人教版导与练总复习数学一轮教学课件：第六章第4节　余弦定理和正弦定理及其应用

1、第4节余弦定理和正弦定理及其应用课程标准要求1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼必备知识课前回顾 回归教材 夯实四基知识梳理1.正弦定理、余弦定理在ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC外接圆半径,则b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C2Rsin C2Rsin Bsin Asin Bsin C3.测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(

2、两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是0B是sin Asin B的充要条件.对点自测CB4.如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶C的仰角为45,在塔底D的南偏东60的B处测得塔顶C的仰角为30,A,B间的距离是84 m,则塔高CD= m.5.在ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为.答案:等腰三角形或直角三角形考点一利用正弦、余弦定理解三角形关键能力课堂突破 类分考点 落实四翼角度一 余弦定理的应用解题策略余弦定理的作用是在已知三

3、角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素.角度二 正弦定理的应用3.正弦定理的作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.解题策略角度三 判断三角形的形状例1-3 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解题策略在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意内角A,B,C的范围对三角函数值的影

4、响,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C,b=2,则ABC的外接圆直径为.考点二与面积有关的解三角形问题角度一 三角形面积的计算解题策略1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),及其该角的两条边,代入公式求面积;2.若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.角度二 求三角形面积的最值例2-2 已知点O是ABC的内心,BAC=60,BC=1,则BOC面积的最大值为.解题策略1.三角形面积计算问题要适当选用公式

5、,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.针对训练 1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.考点三解三角形的实际应用角度一测量距离问题例3-1 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,ADB=135,BDC=DCA=15,ACB=120,则图中海洋蓝洞的口径为.解题策略1.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若

6、其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.2.确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.角度二 测量高度问题例3-2 海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作,现有取自其中的一个问题:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末参合,从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?其大意为:如图所示,立两个三丈高的标杆BC和DE,两标杆之间的距离BD=1 000步,两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上,从前面的标杆B处后退123步,人眼贴地面,从地上F

7、处仰望岛峰,A,C,F三点共线,从后面的标杆D处后退127步,人眼贴地面,从地上G处仰望岛峰,A,E,G三点也共线,则海岛的高为(注:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步)()A.1 255步 B.1 250步 C.1 230步 D.1 200步解题策略高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入一个三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.角度三 测量角度问题例3-3 已知岛A南偏西38方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶,问缉私艇

8、朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?解题策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.针对训练 1.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB=5,BC=8,DC=3,AD=5,且B与D互补,则AC的长为()A.7 km B.8 km C.9 km D.6 km2.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60的方向,相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,朝北偏东方向前进,则等于()A.15 B.30 C.45 D.603.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD= m.备选例题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和象征.某同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶部的仰角为60,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶部仰角为80,则该同学求出泉标的高度约为(sin 200.342 0