钒和稀土对合金的影响(共17页)

1、福建农林(nn ln)大学2014年数学(shxu)建模竞赛我们(w men)参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 参赛队员 (打印并签名) ：序号年级专业姓名联系电话112信科叶建军15759171272212信科刘艺导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 论文提交日期： 2014 年 07 月 14 日评阅编号（由评阅负责人在评阅前进行编号）：PAGE 18评阅编号(bin ho)（由评阅负责人在评阅前进行编号）：评阅(pngyu)记录：评阅人评分备注题 目： 钒和稀土对合金(hjn)性能的影响 关 键 词： 多项式拟合 因子分析 统计回归 非线性

2、规划 摘 要本文主要针对钒和稀土对合金性能的影响进行分析。针对单独添加钒、单独添加稀土和混合添加三种方案，采用多项式拟合及统计回归不同方法分别进行数据拟合得到近似函数关系式，例如问题一的拟合模型为：针对问题二首先是利用多项式拟合出函数然后利用Lingo对函数进行求最值从而得出单独添加稀土的数量约时，产品的抗拉强度达到最大值单独添加稀土的数量约时，延伸率达到最大为，单独添加稀土的数量约时，热裂倾向值HCS达到最小3.0178。另外，通过因子分析法得到单独添加稀土时对合金性能影响的综合评价指标及三个指标变量的权向量0.352,0.349.-0.341，对进行非线性规划由lingo求得单独添加稀土的

3、数量约为时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成较好的影响。针对问题三，首先分别对钒（V）和稀土（RE）的添加数量与抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS之间的关系建立线性和纯二次两种模型，然后通过模型比较，选择最优模型。紧接着为了解决“应该添加钒和稀土的数量分别约为多少，才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少？”建立非线性规划模型并在MATLAB中进行求解，最终得出添加钒和稀土的数量分别约为时才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少。最后为了判读三个方案的优劣性，对所给数

4、据进行预处理后在spss中进行因子分析，得出三个方案的综合得分（见表3）。从而知道第二种方案（即单独添加稀土）对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。一、问题重述纺织经编机铝盘头是纺织工业重要的零部件。通过前期的努力，某高校(goxio)课题组已成功开发出一种新型铸造Al-Zn-Mg-Cu 合金，能够在以铸代锻工艺下生产出满足实际应用需要的铝盘头工件。目前这种高性能铝盘头已投入市场(shchng)，使用厂家反映良好；但生产过程中仍会出现较为严重的热裂缺陷，因此需进一步改善该合金的力学性能和抗热裂性能。题目(tm)给出在实验室中，通过对基础合金Al-4.5Zn-1.

5、0Mg-0.8Cu分别单独添加微量的钒（V）和稀土（RE），测定出产品的抗拉强度（MPa）、延伸率（%）、热裂倾向值HCS以及混合添加微量的钒（V）和稀土（RE）时，对该合金的力学性能和抗热裂性能产生的影响等数据。我们首先需要建立对该合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系；其次要分别研究对该合金单独添加稀土的数量约为多少时，产品的抗拉强度达到最大值，延伸率达到最大，热裂倾向值HCS达到最小，分析得到单独添加稀土的数量约为多少时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成较好的影响？然后，要建立数学模型，研究分析对该合金混

6、合添加微量的钒（V）和稀土（RE）时，应该添加钒和稀土的数量分别约为多少，才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少？最后，要综合评判单独添加微量的钒、单独添加微量的稀土、混合添加微量的钒和稀土这三种方案中，哪一种对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。二、问题分析针对问题一，需要通过所给的数据点建立对该合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系，拟合的方式有很多，为了保证得到较好的拟合效果，需要通过检验进行分析判断，最终确定拟合函数关系式。针对问题二，要研究对该合

7、金单独添加稀土的数量约为多少时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS的最值问题，以及单独添加稀土的数量，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成的影响，因此仍然需要先确定出拟合函数关系式。然后建立综合评判指标与稀土数量之间的关系，以此来描述单独添加稀土的数量，对提高产品整体上造成的影响。针对问题三，需要建立数学模型，研究对该合金混合添加微量的钒（V）和稀土（RE）时，对产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS的影响。此时对于抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS三个因变量来说需要用钒（V）和稀土（RE）这两个自变量来综合刻画，因此，有必要进行二元多项式或统计回归模型进行拟合

8、。针对问题四，要对单独添加微量的钒、单独添加微量的稀土、混合添加微量的钒和稀土这三种方案进行综合评价，以确定哪一种对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。因此需要建立对三种方案综合评判的数学模型，通过综合评价得分来判断哪种方案对合金的性能有较好的影响。三、模型假设（1）假设合金中除Al-4.5Zn-1.0Mg-0.8Cu外，不含其他影响实验的物质；（2）假设实验过程中不受其他外界因素（如温度、压强）的影响；（3）假设(jish)实验测得的数据不存在明显误差；（4）假设实验是在一个相对稳定的条件下进行，并且环境(hunjng)适宜。四、符号(fho)说明表1钒（V）

9、的添加量(wt%)稀土（RE）的添加量（wt%）合金的抗拉强度（MPa）合金的延伸率（%）合金的热裂倾向值HCS方案一的综合评级指标方案二的综合评级指标方案三的综合评级指标因子一得分因子二得分方案综合得分方案下抗拉强度方案下延伸率方案下热裂倾向值HCS五、模型的建立与求解5.1问题一根据给出的表1（见附录）数据，由于试验次数较少（所得的数据点较少），很难直接通过散点图初步判断出数据之间的近似函数关系。因此首先直接对数据进行多项式拟合，建立对该合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系，然后通过检验判断拟合效果是否良好。多项式拟合：假设给定数据

10、点求一多项式使得达到最小，称之为多项式拟合，满足上述条件的多项式称为最小二乘拟合多项式。1拟合效果的评价通过以下数据来描述：2误差平方和SSE，SSE的值越接近0拟合效果越好。相关指数RSquarc,RSquarc的取值范围是0, 1，R2的值越接近1,表示拟合曲线的效果越好。根均方误差（标准差）RMSE，其值越接近于0拟合效果越好。对于多项式拟合的具体操作我们可直接利用MATLAB中函数拟合工具箱cftool作最小二乘拟合。首先将数据导入MATLAB中，用相应的向量保存数据，然后利用拟合工具箱对数据进行多项式拟合，依次增加多项式的次数观察图形的拟合效果。最终得出拟合三次效果最佳，分别得到拟合

11、图像及参数值如下图所示：图1抗拉强度(kn l qin d)与钒的数量(shling)的关系(gun x)图2延伸率与钒的数量的关系图3热裂倾向值HCS与数量的关系根据拟合结果检验中的三个指标SSE、RSquarc、RMSE的值可以知道该三次多项式拟合效果还是很好的，因此得到对该合金单独添加微量的钒时，产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于钒的数量之间的近似函数关系为： 5.2问题二5.2.1函数拟合首先，根据所给的数据中的表1，仿照问题一的方法建立产品的抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系，同样的利用MATLAB工具箱对数据进行多项式拟合。得到较为理想的拟

12、合函数表达式如下： 其中(qzhng)参数矩阵为如下： 利用Lingo软件对上述表达式进行(jnxng)求最值操作，例如：求的最大值（代码及运行(ynxng)结果见附录一）。得到在区间内拟合函数值在时取得最大值530.9253。同理可得当时的最大值为10.578，当时的最小值3.0178，即单独添加稀土的数量约时，产品的抗拉强度达到最大值单独添加稀土的数量约时，延伸率达到最大为，单独添加稀土的数量约时，热裂倾向值HCS达到最小3.0178。5.2.2因子分析采用因子分析法在单独添加稀土的情况下刻画描述该合金性能的综合指标：3对原始数据进行标准化处理进行因子分析的指标变量有3个，分别为，选取单独

13、添加稀土的8组实验数据，第组的第个指标的取值为。将各指标转化为标准指标，有：其中：即为第个指标的样本均值和样本标准差。相应的，称为标准化指标变量。计算相关系数矩阵相关系数矩阵，有其中(qzhng)是第个指标(zhbio)与第个指标(zhbio)的相关系数。计算初等载荷矩阵计算相关系数矩阵的特征值及对应的特征向量，其中初等载荷矩阵选择m个主因子根据初等载荷矩阵，计算各个公因子的贡献率，并选择m个主因子。对提取的因子载荷矩阵进行旋转，得到（其中为的前m列，T为正交矩阵），构造因子模型计算因子得分用回归方法求单个因子得分函数将因子得分作为各指标在综合评价中的权重系数。对于上述几个步骤，直接利用sps

14、s软件进行分析求解。得到如下成分得分系数矩阵：图4因子得分图因此得到合金性能的综合评价指标模型： 把上面问题二的多项式拟合函数抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系代入上面的表达式，整理得到合金性能综合评价指标与添加的稀土数量的关系如下：利用Lingo求最大值（代码见附录）可得：当时，取得最大值138240。即由综合分析模型可知单独添加稀土的数量约为时，对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少热裂倾向值HCS整体上造成较好的影响。5.3问题三5.3.1统计回归(hugu)模型及其求解。4回归分析是研究一个(y )变量与其它若干(rugn)变量之间相关关系的一种数学工具，它

15、是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系。粗略地讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系，这个函数称为回归函数，在实际问题中称为经验公式。回归分析所研究的主要问题就是如何利用变量，的观察值（样本），对回归函数进行统计判断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等。利用MATLAB软件中的以下回归分析命令进行回归分析：散点图：plot(x,y,o)回归工具箱：rstool 线性回归：b,bint,r rint,states=regress(y, x, alpha)残差图：rcoplot(r, rint) 多项式回归：p,S=polyfit(x,

16、y, m) 其中统计工具箱提供了一个作多元二项式回归的命令，它可以产生一个交互式画面，并输出有关信息，用法是：，输入数据分别是矩阵和维向量，为显著性水平（缺省时设定为0.05），由下列4个模型中选择1个（用字条串输入，缺省时设定为线性模型）：（线性）: （纯二次）：（交叉）：（完全二次）：由于所给的数据无法满足交叉模型和完全二次模型，因此下面分别对钒（V）和稀土（RE）的添加数量与抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS之间的关系建立线性和纯二次两种模型，并且对两种模型进行分析比较，给出最终模型。对于抗拉强度建立如下两种模型：模型一：（线性）利用MATLAB中的多远二项式回归命令rstool，对模型

17、进行求解。（具体程序见附录二）运行后得到一个交互式画面如下图：图5给出两幅图形，左边是x1（=0.05）固定时的曲线y（x2）及其置信区间，右边是x2(=0.11833)固定时的曲线y(x1)及其置信区间。点击图左下方的Export菜单向MATLAB工作区传送数据如下：Beta(回归系数)= 192.2002 -530.0 -121.4098Rmse(剩余(shngy)标准差)= 8.7143其中(qzhng)，剩余标准差为8.7143比较小，并且从交互式画面也可以看出该模型能得到一个较好的拟合效果。由beta数据可得模型一：模型(mxng)二：（纯二次）利用MATLAB中的多远二项式回归命令

18、rstool，对模型进行求解。（具体程序见附录二）运行后得到一个交互式画面如下图：图6同样的得到回归系数和剩余标准差如下：Beta1= 197.9486 -978.4193 -79.2944 4.4842e+03 -168.9765Rmse1= 3.3151剩余标准差为3.3151比较小，由beta1数据可得模型二：模型比较：比较剩余标准差的值可以知道模型二的拟合效果比模型一好，因此对取最终模型为：对延伸率建立如下两种模型：模型一：（线性）利用MATLAB中的多远二项式回归命令rstool，对模型进行求解。（具体程序见附录二）运行后得到一个交互式画面如下图：图7得到(d do)回归系数和剩余标

19、准差如下：Beta2= 8.7007 -27.3 -4.5555Rmse2= 0.7593剩余标准差为0.7593比较小，由beta2数据(shj)可得模型一：模型(mxng)二：（纯二次）利用MATLAB中的多远二项式回归命令rstool，对模型进行求解。（具体程序见附录二）运行后得到一个交互式画面如下图：图8得到回归系数和剩余标准差如下：Beta3= 8.4482 -45.6001 8.4719 183.0013 -51.033Rmse3= 0.3584剩余标准差为0.3584比较小，由beta2数据可得模型二：模型比较：比较剩余标准差的值可以知道模型二的拟合效果比模型一好，因此对取最终模

20、型为：对于热裂倾向值HCS建立如下两种模型：模型一：（线性）利用MATLAB中的多远二项式回归命令rstool，对模型进行求解。（具体程序见附录二）运行后得到一个交互式画面如下图：图9得到回归系数和剩余(shngy)标准差如下：Beta4= 71.3709 100 -12.9932Rmse4= 8.7461剩余标准差为8.7461比较小，由beta4数据(shj)可得模型一：模型(mxng)二：（纯二次）利用MATLAB中的多远二项式回归命令rstool，对模型进行求解。（具体程序见附录二）运行后得到一个交互式画面如下图：图10得到回归系数和剩余标准差如下：Beta5= 74.0048 282

21、.9990 -145.7986 -1.83 520,2088Rmse5= 8.0722剩余标准差为8.0722比较小，由beta5数据可得模型二：模型比较：比较剩余标准差的值可以知道模型二的拟合效果比模型一好，因此对取最终模型为：综合以上分析可知钒（V）和稀土（RE）的添加数量与抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS之间的关系模型如下：5.3.2非线性规划模型5针对问题“研究对该合金混合添加微量的钒（V）和稀土（RE）时，应该添加钒和稀土的数量分别约为多少，才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少？”通过建立非线性规划模型来解决。非线性规划的MAT

22、LAB解法MATLAB中非线性的数学模型问题可写成以下形式：其中(qzhng)：是标量(bioling)函数；是相应(xingyng)维数的矩阵和向量；是非线性向量函数。MATLAB中的命令是：x,fva1=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)X的返回值是决策向量x的取值，fva1返回的是目标函数的取值，其中fun使用M文件定义的函数；x0是x的初始值；A,b,Aeq,beq定义了线性约束如果没有线性约束，则A= ,b= ,Aeq ,beq= ;lb和ub是变量x的下界和上界，如果没有上界和下界的约束，则lb= ,ub= ，也可以写

23、成lb的各分量都为-inf，ub的各分量都为inf；nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数options定义了优化参数。根据题目要求把问题归结为以下非线性规划问题来求解。目标函数：约束条件：编程见附录四。运行得到当时，取得最小值66.6189。即应该添加钒和稀土的数量分别约为时才能保证产品的抗拉强度不低于150，延伸率不低于7.00，同时使热裂倾向值HCS尽可能减少。5.4问题四在问题二的第二个问中，曾经建立了在单独添加稀土的情况下对合金性能的综合评价模型，我们得到抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS三个指标在综合指标中的权重向量0.352， 0.349， -0.341。利用这个结论以及在

24、前面分析得到的在不同方案下同之间的拟合关系式，我们仿照的计算方法虽然同样可以得到在单独添加钒（V）和混合添加两种方案下的综合评价指标模型如下：但是由于三种方案的量纲并不相同，我们无法直接通过比较的大小来判断哪一种方案最佳，另一方面要对得到的函数关系式进行无量纲化或标准化处理是一件比较困难的，因此我们采取另一种方法对三个方案进行评价。首先，对所给的数据进行预处理。计算三种不同(b tn)方案下抗拉强度(kn l qin d)、延伸率、热裂倾向(qngxing)值HCS三个指标的平均值并制成下表：表2不同方案下指标平均值方案抗拉强度均值延伸率均值热裂倾向值HCS均值1（钒）146.756.1425

25、106.52（稀土）150.8757.427585.53（钒+稀土）151.336.8074.83将表2的数据导入spss中，进行因子分析。首先将数据标准化，然后对三个变量进行因子分析（固定选取2个主要因子）得到图11由此得到这两个因子可以解释总方差的100%各因子的得分函数为：利用综合因子得分公式计算出三种方案的综合得分表如下：表3方案综合得分方案1（钒）-1.154640.01206-1.01652（稀土）0.587770.993910.63603（钒+稀土）0.56687-1.005980.3803从上表可以清楚(qng chu)地看出，方案二的得分最高，因此第二种方案（即单独添加稀土）

26、对提高产品的抗拉强度和延伸率、减少(jinsho)热裂倾向值HCS整体上效果更加明显。六、模型(mxng)评价模型的优点利用多项式拟合函数关系式可以直接应用MATLAB的拟合工具箱对离散数据点进行拟合，同时能给出拟合评价指标值，不需要编程求解，运行简单。利用统计回归模型能够较方便的找出因变量与多个自变量之间的关系，从而很好地描述了钒（V）和稀土（RE）的添加数量与抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS之间的函数关系。通过因子分析的方法，能够初略地给出合金性能的综合评价指标，以便对问题进行客观的分析。该模型有助于解决合金在生产过程中的热裂缺陷，从而进一步改善该合金的力学性能和抗热裂性能。模型的缺点问

27、题二中在拟合抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系时拟合次数达到7次，这种较高次的多项式在计算和表达上都显得不够简洁。利用因子分析确定抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS在综合评价指标中的权重的做法由于没办法对的表达式进行标准化处理，使得这种做法显得粗糙。七、模型改进与扩展从模型的评价可以看出，模型总体上是可行的，但是任然存在一些不足之处，为了弥补这些缺点，我们在模型上进行适当的改进。例如：在建立抗拉强度、延伸率、热裂倾向值HCS关于稀土的数量之间的近似函数关系时，可以采用高斯函数或者傅里叶函数进行拟合。进而表不同拟合方式下模型的优缺点，从而确定最终模型，在MATLA

28、B拟合工具箱中可以直接选择不同的拟合方法。（2）针对综合评价模型，可以通过模糊综合评价法、数据包络分析法、灰色关联分析法以及主成分分析法等不同方法进行综合评价。对比不同的综合评价方法，根据实际的问题选择最为恰当的评判指标，这样有利于对实际问题给出更合理的解决方案。（3）该模型还适用于对其他相关问题的分析与应用，如机器性能的影响因素分析、合金材料主成成分的定量等问题。八、参考资料1 姜永，数学模型实验指导书第26页，2013年12月2 网上资料 基于MATLAB的不同曲线拟合方式的比较研究，2011年5月3 司守奎，孙玺菁，数学建模算法与应用第230页，国防工业出版社4 姜永，数学模型实验(sh

29、yn)指导书第31页，2013年12月5 司守奎，孙玺菁，数学建模算法与应用第20页，国防工业(u fn n y)出版附录(fl)一的最大值的Lingo程序及运行(ynxng)结果max=(-6.007e+09)*x7+(4.999e+09)*x6+(-1.644e+09)*x5+(2.723e+08)*x4+(-2.383e+07)*x3+(1.036e+06)*x2+(-1.684e+04)*x+133;x0;x0.25;运行(ynxng)结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 530.9253 Infeasibilities

30、: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 26 Variable Value Reduced Cost X 0.2371128 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 530.9253 1.000000 2 0.2371128 0.000000 3 0.1288719E-01 0.000000附录(fl)二线性模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y1=160 153 130 18

31、6 146 133;x=x1,x2;rstool(x,y1,linear)纯二次模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y1=160 153 130 186 146 133;x=x1,x2;rstool(x,y1,purequadratic)纯二次模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y2=6.60 7.22 5.57 8.73 6.66 6.00;x=x1,x2;rstool(x,y2,linear)线性模型求解程序x1=0.05 0.05 0.05 0 0.05 0.1;x2=0 0.1 0.25 0.12 0.12 0.12;y2=6.60