式恒成立的条件角度二 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法例2-2 若对任意的x-1,2,都有x2-2x+a0(a为常数),则a的取值范围是()A.(-,-3B.(-,0C.1,+)D.(-,1解题策略一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)最值转化法:若f(x)0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为m,n,则f(x)a恒成立f(x)mina,即ma;f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.角度三一元二次不等式的有解问题例2-

29、3 若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-,-2)B.(-,-2C.(-6,+)D.(-,-6)解题策略一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:af(x)在区间m,n上有解,则af(x)min,af(x)在区间m,n上有解,则af(x)max.(对于af(x),af(x)可类似处理)针对训练 (1)若存在实数x2,4,使x2-2x+5-mx2-2x+5,设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x2,4,当x=2时,f(x)min=5,x2,4,使x2-2x+5-mf(x)min,所以m5.故选B.

30、答案:(1)B(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+10的解集为R,则实数a的取值范围是.答案:(2)(0,1)(3)若对于任意的x0,2,不等式x2-2ax-10恒成立,则实数a的取值范围是.备选例题例1 已知a-1,1时,不等式x2+(a-4)x+4-2a0恒成立,则x的取值范围为()A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+)C.(-,1)(3,+)D.(1,3)例2例3解析:因为1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,所以a+b+c=0.因为abc,所以ab,ac,所以3aa+b+c=0,所以a0.由题意a=0舍去.例4 解关于x的不等式:x2+ax+10,b0a=

31、b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为 ,几何平均数为 ,基本不等式可叙述为: .3.基本不等式与最值已知x,y都是正数.(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 (简记:和定积最大).(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 (简记:积定和最小).释疑重要结论4.(1)a2+b2+c2ab+bc+ca;对点自测DD3.周长为12的矩形,其面积的最大值为( )A.6B.7C.8D.9D答案:32答案:36考点一利用基本不等式求最值关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼角度一 直接法求最

32、值解题策略利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各项必须为正数.(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.角度二 配凑法求最值解题策略2.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.角度三 常值代换法求条件最值答案:(1)D(2)(2021贵州遵义一模)若正数x,y满足x+2y-2xy=0,则x+2y的最小值为()A.9B.8C.5D.4答案:(2)D解题策略角度四 消元后求最值答案:3例1-4 已知x,y为正实数,满足4x+