级数_基本考点以及解题方法

1、本章节基本考点以及解题方法1.基本考点：级数的敛散性；哥级数的收敛半径和收敛区间；函数展开成哥级数；求哥级数的和函数；给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；（逻辑思维比较强，需要多多总结）2.解题方法归纳：级数的敛散性此考点分为3种题型：（1）正项级数比较审敛法：（）nni 2n 11比较审敛法的极限形式：（1）n 3 n（n2 n 10）分析：2n ?n!比值审敛法：2n!nn 1 n分析：ln(1-) n（2）交错项级数, 一、一c 1来布尼兹7E理：（1） n 1、n 1（3）任意项级数绝对收敛与相对收敛：分析：注意：要学会这三种方法的综合运用!哥级数的收敛半径和收敛区间此考

2、点分为三种题型：n Xnn 2n1n（1）-（1）（X -）nn 1nn 1n 2(3)1 2n 1WX对于（1）有：a.利用定理2得收敛半径；b,分析区间端点的敛散性得收敛区间；对于（2）有：a.令 t;b,利用定理2得t的收敛半径；c,将t的范围转化为了 x的范围，并分析区间端点的敛散性得收敛区间;对于（3）有：只能通过“比值审敛法 &绝对收敛”求其收敛区间；函数展开成募级数; 此考点分为两种题型：（1）展开成x的哥级数（2）展开成（x Xo）哥级数求哥级数的和函数；f(x)1(4 x)2 2xf (x) x e大都是建立在7个常用函数展开式 的基础之上进行分析的， 通过恒等变换（变量代换

3、，四则 运算，逐项求导，逐项积分）等方法，求得展开式或和函数；难点体现在“恒等变换（变量代换，四则运算，逐项求导，逐项积分）”这个问题上，故重点讨论之；以“典型例题在恒等变换时设计到的问题”为讨论的基础：总的解题思路：附：7个常用的函数展开式ex1xn.x (,)n 0 n!n 11 2n 1n 1 2n 1sin x ( 1)x /( 1) x.x (n 1(2n 1)! n 0(2n 1)!cosx ( 1)n x2n n 0(2n)!xn.x( 1,1)x n 0.1(1)nxn.x ( 1,1)x n 0 ln(1 x) ( 1)n 11 xn /( 1)n xn 1x ( 1,1n

4、1n n 0 n 1 ln(1 x) 1xn / xn 1x ( 1,1n 1 n n 0 n 1给出其中一个级数的敛散性，判断另一个级数的敛散性；（逻辑思维比较强，需要多多总结，多以选择题为主！） 做这些题目之前一定要知道的一些知识：（1）与“级数收敛的必要条件”有关的几个问题【2组4项】对于级数un ,有以下分析：n 1若级数un收敛，则必有nim Un ； n 1若级数un发散，则lim un k （k可以为0）；nnn 1若nim un 0 ,则un的敛散性不确定；Yn 1j若lim un k 0 ,则必发散； n分析：这种类型题的考点在于“正项级数”与“不确定是否为正项级数”两种情况

5、对于“正项级数”，只需要以以上两种为基础进行分析，问题即可解决；对于“不确定是否为正项级数”,以上两种分析是基础，另外还需结合一一“交错项级数、任意项级数”的分析方法，并结合“P-级数（很重要，它在选择题中起到的作用很（2）与“级数的基本性质 3、4”有关的几个问题【3组】 在两个级数un与 Vn中，有以下分析:n 1n 1若一个收敛，一个发散,则有(Un Vn)发散; n 1若两者都收敛，则(un1Vn）收敛;若两者都发散，则(Un1Vn）的敛散性不确定;对反过来有:Vn收敛，则1un必收敛;1(Un Vn)收敛 Y1Vn发散，则1Un必发散;1Vn收敛，则1Un必发散;1(Un Vn)发散

6、 Y1Vn发散，则1Un不确定;1对两个级数的乘积分析a,两个级数收敛乘:,n 1(1)一(收敛)n（发散）除:n 1n 1(1/4与(1)n4nn（收敛）c 1(1)n-(发散)nb,两个级数发散 TOC o 1-5 h z 1，1,（收敛） /-T（发散）n产 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 1 , 1,1 皿T与二（收敛）/1 （发散）n 2nn2c. 一个收敛、一个发散1 - 1乘： 一与（收敛）n n【除：1与23 （收敛）n n3综上所述有： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Curre

7、nt Document 1 , 1/ J与S （发散） 3332n n HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 1 , 1/,与2 （发散）n n两个级数相乘、相除，结果的敛散性不能确定;（极限中无穷小的概念要深刻体会！）（3）级数的“绝对值、次方”产生的问题? 对交错项级数的P-级数的单独分析：1交错项级数的P-级数，例如： （1厂不n 1 n特点：首先明确一点，即：K0时，交错项级数的 P-级数总是收敛的;（1）次方（奇偶）的改变导致K的改变，（奇偶）决定了交错；（2）绝对值的介入改变了交错；若级数un收敛（不强调是正项级数），则n 1U Ukn

8、 m必收敛； n 1（Un）k （其中k 0）不一定收敛；【K为奇数的情况？】n 1若级数I Un|不一定收敛；（反过来成立！） n 1Un为正项级数，且Un收敛，则（Un）k （其中k 0, k奇偶不分）收敛； n 11 Un |收敛； n 1这是很多问题分析的基础！（4）只有当两个级数收敛时，才可以比较其和的大小!如：若 Un Vn (n 1,2,3,)，则UnVn (错误)n 1n 1（5）级数的收敛域问题“收敛域的端点值是否收敛？”这个问题要好好考虑！考点体现在：通过四则运算，得到其收敛半径相同，但是这个四则运算有可能会改变端点 值的敛散性，因此收敛域有可能会不同。如：若哥级数anxn的收敛域为1,1,则哥级数n 0nanXn的收敛域为1,1 n 1（错误）若哥级数anxn的收敛域为1,1,则哥级数n 0-anxn的收敛域为1,1n 0 n 1（正确）（6）两个级数之间的关系（不涉及“次方与绝对值” ），如:.若正项级数Un发散，则交错项级数（1）n1Un